含臨界參數和臨界指數的雙調和方程多重解

劉 春 晗

(齊魯師范學院數學學院，山東 濟南 250013)

含臨界參數和臨界指數的雙調和方程多重解

劉 春 晗

(齊魯師范學院數學學院，山東 濟南 250013)

利用對稱形式的山路引理，討論了一類含臨界參數和臨界指數的奇異雙調和方程，獲得了方程的無窮多個非平凡解.

雙調和方程；對稱形式的山路引理；臨界指數；非平凡解

1 預備知識

1983年，Brezis-Nirenberg給出了求解含臨界指數方程的方法，吸引了國內外眾多學者對含臨界指數的非線性方程進行研究.文獻[1]研究了雙調和方程

文獻[2]討論了方程

本文利用對稱形式的山路引理，研究了奇異雙調和方程

(1)

首先在空間H中討論以下特征值問題非平凡解的存在性：

(2)

第一特征值定義為

第二特征值定義為

類似地，可以定義第n個特征值為

其相應的特征函數記作φn，μ.

問題(1)的弱解就是泛函

對于任意的φ∈H，

下面給出一些假設條件：

(Ⅴ)f(x，-t)=-f(x，t).

定義1[3]設Φ∈C1(E，R)，稱Φ關于每一個c∈R滿足(PS)c條件，如果n→∞時，滿足

Φ(un)→c，Φ′(un)→0

的任意數列un均有收斂子列；稱Φ滿足(PS)條件，如果Φ關于任意c∈R滿足(PS)c條件.

定義2[3]設Φ∈C1(E，R)，稱Φ關于每個c∈R滿足(C)c條件，若當n→∞時，任意滿足

Φ(un)→c，(1+‖un‖)Φ′(un)→0

的數列un都有收斂子列；稱Φ滿足(C)條件，如果Φ對于任意c∈R滿足(C)c條件.

引理1[2](Sobolev-Hardy不等式) 設0≤s≤4，2≤q≤2*(s).則存在常數c1>0使得

并且空間H嵌入到Lq(Ω)是緊的.

(3)

類似于文獻[4]中引理3—4，可證下面兩個引理成立.

引理2 特征值問題(2)有一個非平凡解φ1，μ.

引理3 當n→∞時，λn，μ→+∞.

引理5[3](對稱形式的山路引理) 假設Φ∈C1(E，R)，Φ(θ)=0.則：

如果Φ滿足(PS)條件，則Φ有無限多個對應正臨界值的臨界點.

注1 若Φ滿足(C)條件，則引理5的結論也成立.

2 主要結果

定理1 如果f(x，t)滿足假設(Ⅰ)—(Ⅴ)，則存在λ*>0，當0<λ<λ*時，方程(1)存在無窮多個非平凡解.

(1+‖un‖)Φ′(un)→0，Φ(un)→c，

(4)

則un是有界的.若不然，設‖un‖→+∞，由假設(Ⅳ)可知存在r>1使得

f(x，t)t-2*(s)F(x，t)≥-δ|t|σ，?|t|>r.

(5)

設Ωn={x∈Ω||u|>r}，由(4)與(5)式，存在M0>0使得

2*(s)(1+c)≥2*(s)Φ(un)-〈Φ′(un)，un〉=

矛盾.因此un在H有界，于是un在H中有弱收斂子列，仍記為un，弱收斂極限記為u.當n→∞時，

由Brezis-Lieb引理、Vitali定理及文獻[6]可知

(6)

(7)

(8)

從而

Φ(un)-Φ(u)-Φ(un-u)=o(1)，

由(4)式及Φ′(u)=0有

M+o(1)≥Φun=Φu+Φun-u+o(1)≥

(ⅱ) 證明Φu滿足引理5的其他條件.由假設(Ⅲ)，對任意ε>0，存在C2>0使得

取ε=ε1充分小，使得λk，μ+ε1<λk+1，μ，利用(3)式、引理4和Sobolev-Hardy不等式，有

因為0≤s<4，故

其中Bρ(θ)={u∈H|‖u‖≤ρ}.

所以存在Rk>ρ，使得Φ(u)≤0，?u∈EkBRk(θ)，k=1，2，….

注2 存在R>0，使得2*(s)F(x，u)≤f(x，u)u，?|u|>R，x∈Ω.從而?|u|>R，x∈Ω有

f(x，u)u-2*(s)F(x，u)≥0>-δ|u|σ.

于x∈Ω一致成立.

因此假設(Ⅳ)比Ambrosetti-Rabinowitz型增長條件更弱.

注3 如果f(x，u)u-2*(s)F(x，u)→+∞，當|u|→∞時于x∈Ω一致成立，則

于x∈Ω一致成立.

[1] 王友軍，沈堯天.一類含臨界指數雙調和方程變號解的存在性[J].應用數學，2009，22(2)：233-238.

[2] 杜剛，魏靜.一類雙調和方程變號解的存在性[J].數學的實踐與認識，2011，41 (23)：172-177.

[3] CHANG K C.Infinite dimensional Morse theory and multiple solutions problems [M].Boston：Birkh?user，1993：103-143.

[4] WANG Y J，SHEN Y T.Multiplicity of solutions for nonlinear biharmonic equation involving critical parameter and critical exponent[J].Chin Quart J of Math，2011，26(3)：317-324.

[5] MARINO B，ENRICO S.Semi-linear elliptic equations for beginners [M].London：Springer-Verlag，2011：39-54.

[6] SCHECHTER M，ZOU W M.Infinitely many solutions to perturbed elliptic equations [J].J Funct Anal，2005，228：1-38.

(責任編輯：李亞軍)

Multiplicityofnontrivialsolutionsforbiharmonicequationinvolvingcriticalparameterandcriticalexponent

LIU Chun-han

(School of Mathematics，Qilu Normal University，Jinan 250013，China)

By a symmetric mountain pass lemma，a class of singular biharmonic equation involving critical parameter and critical exponent is discussed，and infinitely many solutions of the equations are obtained.

biharmonic equation；symmetric mountain pass lemma；critical exponent；nontrivial solution

1000-1832(2017)03-0008-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.03.003

2016-03-02

國家自然科學基金資助項目(10971179)；山東省自然科學基金資助項目(ZR2016AB04)；齊魯師范學院青年教師科研基金資助項目(2016L0603，2014L1001).

劉春晗(1981—)，男，碩士，副教授，主要從事非線性泛函分析及其應用研究.

O 175.25 [學科代碼] 110·47

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