基于協(xié)整分析的中國(guó)大陸農(nóng)村人口死亡率預(yù)測(cè)

盧靜會(huì)，張建，2，何華

（1.河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津300401；2.中央財(cái)經(jīng)大學(xué)保險(xiǎn)學(xué)院，北京100081）

基于協(xié)整分析的中國(guó)大陸農(nóng)村人口死亡率預(yù)測(cè)

盧靜會(huì)1，張建1，2，何華1

（1.河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津300401；2.中央財(cái)經(jīng)大學(xué)保險(xiǎn)學(xué)院，北京100081）

為了彌補(bǔ)中國(guó)大陸農(nóng)村人口死亡率歷史數(shù)據(jù)缺乏，通過(guò)協(xié)整分析發(fā)現(xiàn)中國(guó)大陸農(nóng)村和臺(tái)灣地區(qū)的人口死亡率具有長(zhǎng)期均衡關(guān)系，應(yīng)用基于向量誤差修正模型的人口死亡率預(yù)測(cè)方法進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果表明該模型擬合效果較好.通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)中國(guó)大陸農(nóng)村60歲人口的平均余命逐漸延長(zhǎng)，未來(lái)農(nóng)村養(yǎng)老必將面臨嚴(yán)峻的人口老齡化問(wèn)題.

Lee-Carter模型；死亡率預(yù)測(cè)；長(zhǎng)期均衡關(guān)系；向量誤差修正模型；平均余命

0 引言

隨著居民生活水平和醫(yī)療狀況的持續(xù)改善，死亡率呈現(xiàn)出不斷下降的趨勢(shì)，人類(lèi)壽命明顯延長(zhǎng)，老齡化問(wèn)題日益突出.在中國(guó)農(nóng)村地區(qū)，由于大批年輕人口的流出，人口老齡化的速度和水平都遠(yuǎn)超城鎮(zhèn)地區(qū)，農(nóng)村養(yǎng)老問(wèn)題形勢(shì)不容樂(lè)觀.

精準(zhǔn)預(yù)測(cè)死亡率是研究人口老齡化問(wèn)題中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，對(duì)政府相關(guān)部門(mén)應(yīng)對(duì)養(yǎng)老問(wèn)題具有重要指導(dǎo)意義.目前，廣受推崇的死亡率模型為L(zhǎng)ee and Carter[1]提出的Lee-Carter模型，該模型為動(dòng)態(tài)死亡率模型，各參數(shù)意義簡(jiǎn)單明了，在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用型較強(qiáng).不少學(xué)者通過(guò)協(xié)整分析對(duì)Lee-Carter模型進(jìn)行了改進(jìn)：Yang and Wang[2]通過(guò)協(xié)整分析發(fā)現(xiàn)美國(guó)和英國(guó)人口死亡率之間具有長(zhǎng)期均衡關(guān)系，在此基礎(chǔ)上建立了死亡率預(yù)測(cè)模型；張奕等[3]通過(guò)協(xié)整分析發(fā)現(xiàn)中國(guó)男性與日本男性人口死亡率具有長(zhǎng)期均衡關(guān)系，在此基礎(chǔ)上結(jié)合極值理論方法對(duì)中國(guó)死亡率進(jìn)行了預(yù)測(cè)；柳向東等[4]通過(guò)協(xié)整分析發(fā)現(xiàn)中國(guó)大陸地區(qū)和臺(tái)灣地區(qū)死亡率具有長(zhǎng)期均衡關(guān)系，在此基礎(chǔ)上建立了基于向量誤差修正的死亡率預(yù)測(cè)模型.

本文應(yīng)用基于向量誤差修正模型（VECM）的人口死亡率預(yù)測(cè)方法，利用最新的數(shù)據(jù)對(duì)中國(guó)大陸農(nóng)村人口死亡率進(jìn)行預(yù)測(cè)，將其得到的預(yù)測(cè)值與基于傳統(tǒng)ARIMA模型所得的進(jìn)行比較，結(jié)果表明基于VECM模型的預(yù)測(cè)效果更好.在此基礎(chǔ)上，計(jì)算可得中國(guó)大陸農(nóng)村60歲人口的平均余命，通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)此平均余命呈上升趨勢(shì)，未來(lái)農(nóng)村養(yǎng)老必將面臨嚴(yán)峻的人口老齡化問(wèn)題.

1 人口死亡率的預(yù)測(cè)模型

1.1 Lee-Carter模型

Lee-Carter模型的形式如下：

其中：T表示觀察年的個(gè)數(shù)；mx，t表示年齡為x歲的人群在t年的中心死亡率；αx為依賴(lài)于年齡因子的參數(shù)，反映分年齡人口死亡率自然對(duì)數(shù)的平均水平；kt為依賴(lài)于時(shí)間因子的參數(shù)，反映人口死亡率的時(shí)間趨勢(shì)；βx表示年齡因子對(duì)kt的敏感性；εx，t為殘差項(xiàng)，滿(mǎn)足E（εx，t）=0、Var（εx，t）=σ2.

基于上述假設(shè)，運(yùn)用最小二乘法對(duì)各個(gè)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，具體的估計(jì)表達(dá)式如下：

1.2 基于Kt的VECM模型的人口死亡率預(yù)測(cè)模型

1.2.1 基于多國(guó)或多地區(qū)背景下人口死亡率模型的建立

用矩陣的形式表示出基于N個(gè)國(guó)家或地區(qū)的人口死亡率模型：

對(duì)于第j個(gè)國(guó)家或地區(qū)年齡為x的男性（女性）死亡率誤差項(xiàng)的差分為：

1.2.2 建立Kt的VECM模型

協(xié)整分析要求每一個(gè)變量都是同階非平穩(wěn)的，所以假設(shè)Kt的每個(gè)子序列都為非平穩(wěn)且p階單整的，則Kt的p階VECM模型如下所示：

VECM模型的殘差項(xiàng)et與Lee-Carter模型的殘差差分項(xiàng)Δεx，t是相互獨(dú)立的，對(duì)VECM模型進(jìn)行迭代運(yùn)算，可得Kt+n+1的公式：

其中：γd（h）=γ1（h-1）τd+1（d＜h）γd+1（h-1），（d=1，…，p；h=1，…，n）；ηd（h）=ηd（d）1（d＜h）+γ1（h-1）1（d=h），（h=1，…，n）；γ1（-1）=I2N，η0（0）=I2N，γi（0）=τi，（i=1，…，p）.

1.2.3 基于多國(guó)或多地區(qū)背景下人口死亡率的預(yù)測(cè)模型

根據(jù)式（6）可得：

將式（11）代入式（12）中，化簡(jiǎn)可得：

2 中國(guó)大陸農(nóng)村人口死亡率的預(yù)測(cè)

2.1 原始數(shù)據(jù)的選擇和處理

本文采用的原始數(shù)據(jù)為中國(guó)大陸農(nóng)村1994～2014年分年齡、性別的人口死亡率，其中1995年的數(shù)據(jù)來(lái)自于《1995全國(guó)1%人口抽樣調(diào)查資料》，2000年和2010年的數(shù)據(jù)分別來(lái)自于《第五次人口普查數(shù)據(jù)》和《第六次人口普查數(shù)據(jù)》，1994年、1996～1999年的數(shù)據(jù)來(lái)自于《中國(guó)人口統(tǒng)計(jì)年鑒》，2001～2009年、2011～2014來(lái)自于《中國(guó)人口與就業(yè)統(tǒng)計(jì)年鑒》.以5歲為一個(gè)年齡段對(duì)死亡率進(jìn)行分組計(jì)算，分別為0～4歲，5～9歲，一直到85～89歲，90歲及以上，一共19組.對(duì)于臺(tái)灣地區(qū)，采用的原始數(shù)據(jù)為1994～2014年以5歲為一個(gè)年齡段的人口死亡率，其來(lái)源于人類(lèi)死亡率數(shù)據(jù)庫(kù)（HMD），并對(duì)其進(jìn)行處理使其與中國(guó)大陸農(nóng)村人口死亡率數(shù)據(jù)分組相同.

將已處理的1994～2011年的數(shù)據(jù)代入式（2）～式（4）中，得到中國(guó)大陸農(nóng)村和臺(tái)灣地區(qū)關(guān)于參數(shù)αx、βx、kt的估計(jì)值.各個(gè)參數(shù)的估計(jì)值如圖1所示.

從圖1中可以看出，參數(shù)αx、βx、kt的估計(jì)值具有大致相同的變化趨勢(shì)，這說(shuō)明中國(guó)農(nóng)村和臺(tái)灣地區(qū)的人口死亡率可能存在長(zhǎng)期均衡關(guān)系.

圖1 參數(shù)αx、βx、kt的估計(jì)值Fig.1 Parameter estimates of αx、βx、kt

2.2 基于Kt的VECM模型的中國(guó)大陸農(nóng)村人口死亡率的預(yù)測(cè)

然后，通過(guò)AIC和SC準(zhǔn)則確定VECM模型的滯后階數(shù)，這2個(gè)準(zhǔn)則均要求數(shù)值越小模型的效果越好，如表2所示.

從表2可得，在滯后一階時(shí)AIC和SC準(zhǔn)則所對(duì)應(yīng)的值都比滯后二階時(shí)小，故此模型的最佳滯后階數(shù)為一階.

表1 單位根檢驗(yàn)結(jié)果Tab.1 Unit root test results

表2 VECM模型的滯后階數(shù)的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)Tab.2 Selection criteria of the lag order for the VECM model

從表3可知，當(dāng)原假設(shè)為無(wú)協(xié)整關(guān)系時(shí)，該假設(shè)所對(duì)應(yīng)的p值為0.046 4，于是拒絕原假設(shè)，認(rèn)為至少存在一個(gè)協(xié)整關(guān)系；當(dāng)原假設(shè)為最多有一個(gè)協(xié)整關(guān)系，該假設(shè)所對(duì)應(yīng)的p值為0.201 7，于是接受原假設(shè)，認(rèn)為存在一個(gè)協(xié)整關(guān)系.

最后，根據(jù)中國(guó)大陸農(nóng)村與臺(tái)灣地區(qū)的時(shí)間因子序列得到下面的VECM（1）模型，即

表3 Johansen協(xié)整檢驗(yàn)表Tab.3 Johansen test for co-integration results

2.3 預(yù)測(cè)誤差分析

為了得到VECM模型對(duì)死亡率預(yù)測(cè)效果的影響，本節(jié)將利用傳統(tǒng)的時(shí)間序列分析方法對(duì)2012-2014年的人口死亡率進(jìn)行預(yù)測(cè)，并將2種方法所得的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值進(jìn)行比較.

以1994～2011年的中國(guó)大陸農(nóng)村死亡率數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，運(yùn)用AIC和SC信息準(zhǔn)則得到最適合中國(guó)大陸農(nóng)村女性、男性kt的ARIMA模型都為ARIMA（0，1，1），通過(guò)Lee-carter模型預(yù)測(cè)出2012～2014年人口死亡率.以最小均方預(yù)測(cè)誤差（MSPE）和平均絕對(duì)誤差（MAE）作為評(píng)判預(yù)測(cè)效果的標(biāo)準(zhǔn)，兩者分別為

其中ωi表示人口死亡率的真實(shí)值和預(yù)測(cè)值的差.

表4 男性死亡率預(yù)測(cè)誤差Tab.4 error of prediction for male mortality

表5 女性死亡率預(yù)測(cè)誤差Tab.5 error of prediction for female mortality

從表4和表5可得，除2013年中國(guó)大陸農(nóng)村男性的基于ARIMA模型預(yù)測(cè)誤差稍小以外，基于VECM模型所得的男性和女性死亡率誤差均比基于ARIMA模型所得的小，這就說(shuō)明基于VECM模型的預(yù)測(cè)方法效果更好.

2.4 平均余命的預(yù)測(cè)

采用1994～2014年的中國(guó)大陸農(nóng)村人口死亡率數(shù)據(jù)，重新估計(jì)獲得基于VECM的人口死亡率預(yù)測(cè)模型，并預(yù)測(cè)出2015～2023年分性別、年齡的人口死亡率.在此基礎(chǔ)上，以目標(biāo)時(shí)間各年齡組人口的死亡率水平代替分年齡人口在不同年齡的死亡率水平，按照段白鴿[9]所提出的方法預(yù)測(cè)出2014～2023年60歲人口的平均余命，如圖2所示.

圖2 中國(guó)大陸農(nóng)村2014～2023年60歲人口的平均余命Fig.2 Life expectancy of population of 60 in the rural areas of China

從圖2可看出在2014～2023年的這10年時(shí)間里，中國(guó)大陸農(nóng)村60歲女性的平均余命從22.1歲增長(zhǎng)到22.7歲，中國(guó)大陸農(nóng)村60歲男性的平均余命從18.8歲增長(zhǎng)到19.6歲，從而可得出以下結(jié)論：1）隨著時(shí)間的延續(xù)，中國(guó)大陸農(nóng)村60歲男性、女性的平均余命逐漸延長(zhǎng)；1）在相同的日歷年，中國(guó)大陸農(nóng)村60歲的女性的平均余命明顯高于男性.

3 結(jié)論

相較于基于ARIMA建立的死亡率預(yù)測(cè)模型，基于向量誤差修正建立的人口死亡率預(yù)測(cè)模型不僅彌補(bǔ)了中國(guó)大陸農(nóng)村死亡率歷史數(shù)據(jù)缺乏，而且有效地提高了死亡率預(yù)測(cè)的精確性.由于居民生活水平和醫(yī)療狀況的持續(xù)改善，本文中預(yù)測(cè)出的平均余命只是理論上的期望，但是中國(guó)大陸農(nóng)村60歲人口的平均余命逐漸延長(zhǎng)這一趨勢(shì)毋庸置疑，這表明我國(guó)未來(lái)農(nóng)村養(yǎng)老必將面臨嚴(yán)峻的人口高齡化問(wèn)題.

[1]Lee R D，Carter L R.Modeling and Forecasting US Mortality[J].Journal of the American Statistical Association，1992，87（419）：659-671.

[2]Yang S S，Wang C W.Pricing and Securitization of Multi-country Longevity Risk with Mortality Dependence[J].Insurance：Mathematics and Economics，2013，52（2）：157-169.

[3]張奕，王婷婷.基于協(xié)整理論的中國(guó)人口死亡率預(yù)測(cè)[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2015，30（1）：1-9.

[4]柳向東，范洋洋.基于均衡關(guān)系的中國(guó)人口死亡率預(yù)測(cè)模型[J].統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2016，31（10）：3-9.

[5]Lin Y，Cox S H.Securitization of Mortality Risks in Life Annuities[J].The Journal of Risk and Insurance，2005，72（2）：227-252.

[6]Denuit M，Devolder P，Goderniaux A C.Securitization of Longevity Risk：Pricing Survivor Bonds with Wang Transform in the Lee-Carter Framework [J].The Journal of Risk and Insurance，2007，74（1）：87-113.

[7]尚勤，秦學(xué)志，周穎穎.死亡強(qiáng)度服從Ornstein-Uhlenbeck跳過(guò)程的長(zhǎng)壽債券定價(jià)模型[J].系統(tǒng)管理學(xué)報(bào)，2008，17（3）：297-302.

[8]胡仕強(qiáng).基于Lee-Carter模型和王變換方法的長(zhǎng)壽債券定價(jià)研究[J].商業(yè)研究，2015，462：82-88.

[9]段白鴿.我國(guó)全年齡段人口平均預(yù)期壽命的動(dòng)態(tài)演變[J].人口與經(jīng)濟(jì)，2015，1：49-63.

[10]劉娟，楊明旭.Lee-Carter估計(jì)模式推算中國(guó)農(nóng)村老年人口死亡率的研究[J].南方人口，2011，4（26）：10-15.

[責(zé)任編輯 楊屹]

Mortality prediction of Chinese rural population based on the co-integration analysis

LU Jinghui1，ZHANG Jian1，2，HE Hua1
（1.Hebei University of Technology,School of Sciences,Tianjin 300401;2.Central University of Finance and Economics, Insurance Institute,Beijing 100081）

To make up for the lack of historical data of mortality in the rural areas of China,the long-run equilibrium of mortality rates between rural areas of China Mainland and Taiwan is found by the co-integration analysis,and a vector error correction model is applied to project the mortality.The result shows that the model fits well.Life expectancy of population of 60-year-old will increase obviously,which leads to the heavy risks of population aging faced in rural old-age care.

Lee-Carter model;mortality prediction;long-run equilibrium;vector error correction model;life expectancy

C921

A

1007-2373（2017）04-0111-07

10.14081/j.cnki.hgdxb.2017.04.019

2017-02-21

國(guó)家自然科學(xué)基金（11471218，11701139）；教育部人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地重大項(xiàng)目（14JJD790001）

盧靜會(huì)（1992-），女，碩士研究生，1742147426@qq.com.通訊作者：張建（1982-），男，實(shí)驗(yàn)師，zhangjian@hebut.edu.cn.