N=2的Loop Ramond超共型代數(shù)的導(dǎo)子和自同構(gòu)

付佳媛，張志蘭

(中國傳媒大學(xué)理學(xué)院，北京100024)

N=2的Loop Ramond超共型代數(shù)的導(dǎo)子和自同構(gòu)

付佳媛，張志蘭

(中國傳媒大學(xué)理學(xué)院，北京100024)

給出了N=2的Loop Ramond超共型代數(shù)RL的定義，并進一步確定了其導(dǎo)子代數(shù)和自同構(gòu)群.

N=2的Loop Ramond超共型代數(shù)；導(dǎo)子；自同構(gòu)群

1 預(yù)備知識

超共型代數(shù)是近些年新興的一類李超代數(shù).Kac等[1-2]已經(jīng)給出了超共型代數(shù)的所有分類.對于N=2 的超共型代數(shù)，目前也有了一些研究結(jié)果.[2-5]文獻[6]給出了N=2 Ramond超共型代數(shù)中間序列模的分類.

李超代數(shù)運算定義如下：

[Litk，Ljtl]=(i-j)Li+jtk+l， [Hitk，Hjtl]=0，

(1)

2 RL的導(dǎo)子代數(shù)

記RL的導(dǎo)子代數(shù)為DerRL，內(nèi)導(dǎo)子代數(shù)為adRL.易知

(DerRL)i={D∈DerRL|D(RL)j?(RL)i+j，j∈Z}.

對于Di∈(DerRL)i，稱Di為i次齊次導(dǎo)子.不難證明下面結(jié)論：

引理2.1 對任意的D∈DerRL，則D有如下形式：

這里Di∈(DerRL)i，且對任意的x∈RL，只有有限個i∈Z使得Di(x)≠0.

引理2.2 對任意的i≠0，D∈(DerRL)i是內(nèi)導(dǎo)子.

D(Litk)=Litkfi，k(t)，D(Hitk)=Hitkfi，k(t)，

(2)

D(Xitk)=Xitkfi，k(t)，

D(X0t)=0，

即f0，1(t)=0.令f1，0(t)=f(t)∈F[t，t-1]，則fi，k(t)=if(t)，因此

D(Xitk)=iXitkf(t).

顯然D=-ad(L0f(t))∈adRL，從而得到下面引理.

D=ad(L0f(t)+H0g(t))=Dρ，

即ρ(tk)=itk(-f(t)±g(t))，從而g(t)=0.令k=0，則-if(t)=ρ(1)=0，i∈Z，即D=0.

綜上，有下面結(jié)論成立.

3 RL的自同構(gòu)群

記RL的自同構(gòu)群為AutRL，則L0，H0是RL的ad-局部有限元，從而下面結(jié)論成立.

引理3.1σ(L0)，σ(H0)∈spanF{L0，H0}，?σ∈AutRL.

令σ(L0)=a1L0+a2H0，σ(H0)=b1L0+b2H0，則可求出a1=±1.將σ作用在[H0，Hitk]=0上可求得b1=0.故上式可改寫為

σ(L0)=±L0+aH0，σ(H0)=bH0.

(3)

對于映射η：Z×Z→F[t，t-1]，記η(i，k)=ηi，k(t)∈F[t，t-1]，F(xiàn)inv[t，t-1]為F[t，t-1]中可逆多項式集.易知Finv[t，t-1]是一個乘法群.

引理3.2 對任意的σ∈AutRL，存在η∈Hom(Z×Z，F(xiàn)[t，t-1])，ε，ξ∈{±1}，a∈F，q(t)∈Finv[t，t-1]，使得：

σ(Litk)=ηi，k(t)(εLεi+aHεi)，σ(Hitk)=ξηi，k(t)Hεi，

(4)

其中ηi，k(t)∈F[t，t-1]滿足η0，0(t)=1，且ηi+j，k+l(t)=ηi，k(t)ηj，l(t)，?i，j，k，l∈Z.

證明分情況證明此命題.

情形1σ(L0)=L0+aH0.

σ(Litk)=Liηi，k(t)+aHiηi，k(t)，σ(Hitk)=Hiηi，k(t)，

其中ηi+j，k+l(t)=ηi，k(t)ηj.l(t)，η0，0(t)=1，a∈F，p(t)∈Finv[t，t-1].

σ(Litk)=Liηi，k(t)+aHiηi，k(t)，σ(Hitk)=-Hiηi，k(t)，

其中ηi+j，k+l(t)=ηi，k(t)ηj，l(t)，η0，0(t)=1，a∈F，q(t)∈Finv[t，t-1].

用類似方法可討論a=-1的情況.

情形2σ(L0)=-L0+aH0.

子情形2.1

σ(Litk)=-L-iηi，k(t)+aH-iηi，k(t)，σ(Hitk)=H-iηi，k(t)，

這里ηi+j，k+l(t)=ηi，k(t)ηj，l(t)，η0，0(t)=1，a∈F，p(t)∈Finv[t，t-1].

子情形2.2

σ(Litk)=-L-iηi，k(t)+aH-iηi，k(t)，σ(Hitk)=-H-iηi，k(t)，

這里ηi+j，k+l(t)=ηi，k(t)ηj，l(t)，η0，0(t)=1，a∈F，q(t)∈Finv[t，t-1].

記Hom(Z×Z，F(xiàn)*)為加群Z×Z到乘群F*的同態(tài)，μθ為其單位元.記Hom(Z×Z，F(xiàn))為Z×Z到F的加群同態(tài)，νθ為其單位元.

若ηi，k(t)∈F[t，t-1]，滿足ηi+j，k+l(t)=ηi，k(t)+ηj，l(t)以及η0，0(t)=1，易知

ηi，k(t)=μ(i，k)tν(i，k)∈Finv[t，t-1]，

其中μ∈Hom(Z×Z，F(xiàn)*)，ν∈Hom(Z×Z，F(xiàn)).由引理3.2，

AutRL={σ(μ，ν，ε，ξ，a，q(t))|μ∈Hom(Z×Z，F(xiàn)*)，ν∈Hom(Z×Z，F(xiàn))，

ε，ξ∈AutZ，a∈F，q(t)∈Finv[t，t-1]}，

AutRL的單位元是σ(μθ，νθ，1，1，0，1)，并且

其中

μ(i，k)=μ2(i，k)μ1(ε2i，ν2(i，k))，ν(i，k)=ν1(ε2i，ν2(i，k)).

(5)

易證μ∈Hom(Z×Z，F(xiàn)*)，ν∈Hom(Z×Z，F(xiàn)).

令τ=〈σ(μ，ν，1，1，a，q(t))|σ∈AutRL〉，易證τ是AutRL的自同構(gòu)群，從而有如下定理：

定理3.1 (1) AutRL同構(gòu)于

Hom(Z×Z，F(xiàn)*)×Hom(Z×Z，F(xiàn))×AutZ×AutZ×F×Finv[t，t-1]；

[1] KAC V G，VAN DE LEUER.On classification of superconformal Algebras[M].Singapore：World Scientific，1988：1-30.

[2] CHENG S，KAC VG.A newN=6 superconformal algebra[J].Comm Math Phys，1997，186：219-231.

[3] DORRZAPF M.Superconformal field theories and their representations [D].Cambridge：University of Cambridge，1995.

[4] DORRZAPF M.The embedding structure of unitaryN=2 minimal model [J].Nucl Phys B，1998，529：639-655.

[5] FU J Y，JIANG Q F，SU Y C.Classification of modules of intermediate series over RamondN=2 supercomformal algebras [J].J Math Phy，2007，48(4)：105-110.

[6] KIRITSIS E.Character formula and the structure of the represetations of theN=1，N=2 superconformal algebras [J].Int J Mod Phys A，1988，3：1871-1906.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

DerivationandautomorphismgroupofLoopRamondN=2superconformalalgebra

FU Jia-yuan，ZHANG Zhi-lan

(School of Science，Communication University of China，Beijing 100024，China)

The definition of the Loop RamondN=2 superconformal algebras is proposed.The derivation algebra and the automorphism group are investigated.

Loop RamondN=2 superconformal algebra；derivation；automorphism group

1000-1832(2017)03-0001-04

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.03.001

2015-12-01

國家自然科學(xué)基金資助項目(11271056).

付佳媛(1978—)，女，博士，副教授，主要從事李(超)代數(shù)研究；通信作者：張志蘭(1989—)，女，碩士，主要從事李(超)代數(shù)研究.

O 152.5 [學(xué)科代碼] 110·21

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