重塑物理學的奇異拓撲學

姚人杰/編譯

重塑物理學的奇異拓撲學

姚人杰/編譯

結構像這個螺旋24面體的材料能幫助工程師在未來的光線設備中控制光進入拓撲狀態

● 拓撲效應可能隱藏在非常普通的材料中，等待著揭示奇異的新粒子或支撐量子計算。

查爾斯·凱恩（Charles Kane）從未想到過，他會和拓撲學家一起共事。“我不像數學家一樣思考。”凱恩如此承認。他是一位理論物理學家，研究對象更多地聚焦于關于固體材料的實際問題。并不單單只有他這么想。物理學家通常極少關注拓撲學——那是對形狀和它們的空間排列的數學研究。但現在凱恩和其他物理學家蜂擁到拓撲學領域。

在過去的10年內，他們已經發現拓撲學提供了獨特的視角，令人能洞悉材料的物理性質，譬如：一些絕緣體如何能夠沿著表面的單個原子層傳導電流。

一些拓撲效應在20世紀80年代被發現，但直到過去數年里，研究者才開始意識到，拓撲效應可能比任何人的預期更加普遍和怪異。拓撲材料一直“在大家眼皮子底下，而大家沒想到去尋找。”在賓夕法尼亞大學工作的凱恩說道。

如今，拓撲物理在不斷發展，很少看到關于固體物理的論文標題里沒有“拓撲”這兩個字。實驗物理學家會變得更加忙碌。最近出版的《自然》雜志上發表的一篇研究揭曉了一組可能擁有拓撲效應的材料，給予物理學家更多空間去尋找奇異的物質形態（譬如外爾費米子或量子自旋液體）。

科學家希望：拓撲材料最終能夠在更快、更高效的計算機芯片或量子計算機上獲得應用。拓撲材料已經用作虛擬實驗室來檢驗關于未發現、奇異基本粒子與物理定律的預測。許多研究者聲稱，拓撲物理的真正獎賞會是對物質本身性質的更深理解。“拓撲物理的涌現現象大概在我們周圍到處可見——甚至在一塊石頭上。”普林斯頓大學的物理學家扎希德·哈桑（Zahid Hasan）說道。

亞原子粒子的一些最基本的性質從本質上來說就是拓撲的。以電子自旋為例，自旋方向可以向上或向下。翻轉一個電子，讓它的自旋方向從向上變成向下，接著再變成向上，你也許會認為這種360度的旋轉會讓粒子回到最初的狀態。但事實并非如此。

在量子物理的奇異世界里，一個電子可以表示成波函數，關于粒子的各種信息被編碼在這個波函數里，譬如發現電子處于某種旋轉狀態的概率。雖然與直覺相反，但一次360度的旋轉實際上讓波函數的相位發生偏移，于是波峰變成了波谷，波谷變成了波峰。要再來一次360度的旋轉，才能最終讓電子和它的波函數回到初始的狀態。

這正是數學家最喜愛的一個拓撲奇異結構（莫比烏斯帶）中發生的事情。將一條緞帶旋轉半圈，再把兩端粘在一起，就形成了莫比烏斯帶。假如有一只螞蟻沿著緞帶爬行一整圈，它會發現自己來到了出發點的另外一面。它必須再爬行整整一圈后才能回到它最初的位置。

螞蟻的處境不只是電子波函數相關情況的類比，實際上，這種情況發生在量子波構造的抽象幾何空間里。好比是每一個電子中都包含了一條迷你的莫比烏斯帶，莫比烏斯帶具有一些有趣的拓撲性質。包括夸克和中微子在內的各種粒子分享著這個特性，它們被稱為費米子；那些不具有這項性質的粒子——譬如光子——被稱為玻色子。

大多數物理學家研究自旋之類的量子概念，卻不擔心它們的拓撲學含義。然而，在20世紀80年代，諸如華盛頓大學的戴維·索利斯（David Thouless）等理論物理學家開始猜測，也許拓撲學可以解釋剛剛發現的“量子霍爾效應”的驚人現象。當材料被放置在不同強度的磁場中，在一層單個原子厚度的晶體中，量子霍爾效應會引起電阻的不連續躍遷。關鍵的是，電阻不會因為溫度的變動或者晶體內的雜質而改變。哈桑說，這樣的穩定性是拓撲狀態的關鍵特性之一，而拓撲狀態是物理學家急切想要利用的。

峰回路轉的物理學

1982年，索利斯與同事揭示了量子霍爾效應背后的拓撲現象，這一發現最終幫助索利斯分享2016年諾貝爾物理學獎。就像電子自旋，這種拓撲現象發生在抽象空間中。但在這個事例中，潛在形狀不是莫比烏斯帶，而是像甜甜圈的表面。隨著磁場的逐步上升和下降，表面有渦旋形成和消失，就像颶風眼周圍的風場模式。

渦旋有著一項被稱為“卷繞數”的性質，它描述了渦旋繞著中心點環繞了多少次。卷繞數是拓撲學不變量，不會隨著形狀的變形而改變。當一個磁場施加在“甜甜圈”周圍時，突然存在和突然消失的渦旋卷繞數的總和永遠保持一樣。這個總和叫做“陳數”，以美籍華裔數學家陳省身的名字命名。從20世紀40年代起，拓撲學家們就知道了這個數。

最讓人震驚的發現尚未出現。直到21世紀，量子霍爾效應和其他拓撲效應仍然只有在強磁場的存在下才被觀察到。但凱恩、他的同事和另一支研究團隊意識到，用重元素形成的一些絕緣體通過電子和原子核之間的內部相互作用，自身就能夠提供磁場。這就給予材料表面的電子一種穩定的、“拓撲保護”的狀態，這種狀態使得電子能夠在接近無電阻的條件下流動。到了2008年，哈桑的研究團隊已經演示了銻化鉍晶體 （被稱為拓撲絕緣體）內的這種效應。“那是樂趣的起始。”他說道。

這個發現震撼了物理學世界，理論物理學家愛德華·威滕（Edward Witten）說道。威滕在普林斯頓高等研究院工作，也是至今唯一1位榮獲了菲爾茲獎的物理學家，菲爾茲獎是數學家們覬覦的獎項。現在看來，拓撲狀態完全不是奇異的例外情況，反而是為發現自然中的未知效應提供了廣泛的可能性。威滕說道：“范式已經改變。”

一個最大的驚喜在于，這些狀態常常能夠用既有的理論來解釋，而這些理論當初是為了解決完全不同的問題，如讓萬有引力與量子物理學相一致。威滕的拓撲量子場論之類的概念催生了純數學領域的突破，如今正在出人意料的地方回歸到物理學。“這是種奇跡般的思想循環。”數學家邁克爾·阿蒂亞（Michael Atiyah）說道，他也是菲爾茲獎得主，目前在劍橋大學工作，也致力于研究拓撲理論。

奇異至極

另一件讓人大感驚奇的事是，在拓撲材料中，電子和其他粒子有時能夠形成特殊形態，在這種形態下，這些粒子的共同行為仿佛它們是基本粒子。這些“準粒子”形態也許擁有任何已知基本粒子中都不存在的特殊性質，它們甚至能夠模擬物理學家尚需發現的粒子。

科學家最為翹首以待的一種準粒子發現于兩年之前。這種被稱為外爾費米子或者無質量費米子的準粒子在21世紀20年代由數學家赫爾曼·外爾（Hermannn Weyl）推測。在常規粒子群落中發現的所有費米子都有質量。但哈桑計算得出，砷化鉭晶體內的拓撲效應能產生行為方式像外爾費米子的無質量準粒子。對于一個準粒子來說，無質量意味著它的移動速度與它的能量的移動速度相同。2015年，哈桑的研究團隊用實驗方法確認了這個結論，中國科學院翁紅明帶領的研究團隊也做出了這一發現。研究者希望，這幾類材料在未來某天也許能被用在超高速晶體管之類的應用上。在晶體內移動的電子撞擊到雜質時，通常會發生散射，這樣就拖慢了它們的進程，但哈桑研究的砷化鉭晶體內的拓撲效應允許電子以沒有干擾的超高速行進。

與此同時，麻省理工學院的物理學家馬林·索爾亞契奇（Marin Soljacic）和他的同事觀察到一些與外爾費米子非常相近的東西，不過是在電磁波中，而不是在固態晶體中。首先，他們通過在一疊塑料平板中鉆洞而構建螺旋24面體結構 （這個讓人入迷的三維圖是一系列互相連結的螺旋樓梯）；然后，他們向螺旋24面體發射微波，看見光子（光子是無質量的玻色子）的行為像哈桑研究的材料中的外爾費米子準粒子一樣。快速發展的拓撲光子學最激動人心的前景之一是：使用晶體來制造光纖，這樣的光纖只允許光從一個方向進入，這樣會避免光在瑕疵處反彈，就會大幅度提升遠距離傳輸的效率。

活躍中的渦旋：隨著一對對渦旋的結合與分離，它們卷繞的方向變得明白無疑

按照奇異性的衡量尺度，在索爾亞契奇的玻色子-費米子中，居首的唯一準粒子是一種名叫“任意子”的奇異物質。一般來說，單個粒子要么屬于費米子，要么屬于玻色子。但任意子——存在于二維的、原子厚度的材料中的準粒子——打破了這條規則。當兩個相同的粒子交換位置時，研究者能觀察到這種對規則的僭越。在玻色子中，交換對共同波函數沒有影響；對費米子來說，位置交換讓波函數的相位偏移了180度，類似于單個電子進行360度翻轉時的情形。但是對任意子而言，波函數的相位改變的角度視任意子的種類而定。不僅如此，這個理論間接表明在某些情況下，將任意子再次換回到原先位置并不會恢復最初的波函數。

于是，假如研究者能夠創造出好幾個這種任意子，讓它們緊挨著彼此，再將它們交換位置，它們的量子化狀態會“記住”它們交換位置的過程。將任意子的二維空間運動增加代表時間的第三維，物理學家能夠讓這個過程可視化。結果是一系列線條的辮形結構，這些線條彼此糾纏。原則上，這樣的量子辮能夠用來將量子位（或稱為量子位元，是量子計算機內的信息單位）譯成密碼。它們的拓撲性質會保護量子位元免受外部噪聲干擾，外部噪聲對其他任何一種儲存量子信息的技術都造成了麻煩。

2005年，微軟公司在量子辮上做出大筆投資，任命數學家邁克爾·弗里德曼（Michael Freedman）負責微軟公司在量子計算機上的研究工作。弗里德曼在1986年榮獲了菲爾茲獎，憑借的是攻克四維球體拓撲性質的工作，他在20世紀90年代發展出一些讓量子位元形成量子辮的關鍵構思。最初，弗里德曼的團隊主要聚焦于理論方面。但是在2016年下半年，微軟公司從學術界雇用了幾位明星級的實驗物理學家。其中有一位是荷蘭代爾夫特理工大學的物理學家萊奧·考恩霍文（Leo Kouwenhoven），他在2012年率先用實驗方法確認了任意子這類粒子記憶了它們交換位置的過程。他目前在代爾夫特理工大學的校園內建立起一家全新的微軟實驗室，目標是論證任意子能夠將量子位元譯成密碼，做簡單的量子計算。這種方式比起其他的量子計算形式起碼落后了20年，但弗里德曼認為，拓撲量子位元的穩定性會最終取得完全勝利。“假如你要構建一項新技術，你必須讓基礎正確。”他說道。而哈桑正在試圖做類似的實驗，但他認為：拓撲量子計算機至少還要40年。“我的預測是，未來很多年里，物質的拓撲相只會停留于大學實驗室里。”哈桑說道。

拓撲圖集

然而，也許有辦法能加快研究工作。但尋找新的拓撲絕緣體的實驗物理學家會依賴費力的步驟，包括計算每種材料中電子的可能能量來預測該材料的性質。

普林斯頓大學的理論物理學家安德烈·伯恩維格（Andrei Bernevig）領導的團隊發現了一條捷徑。研究人員通過查看在材料晶體結構中存在的所有230種不同的對稱型，創造出一份拓撲材料的圖集。然后，他們系統預測：這些對稱型中的哪些從原則上來說能夠容納拓撲態，這樣就不必首先計算它們的所有能級。他們認為，在所有材料中有10%到30%的材料能夠表現出拓撲效應，可能總共有幾萬種化合物。到目前為止，只有幾百種拓撲材料得以確定。“結果顯示，我們至今所知的只是可能存在的大量拓撲材料中的一小部分而已，還有更多拓撲材料等待發現。”伯恩維格說。

這支研究團隊中包括有來自西班牙畢爾巴鄂的巴斯克大學的3位專門研究晶體的數學理論的專家，研究者很快就能夠查閱“畢爾巴鄂晶體學服務器”上的資料，查明某一種晶體材料是否有可能擁有拓撲性質。北京清華大學的物理學家李渭說，伯恩維格的方法用來搜尋新的拓撲絕緣體肯定是更有效率的辦法。“我相信，未來會有許多新材料出現。”他說道。

“然而，知道一種材料擁有某種拓撲物質狀態，這并不意味著立刻能預測它的性質。”共同作者克勞迪婭·費爾澤（Claudia Felser）警告道，她是位于德國德累斯頓的馬克斯·普朗克固體化學物理研究所的一位材料科學家。“仍然需要針對每一種材料計算和測量這些性質。”她說道。

至今研究過的多數拓撲材料——包括在伯恩維格的圖集中出現的那些——相對來說容易理解些，因為材料內的電子感受到的彼此間的靜電排斥微乎其微。理論物理學家遇到的下一個巨大挑戰是理解“強相互作用”的拓撲材料，這些材料中的電子會互相推動。假如理論物理學家能攻克這個難題，哈桑說，“你會發現一大批全新的、我們甚至無法想象的物理現象。”

這個領域的核心是這種數學和物理學間的相互影響，凱恩說道，“驅動我不斷研究的是這種彼此交叉的東西，一方面有著難以置信的數學美感，另一方面能在現實世界中變得鮮活。”

[資料來源：Nature][責任編輯：岳 峰]