數學文化視角下的高三試題命制探析

楊蒼洲（泉州第五中學，福建泉州362000）

數學文化視角下的高三試題命制探析

楊蒼洲（泉州第五中學，福建泉州362000）

數學文化視角下的試題命制，不應只停留于編制有歷史背景而無文化本質的數學試題，而應該關注數學文化與試題的自然融合，唯此，才能深入考查數學知識的文化內涵。有數學文化韻味的試題應能讓解題者在解題成功后，享受到解題帶來的愉悅，同時受到數學文化的熏陶。

高考；數學文化；命題方法

一、從2017年高考全國卷兩道試題說起

2017年修訂后的《考試大綱》增加了對數學文化的要求，與此同時，2017年的高考也迅速對此作出積極的反應。2017年高考全國Ⅰ卷理科第2題以我國的太極圖為背景，考查幾何概型；全國Ⅱ卷第3題從我國古代數學名著《算法統宗》引入，考查等比數列。

題1：（2017年高考全國Ⅰ卷理科第2題）如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖。正方形內切圓中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心對稱，在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是

解析：設正方形邊長為，則圓半徑為2則正方形的面積為2×2=4，圓的面積為π×12=π，圖中黑色部分，則此點取自黑色部分的概率為故選B。

題2：（2017年高考全國Ⅱ卷理科第3題）我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈

A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞

解析：設塔的頂層共有燈x盞，則各層的燈數構成一個公比為2的等比數列，由，可得x=3，故選B。

高考過后，《人民日報》記者專訪了教育部考試中心主任姜鋼。他指出：2017年高考數學科試題加強中國古代數學文化的滲透，強調中國古代數學文化的傳統特色。實則，對于數學文化的要求，并非今年的考試大綱修訂后的應景產物，在《普通高中數學課程標準（2003實驗版）》中早已經做了闡述：數學是人類文化的重要組成部分。高中數學課程提倡體現數學的文化價值，并在適當的內容中提出對數學文化的學習要求。［1］

二、對近年高考中數學文化試題的認識

除了2017年的高考全國卷的試題中涉及數學文化外，在近年各省分省命題的高考試題中也充分關注了數學文化的考查，其中，以湖北卷最具代表性。

2011-2014年高考湖北省數學文化試題背景統計表

上表是2011—2014年高考湖北省數學卷中滲透數學文化的試題背景統計（2015年后湖北省參加全國Ⅰ卷的統考不再自主命題），從上表可看出，這些滲透數學文化背景的試題大部分是以數學史為背景進行命制的。

我們不能狹隘認為數學文化等同于數學史。實際上，數學文化涵蓋的范圍很廣，如數學史、數學美、數學的思想、數學的精神、數學中的哲學、數學與人類其他知識領域之間的關聯等。它們之間內容相互交叉融合，如“數學史”中的數學文化，就應包含伴隨著數學知識的發生、發展、傳播而積蓄下的數學思維方式、數學思想觀念及數學精神品質等。［1］

縱觀近年高考中的數學文化試題，我們發現這些試題都僅僅是對簡單的史學背景的生搬硬套，是對數學文化淺層次的考查，并未觸及數學文化的本質。此類試題就算是摒棄了史學背景，考生依然可順利作答。如：2017年高考全國Ⅱ卷理科第3題若剔除其數學史背景，試題可改為“一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有多少盞燈？”剔除數學史背景后的試題，呈現方式更加直接明了，問題直指高中數學核心知識，這樣的問題將能更加有效地考查高中數學的核心素養。原有的試題背景是命題者故意制造的煙霧彈，只是人為地為考生制造閱讀障礙，實在無法凸顯數學史所蘊含的數學文化價值。

數學文化試題不應該停留于簡單的表層次的考查。數學文化視角下命制的試題，就是要在試題中融合數學文化，力求達到所命制的試題能達到“有背景有內涵”“潤物細無聲”的境界，使人在做題的過程默默地受到數學文化的感染。在數學文化的視角下命制的數學試題，從試題的考查功能角度，可以考查學生的數學知識與方法，還可以考查學生的數學素養；從試題的導向功能角度，可引導教師的教與學生的學，使學生通過數學的學習，不斷地提高自身的數學素養。

三、數學文化試題可以這樣考

張奠宙教授指出：在數學教學中運用數學史知識時，不能簡單地、就事論事地介紹史實，而應該著重揭示含于歷史進程中的數學文化價值，營造數學的文化意境，提高數學的文化品位。［2］筆者認為，數學文化試題的命制也不應該僅僅局限于以數學史為背景進行試題包裝，而應該考查更加廣義下的數學文化，重在感受數學的實際應用、數學的思想方法、數學的理性精神等。筆者曾命制部分試題，感覺尚有一絲數學文化的味道，現摘錄部分試題如下，求教于方家。

（一）數學與歷史——感受數學的發現過程

以數學史中的人物、事件、問題等為背景編制試題，是編制數學文化試題的一種常見手法。一個優秀的數學文化試題，應該既能體現數學史的背景，又能讓解題者在解題過程中體驗歷史上數學的發現過程，此類試題不僅表象優美而且內涵豐富、韻味悠長。

例1（2015年泉州市質檢）關于圓周率π，數學發展史上出現過許多很有創意的求法，如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗。受其啟發，我們也可以通過設計下面的實驗來估計π的值：先請120名同學，每人隨機寫下一個都小于1的正實數對(x,y)；再統計兩數能與1構成鈍角三角形三邊的數對(x,y)的個數m最后再根據統計數m來估計π的值。假如統計結果是m=34，那么可以估計π≈_____________。（用分數表示）

數學發展史上有許多很有創意的求解“圓周率π”的實驗，本題以此為背景，設計數學實驗，經歷實驗過程，探究實驗原理，從而體驗前輩數學家的創新工作與探索精神。

例2（2014年泉州市質檢）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側視圖中的虛線部分是

（A）圓弧

（B）拋物線的一部分（C）橢圓的一部分

（D）雙曲線的一部分

圓錐曲線（conic section），又稱圓錐截痕、圓錐截面、二次曲線，是數學、幾何學中通過一個正圓錐面和一個平面完整相切得到的一些曲線，在約公元前200年時就已被命名和研究了。本題的解題經歷，將為解題者普及“圓錐曲線”的由來，進一步揭示圓錐曲線的本質。

（二）數學與藝術——發掘數學的美學價值

羅丹說，生活中并不缺少美,而是缺少發現美的眼睛。借助數學可以發現生活中許許多多的美，如，統一美、對稱美、簡潔美等。以此為背景設置的試題，能在檢測基礎知識與基本技能的同時，深入檢測考生數學素養。

例3（2014年泉州市質檢）如圖，某數學愛好者設計了一個食品商標，該商標的輪廓由曲線段AOC和曲線段AEC構成。在平面直角坐標系xOy中，曲線段AOC是函數y=tan(-1≤x≤1)的圖象，曲線段AEC是一段圓弧，其所對的圓心角為。若在正方形ABCD內隨機選取一點P，則點P在陰影部分內的概率等于

商標的設計往往遵循數學的審美觀點，如，對稱美、簡潔美。本題題干設置的圖形優美，緊張的考試之中能讓學生眼前一亮。除此之外，在解題過程中，需要利用奇函數的對稱特征，方能順利解題，整個過程中學生享受到解題的愉悅。

例4（2017年泉州市質檢）榫卯（sǔn mǎo）是古代中國建筑、家具及其他器械的主要結構方式，是在兩個構件上采用凹凸部位相結合的一種連接方式，凸出部分叫做“榫頭”。某“榫頭”的三視圖及其部分尺寸如圖所示，則該“榫頭”體積等于

（A）12（B）13（C）14（D）15

榫卯結構是一個凝結了中國幾千年傳統文化精粹的技術，是中國古代勞動人民的智慧結晶，也是最燒腦的藝術。在享受美的同時，有效地考查了三視圖、空間幾何體的體積等知識，同時也培養了民族自豪感。

（三）數學與游戲——體驗數學的趣味特性

在2002年8月的國際數學家大會上，數學大師陳省身先生寫下了耐人尋味的四個字——數學好玩。那么命題者該該怎樣體現數學好玩、有趣呢？以游戲為背景設置試題，不僅背景自然、真實，同時也讓枯燥的數學問題充滿詩意。

例6（2011年泉州市質檢）“黑白配”游戲，是小朋友最普及的一種游戲，很多時候被當成決定優先權的一種方式。它需要參與游戲的人（三人或三人以上）同時出示手勢，以手心（白）、手背（黑）來決定勝負，當其中一個人出示的手勢與其它人都不一樣時，則這個人勝出，其他情況，則不分勝負。現在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戲。設甲乙丙三人每次都隨機出“手心（白）、手背（黑）”中的某一個手勢，則一次游戲中甲勝出的概率是____________。

“黑白配”游戲的背景，讓回憶仿佛又回到童年。本題熟悉的游戲場景，不僅體現了試題的公平性、趣味性，在考查古典概率的同時，有效檢測了考生的數學閱讀能力和分析問題、解決問題的能力。

例7（2017年泉州市質檢）如圖，一張A4紙的長、寬分別為22a，2a。A，B，C，D分別是其四條邊的中點。現將其沿圖中虛線折起，使得P1，P2，P3，P4四點重合為一點P，從而得到一個多面體。關于該多面體的下列命題，正確的是____。（寫出所有正確命題的序號）

①該多面體是三棱錐；

②平面BAD⊥平面BCD；

③平面BAC⊥平面ACD；

④該多面體外接球的表面積為5πa2。

“折紙”是生活中的常見游戲之一。大部分的折紙活動是基于對稱進行的，這就產生了許多幾何元素，如：全等、相似、重合、垂直、中點、直角三角形、矩形、正方形。顯然，折紙游戲是考查空間想象能力不可多得的載體。

（四）數學與決策——體驗數學的實際應用

有人的地方就有數學。小到投資理財、置業經商的決策，大到國家方針政策的制定，這些問題都需要我們使用數學工具對其加以解決。因此，以實際生活為背景進行試題設置，可考查考生的數學應用意識，進一步倡導學以致用。

例8（2017年泉州市質檢）某密碼鎖共設四個數位，每個數位的數字都可以是1，2，3，4中的任一個。現密碼破譯者得知：甲所設的四個數字有且僅有三個相同；乙所設的四個數字有兩個相同，另兩個也相同；丙所設的四個數字有且僅有兩個相同；丁所設的四個數字互不相同。則上述四人所設密碼最安全的是

（A）甲（B）乙（C）丙（D）丁

生活往往需要決策。本題以密碼的安全性為背景設置試題，背景貼近生活，立足于數學本質，合理地檢測了學生的數學應用意識等基本數學素養。

例9（2012年泉州市質檢）為調查某校學生喜歡數學課的人數比例，采用如下調查方法：

（1）在該校中隨機抽取100名學生，并編號為1,2, 3，……,100；

（2）在箱內放置兩個白球和三個紅球，讓抽取的100名學生分別從箱中隨機摸出一球，記住其顏色并放回；

（3）請下列兩類學生舉手：（ⅰ）摸到白球且號數為偶數的學生；（ⅱ）摸到紅球且不喜歡數學課的學生。

如果總共有26名學生舉手，那么用概率與統計的知識估計，該校學生中喜歡數學課的人數比例大約是

（A）88%（B）90%（C）92%（D）94%

本題取材于高中課本《普通高中課程標準實驗教科書數學必修3》人教A版的一節閱讀材料“如何得到敏感性問題的誠實反應”，此種調查方法也是實際生活中常用的一種調查方法，以此為背景設置試題，充分體現了“數學是有用的”。

數學文化在《普通高中數學課程標準（2003實驗版）》作為課程理念得到了體現，同時在《考試大綱》中也得到了特別的重視。因此，近年的高考必然特別關注數學文化的考查。探索如何在數學試題中發揮數學文化的價值與功能將是命題者的一個重要課題，筆者認為，命題者對數學文化的范疇需要有個全新的認識，數學文化在試題中需要“潤物細無聲”地滲透。

［1］教育部.普通高中數學課程標準［S］.北京：人民教育出版社，2003:2-3.

［2］張奠宙.關于數學史和數學文化［J］.高等數學研究，2008（1）.

［3］楊蒼洲.試題中數學文化的考查舉例——以2013年福建省高三數學質檢卷為例［J］.中學教研（數學），2013（9）.

（責任編輯：萬丙晟）