基于疲勞強度分布假設的P—S—N曲線模型

王長江

摘 要：疲勞壽命服從對數正態分布的假設在應力水平趨于疲勞極限時不合理，為描述這一區域的P-S-N曲線，假設疲勞強度服從正態分布，將普通試驗點看作破壞壽命下的疲勞強度，將升降法中的對子應力作為給定壽命下疲勞強度的樣本值，基于極大似然法原理提出了一個新的P-S-N曲線模型。對幾組金屬材料的疲勞試驗數據進行統計分析，結果表明該模型對中長壽命區和疲勞極限附近的P-S-N曲線擬合效果較好，且對疲勞試驗方法沒有限制。

關鍵詞：疲勞強度；P-S-N曲線；極大似然法；正態分布

中圖分類號：O211 文獻標志碼：A 文章編號：2095-2945（2017）27-0020-02

1 概述

由于不確定因素的影響，材料的疲勞性能數據存在很大的分散性。概率疲勞性能曲線是結構疲勞壽命預測和可靠性分析的重要基礎。P-S-N曲線擬合問題已有大量研究，常用的是最小二乘法和極大似然法。

傅惠民等[1]對疲勞壽命和疲勞強度的百分位值進行最小二乘法擬合得到三參數的P-S-N曲線。文獻[2]中的雙加權最小二乘法考慮了樣本容量和試驗結果分散性的影響，可以處理包含成組法和升降法在內的疲勞試驗數據。

Nelson假設疲勞壽命服從對數正態分布，提出了一種擬合包含截尾數據的極大似然法。Pascual等基于極大似然法原理提出了一個隨機疲勞極限（RFLM）模型。

最小二乘法在擬合P-S-N曲線時沒有考慮疲勞壽命分散性的變化規律，數據有限時會出現曲線對數壽命標準差為負或應力水平越高對數標準差越大的反常情況。

此外，若疲勞試驗沒有按照成組法或升降法來進行，最小二乘法也會失效。

上述的幾種極大似然法模型對升降法試驗數據的處理無能為力。一般認為疲勞壽命服從對數正態分布或威布爾分布，但是當應力水平趨于疲勞極限時，這一假設不再合理，傳統的疲勞壽命分布假設無法描述低應力水平的P-S-N曲線。

本文以疲勞強度的分布假設為基礎提出了一個新的極大似然法模型，該模型合理地描述了中長壽命區和疲勞極限附近的P-S-N曲線，同時對試驗方法沒有限制，可以處理包含單點法、成組法、升降法和截尾數據在內的疲勞試驗數據。

2 疲勞強度分布假設

2.1 傳統極大似然法

大量的金屬材料疲勞性能曲線的研究表明，中長壽命區的P-S-N曲線可采用三參數公式來描述

式中，Np為具有可靠度p的疲勞壽命；S為最大應力；S0p為理論疲勞極限；mp和Cp為待定常數。假設指定應力水平下，疲勞壽命服從對數正態分布，指定應力水平S下的對數疲勞壽命的均值和標準差可寫為

式中C、m和S0為均值疲勞性能曲線的參數；Cs、ms和S0s為p=15.87%時的疲勞性能曲線參數；μN和σN為對數疲勞壽命均值和標準差，是應力水平S的函數。對于一組疲勞試驗數據，構造似然函數[3]

其中lnL為取對數的似然函數，？茲為參數，Ni，Si為第i個試樣的疲勞試驗數據，n為數據點個數，f為正態分布的概率密度函數，？椎為正態分布函數。當似然函數lnL取最大值時，六個參數即為最佳取值。實際應用過程中，為縮短計算時間，可以采用最小二乘法估計均值壽命曲線的參數C、m和S0，然后再采用最優化方法求解其它參數。一般情況下，P-S-N曲線有如下規律：

（1）各級應力水平下，疲勞壽命的標準差σN大于0；

（2）應力水平越低，壽命分散性越大，σN對S的導數大于0；

（3）S0s>S0，本文對多種材料的升降法試驗數據進行統計分析發現，疲勞極限的變異系數通常小于0.13，即（S0s-S0）/S0<0.13。

以（1-3）作為約束條件，對式（5）進行最優化求解，得到Cs、ms和S0s的取值。任意可靠度下的P-S-N曲線可以表示為

logNp=？滋N（S）+upσN（S） （6）

其中up為與可靠度對應的標準正態偏量，式（6）在中長壽命區是合理的，但是當應力水平趨于疲勞極限時，會出現奇異現象，與實際情況不符。究其原因，疲勞壽命服從對數正態分布的假設在疲勞極限附近不合理，此時，可以采用疲勞強度分布假設。

2.2 疲勞強度的概率分布

給定壽命下疲勞強度的概率分布不能通過試驗方法直接獲得，只有采用間接方法來研究。最早Weibull以給定應力水平的疲勞壽命分布規律推導出給定壽命的疲勞強度分布規律，提出疲勞壽命破壞率與疲勞強度破壞率相等。疲勞強度概率分布問題從統計角度出發，利用統計推斷方法處理，對三組大樣本試驗數據的分析結果表明疲勞強度可以用威布爾分布或正態分布描述。

3 基于疲勞強度分布假設的極大似然法

對式（1）進行變換，疲勞強度可以寫成壽命N的表達式

式中，Sp為具有可靠度p的疲勞強度；N為疲勞壽命。假設給定壽命的疲勞強度服從正態分布，疲勞強度的均值和標準差可寫為

式中，μS和σS為疲勞強度的均值和標準差，是壽命N的函數。疲勞強度S的概率密度函數為

對于一組疲勞試驗數據，構造似然函數[3]

式（12）對疲勞試驗數據的類型沒有限制，升降法“對子應力”為指定壽命下疲勞強度的樣本，單點法和成組法的試驗點（Si，Ni）可以看作是壽命Ni下的疲勞強度Si。當似然函數lnL取最大值時，六個參數即為最佳取值。

以2.1中的（1-3）作為約束條件，對lnL進行優化求解，P-S-N曲線的擬合過程可以表述為

其中，σN（S）由式（2）計算。式（13）中的優化問題在實際計算中可以先通過最小二乘法估計均值壽命曲線的參數C、m和S0，然后再采用優化方法求解其他參數，以縮短計算時間和已有的均值壽命曲線擬合保持一致。任意可靠度下的Sp-N曲線可以表示為

將式（8）代入式（13）得

4 結束語

假設疲勞強度服從正態分布，基于極大似然法原理給出了一種新的P-S-N曲線擬合方法。兩組試驗數據的擬合結果表明中等壽命區疲勞強度服從正態分布的假設與疲勞壽命服從對數正態分布假設在工程上近似等效。疲勞強度假設能更好地描述疲勞極限附近的P-S-N曲線。與最小二乘法和傳統極大似然法的對比表明，本文方法對各類型的試驗數據擬合效果更佳。

參考文獻：

[1]傅惠民，高鎮同，梁美訓.P-S-N曲線擬合法[J].航空學報，1988，9（7）：A338～A341.

[2]謝金標，姚衛星.疲勞S-N曲線擬合的雙加權最小二乘法[J].宇航學報，2010，31（6）：1661～1665.

[3]王強，林元華. QPQ鹽浴復合熱處理中滲氮溫度對4145鋼疲勞壽命的影響[J].科技創新與應用，2016（33）：23-24.endprint