關于素數的兩個著名猜想的證明

相振泉王龍（西安市第68中學，陜西西安710086）

關于素數的兩個著名猜想的證明

相振泉王龍
（西安市第68中學，陜西西安710086）

文章采用《新篩法導論》一書中區間法論的思想和《九章算術》中的“法實相推”的理論，結合同余性質和數學歸納法，研究了關于素數的兩個著名的猜想：當n＞1時,n2和n2+n之間最少有1個素數；當n≥1時，n2和(n+1)2之間最少有1個素數，文中對這兩個定理進行了證明。

基礎教育成果；開區間篩法；同余性質；數學歸納法；法實相推

這兩個著名猜想出自于文［1］。文［2］是基礎教育的優秀成果。筆者認為文［2］中開區間篩法論的思想和數學經典《九章算術》的結合是證明這兩個猜想的關鍵；動態的“法實相推”和“新篩法”是數學思想的重大突破，也是數學工具的重大突破。

引理1（開區間篩法第一小定理［2］）m≥8時，在開區間（m，2m）中任意整數ai滿足篩法式

引理2（帶余數除法定理［3］）如果a是整數，b是正整數，那么，有唯一的整數b，r滿足a=b×q+r，0≤r＜b，當且僅當r=0時，b│a。

引理3自然數階乘定理n≥8時，n!＞(3n)3。

證明：根據數學歸納法

Ⅰ：當n=8時，8!==40320＞(3·8)3=13824引理成立。

Ⅱ：當n=k(k是自然數)假設引理成立。k!＞（3k）3…①，根據(3k+3)3=(3k)3+3(3k)2·3+3(3k)·9+27＜(3k)3(k+1)…②，由②結合①有(3k)3(k+1)＜k!(k+1)=(k+1)!…③由②③有（k+1）!＞(3(k+1))3也就是n=k+1時，

(k+1)!＞(3(k+1))3引理也成立。根據數學歸納法Ⅰ，Ⅱ知引理成立。

引理4（同余定理［4］［5］）b1，b2，b3，…，bk，a1，a2，a3…ak都是整數，k，m是正整數，當b1≡a1（modm），b2≡a2（modm），b3≡a3（modm）…bk≡ak（modm），則：b1b2b3…bk≡a1a2a3…ak（modm）。

證明：定理1，用數學歸納法：Ⅰ:列表驗證歸納

定理2n≥1時，n2和(n+1)2之間最少有1個素數。

證明：Ⅰ:當n=1時，1和4之間有2和3兩個素數。Ⅱ:根據定理1知n≥2時，n2和n2+n之間間最少有1個素數。又因為（n2,n2+n)?(n2,（n+1）2）,所以，n≥2時，n2和（n+1）2之間最少有1個素數。再結合Ⅰ，當n=1時，1和4之間有2和3兩個素數。所以，當n≥1時，n2和(n+1)2之間最少有1個素數。定理2得證。

［1］胡作玄.數學考難題［M］.福州：福建科學技術出版社，2000：31-33.

［2］相振泉.新篩法導論［M］.西安:陜西人民出版社，2016:140-150.

［3］潘承洞，潘承彪.簡明數論［M］.北京:北京大學出版社，1998:12，198.

［4］相振泉，王龍.莫忘基礎教育成果的應用［J］.數學學習與研究，2016（9）.

［5］相振泉，王龍.新篩法及其一個例證［J］.科技展望，2016（26）.

（責任編輯：萬丙晟）