處于靜態中帶電平面導體電荷分布概率的計算

北京北方長城光電儀器有限公司 徐衛星

處于靜態中帶電平面導體電荷分布概率的計算

北京北方長城光電儀器有限公司 徐衛星

為了能夠了解導體內電荷的分布概況,利用麥克斯韋方程組中電場積分式,令其電場強度與閉環回路(或封閉空間)的積分和為零的理念,建立坐標模型和數學模型進行運算求得分布概率結果所采用的一種方法。

麥克斯韋方程積分式；導體內電場強度處處為零；電荷分布概率

引言

上一篇論文闡述了對線性帶電導體電荷分布概率的計算方法,本次繼續論述關于平面導體電荷分布概率的計算。( 上一篇論文發表在《電子技術與軟件工程》2016年16期第138頁 國際刊號ISSN 2095-5650)。

1. 為了更好地描述這種方法先闡述幾個基本概念

1.1 平面分割：為了便于計算將被計算導體平面按照其平面特性分割成數塊小面積。一般是按照平面的軸向方向與徑向方向分割成數塊邊長為2△的正方形。注意：1)分割后平面必須不漏任何空余處。2)分割的面積盡量一致，否則影響計算精確度，特別是對電荷密度進行相對比較的塊。3)測試方向兩端必須存有連續中心電荷點,否則無意義。)

1.2 平面軸向方向：在進行平面分割時一般將平面較長的方向定為平面軸向方向。

1.3 平面徑向方向：在進行平面分割時一般將平面較短的方向定為平面徑向方向。

1.4 中心電荷點：在分割的小面積中選取某一點,此點可代表此分割面積的電荷集合量及其電荷集合量產生的電場對測試點的作用力,一般選在平面分割的中心范圍內。

1.5 中心電荷線(帶)：在分割帶狀平面時往往分割成數條軸向的條形帶，在帶中取一條線，此線可代表此分割帶的電荷集合量及其電荷集合量產生的電場對測試點的作用力，一般選在分割帶的中間軸向直線。

1.6 測試方向：在導體平面中沿著徑向和軸向方向上,在測試點處,設定的電場力的方向。

1.7 測試點：在導體平面中沿著徑向和軸向方向上,在中心電荷點之間設定測試電荷的測量點。(q為盡小影響環境電場的電荷量)

2. 證明論述

2.1 計算方法：將任意平面的帶電導體分劃出n多個小面積(一般為邊長是2△的正方形)將n多個凡是存有電荷小面積中的電荷量，集中在選定的各自小面積中的中心電荷點處。n多個中心點電荷的相互電場力可利用庫侖定律建立函數關系。再經過合力分解方法轉化為兩條互相垂直的線性上，令其處處為零。解出各小面積的電荷量，從而求得各自密度值。

2.2 計算步驟：在任意平面的帶電導體中任意劃分二條間距2△的平行線，在二平行線中取n多個邊長2△的正方形，直至導體的邊緣。將二平行線以同樣方法上下外延m多個平行線，直至導體的邊緣。并取得n×m個邊長2△的正方形。在含有導體的小正方形中心確定中心電荷點。（因導體往往處于不規則形狀，會有小正方形中沒有導體存在）利用庫侖定律建立出每個中心電荷點相互作用力的關系，并分解為水平分量（或垂直）和垂直分量（或水平）。建立測試點使其各自為零。推算出各個電荷量，便求得電荷分布概率。即：

（i=1、2、3…n,j=1、2、3…m)，σij為電荷密度，Qij為中心電荷點電量，S為導體面積。

2.3 可行性論證：在平面導體中任取一個分割小面積，此處為某一小正方形。如圖1當求得測試點q1、q2、q3、q4都為零時q0測試點處必為零。其它小正方形具有同理。而當n→∞，時，因導體是連續、電荷分布是連續，所以任意點處在平衡狀態下是無電場力和電荷移動的存在，任何閉環的積分必為零。

圖1

3. 舉例

為了更好地理解這種方法，下面舉幾個簡單而有特性的例子。

3.1 正方形帶電導體

3.1.1 環境與條件：一張邊長為b極薄的正方形帶有Qs電量的導體，因不考慮厚度的影響。在沒有任何電磁場干擾的理想情況下計算電荷分布概率。

3.1.2 闡述：將正方形帶有電荷導體分割為n=3，m=3，邊長為2△的9個小正方形。如圖2，其中Q11、Q12、Q13、Q21、Q22、Q23、Q31、Q32、Q33為中心電荷點，q11、q12、q21、q22、q31、q32為水平測試點，q011、q012、q021、q022、q031、q032為垂直測試點。

其水平分量為：

以此類推。

3.1.3 圖例

圖2

3.1.4 根據圖示和運算方法建立數學模型：

3.1.5 運算結果：約去△、K、q，解得：

3.2 異形平面帶電體之一：

3.2.1 環境與條件：一張邊長為b極薄的十字形帶有Qs電量的導體，因不考慮厚度的影響。在沒有任何電磁場干擾的理想情況下計算電荷分布概率。

3.2.2 闡述：如圖3，將其分割為5個邊長2△正方形，建立中心電荷點Q12、Q21、Q22、Q23、Q32;q21、q22為水平方向測試點q021、q022為垂直方向測試點。

3.2.3 圖例

圖3

3.2.4 根據圖示和運算方法建立數學模型：

3.2.5 運算結果：約去△、K、q，解得：

異形平面帶電體之二：

3.2.6 環境與條件：一張如圖4極薄的異形帶有Qs電量的導體，因不考慮厚度的影響。在沒有任何電磁場干擾的理想情況下計算電荷分布概率。

3.2.7 闡述：如圖4,將其分割為6個邊長2△正方形,建立中心電荷點Q11、Q12、Q22、Q23、Q31、Q32；q11、q31、q22為水平方向測試點q021、q022為垂直方向測試點。

3.2.8 圖例：

圖4

3.2.9 根據圖示和運算方法建立數學模型：

3.2.10 運算結果：約去△、K、q

3.3 平行帶狀帶電體：

3.3.1 環境與條件：有一條寬度為b長度很長的帶狀帶電平面導體，因不考慮厚度的影響。在沒有任何電磁場干擾的理想情況下,為了便于計算在帶狀導體軸向上只取2△長度中存儲電荷量Qs0來加以計算，進行密度的相對比較。

3.3.2 闡述：如圖5，從上一篇論文中可知非常大平面導體其中部電荷密度值是一樣的，因此可以認為在很長的帶狀導體中軸向方向每條平行線上電荷密度是一致的。而徑向長度只有b長，所以徑向電荷會有很大的變化。在此將帶狀帶電平面導體將其分割為n=5條寬2△帶狀，建立5個中心電荷點Q1、Q2、Q3、Q4、Q5；4個測試點q1、q2、q3、q4，l為測試點到中心電荷帶的距離，A為測試點到電荷點dQi的距離，σQi為中心電荷帶的密度。

由于軸向電荷密度一致，將中心電荷點改用中心電荷帶，采用積分的方法將帶上各個電荷點對測試點的電場徑向作用力進行積分并令其各個為靜態可求得電荷分布概率。

對于中心電荷帶上每個電荷點σQi2△dt(i=1、2、3、4、5)對測試點q的徑向作用力為：

3.3.3 圖例：

圖5

3.3.4 根據圖示和運算方法建立數學模型：

3.4 平面圓導體：

3.4.1 環境與條件：有一個直徑為b的圓形平面帶電導體，因不考慮厚度的影響。在沒有任何電磁場干擾的理想情況下,加以計算進行密度的相對比較.

3.4.2 闡述：在平面圖形完全對稱圓形帶電導體,是一種特殊的形狀，具有特殊性能，并且經常應用到,所以在此重點闡述。

在平面圓靜態導體中任取一點A,在過A點直徑的切線方向上電場力為零時,必然存在這么一種情況，有無數個相對于此直徑的對稱點,其對稱點中的電荷密度必相等。在此條件下必然存在切線方向的靜態平衡。而當某一趨近于此直徑的對稱點如B、C兩點若Qb點要等于Qc則σb必等于σc。(導體為連續的電荷分布也是連續的)由于對稱的圓形，直徑與B、C兩點可存而在于360度任何地方,所以同半徑的圓環中的電荷密度是相等。也同時證明此直徑的所有對稱點的電荷密度也是分別相等的。而直徑方向可以通過計算求得環形電荷密度的變化梯度。由于環狀分布直徑上分布概率應是以中心為對稱的，這與線性導體電荷分布相吻合。

為了簡單化將直徑為b的圓分割為3個環形區域分別為σ1、σ2、σ3每環寬度2△。為了符合分割的3個注意事項做了如圖的分割，由于對稱只畫出一個象限。Q1、Q2、Q3、Q4、Q5、Q6為直徑上中心電荷點，位于每環與直徑相交線的中間。Q4’、Q4”、Q5’、Q01、Q02為各分割面積中心電荷點。Q4’、Q4”、Q5’位于Q5、Q6半徑環與Q4、Q5切線交叉點。Q01、Q02位于其分割面積中離一個直角邊的距離是另一個直角邊長的1/3。q1、q2、q3、q4、q5為直徑線的測試點,方向為徑向，位于直徑方向上中心電荷點之中間。

設定：GH=PQ=2×1.67；b=12△通過設定和圖形可計算出各種參數，將其代入數學模型。

3.4.3 圖例：

圖6

3.4.4 根據圖示和運算方法建立數學模型：

4. 結束語

經過上面的探索和計算可以看出電荷即不是均勻分布在導體內，也不是停留在導體的表面，而是由中心向外逐漸遞增，而且分割的越細計算的越精準遞增的值就越大。

[1]迪派克(Dipak,L.S)唯迪斯(Valdis,V.L)著;沈遠茂等譯.應用電磁學與電磁兼容[M].北京:機械工業出版社,2009.

[2]汪泉弟,張淮清.電磁場[M].北京:科學出版社,2013.

[3]張洪欣,沈遠茂,韓宇南.電磁場與電磁波[M].北京:清華大學出版社,2013.

[4]付云起,張光甫,莫錦軍,吳微微.天線理論與工程[M].北京:電子工業出版社,2015.

徐衛星（1957-），男，浙江金華人，學士學位，高級工程師， 主要研究方向：電氣測量。