MATLAB環境下的混凝土能量損耗計算

閆東偉+汪志強+董琦

摘 要：混凝土材料在周期載荷作用下應變對應力具有一定的滯后效應，應變和應力之間存在一定的相位差，由于相位差的存在，使材料在振動過程中會產生一定的能量損耗，可以降低動力荷載帶來的不利影響。本文利用MATLAB處理混凝土單軸試驗條件下進行正弦波加載得到的試驗數據，進行了試驗數據回歸，求得了應力應變滯回圈的特征參量和面積，得出了材料在不同加載頻率下的能量損耗，基于正態分布假設，得到了材料的峰值頻率，為混凝土材料的動力學性能研究提供參考。

關鍵詞：滯回圈 能量損耗 MATLAB 峰值頻率

中圖分類號：TP311 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）07（b）-0090-03

Abstract：In the case of alternating loads， the strain has a certain hysteresis effect on the stress. There is a certain phase difference between the strain and the stress. Due to the existence of the phase difference， the material will produce some energy loss during the vibration process， which can reduce the adverse effect of the dynamic load on the vibration of the concrete material during the working process. In this paper， the experimental data of the concrete single-axis experiment under sine wave loading are analyzed by MATLAB. The experimental data are analyzed to calculate the characteristic parameters and area of the stress-strain hysteresis loop. So the energy loss of the material under different loading frequency is obtained. Based on the assumption of normal distribution， the peak frequency of the material can be found， which can provide reference for understanding the dynamic performance of the concrete.

Key Words：Hysteresis loop； Energy loss； MATLAB； Peak Frequency

材料在特定的應力作用下，可以同時表現出彈性和粘性。理想彈性條件下，材料的應力和應變完全同步，粘性條件下，應變對應力有一定的滯后，一般稱之為粘滯性或滯彈性。由于材料粘滯性的存在，材料或結構會持續吸收外部輸入能量并耗散部分傳入的能量，由于固體內部原因使機械能消耗的現象稱為“能量損耗”。在非彈性階段，結構的穩定性主要取決于結構耗散能量的能力，即保持承載力的同時可以在荷載作用下耗散部分能量[1]，這將大大提高結構的減震能力，在結構抗震、高速鐵路建設等方面發揮重要的作用。

在周期荷載作用下，材料的粘滯性會導致應變和應力之間存在一定的相位差，形成應力-應變滯回圈。結構耗散能量的能力可以用應力-應變滯回圈的面積來衡量。目前，很多研究[2-5]只是對滯回圈的面積進行了一些定性的比較，來粗略地判斷耗能能力；還有一些研究為了便于計算，只是簡單地將各點間用直線連接[6]，粗略計算滯回圈的面積，造成難以避免的誤差。

本文主要采用最小二乘法對試驗數據進行擬合，得到應力-應變滯回圈的橢圓方程，精確計算滯回圈的面積。對不同頻率下的能耗進行高斯擬合，得到能耗隨頻率的變化規律，并得到能耗的峰值，為判斷結構耗散能量的能力提供依據。

1 應力-應變滯回圈

對粘彈性材料施加一定頻率的正弦波荷載，應變滯后于應力，存在一個不變的相位差。將應變與應力繪制在同一坐標曲線中，得到一個滯回圈，其面積即為材料在一個周期內的能量損耗，見圖1。

應力循環中的能量損耗為體系單周應力循環的損耗功W，即外部對體系做功—體系對外部做功。滯回圈所包圍的面積代表材料振動一周所產生的能量損耗。滯回圈的面積愈大，則能量損耗也愈大。滯回圈面積的大小取決于應變和應力之間的相角差，當相角差為零時，材料為理想彈性體，滯回圈的形狀為一條直線，不產生能量損耗。而在一般情況下，應變和應力之間相角差不為零，相角差愈大，滯回圈面積愈大，能量損耗也愈大。

2 混凝土周期載荷試驗

2.1 試驗基本情況

選擇鋼纖維含量為2%的活性粉末混凝土試件進行單軸試驗，規格為φ49.83mm×102.08mm的圓柱體，塊體密度為2.39g/cm3，試樣灰色，致密，表面可見少量鋼纖維。為了減少巖樣上下端部表面的摩擦阻力及偏心荷載的影響，對巖樣兩端進行打磨，保證試件兩端面光滑。

在15MPa應力水平下，按應變控制進行正弦波周期載荷單軸試驗。設定6種頻率（0.5Hz、1Hz、2Hz、4Hz、8Hz、10Hz），加載速率為0.006mm/s，周期載荷作用變位幅值為0.1mm。

2.2 試驗結果

根據周期載荷試驗數據，可以繪出應力應變與時間的關系曲線，圖2為4Hz條件下得到的應力應變隨時間變化曲線。從圖2中可以觀察到應力滯后于應變，兩者存在大小基本恒定相位差。可以根據試驗結果計算不同頻率條件下的混凝土能量損耗。endprint

3 能量損耗計算

利用最小二乘法對所得的應力-應變數據進行擬合，得到鋼纖混凝土材料的滯回圈（橢圓），給出滯回圈基本參數，求出滯回圈面積，即一個振動周期內的能量損耗。一般認為，巖石類材料動態能量損耗的頻率響應存在峰值頻率（共振頻率）[7]，本文利用MATLAB可對能量損耗-頻率進行高斯擬合，得到能量損耗-頻率之間的函數關系，確定了鋼纖混凝土材料在周期荷載下能量損耗的峰值頻率。

3.1 能量損耗求解程序代碼

3.2 參數的擬合

擬合得到的橢圓參數見表1，a1～a5分別代表橢圓一般方程中x2、y2、x y、x和y項的系數。

圖3為試驗得到的原始數據與擬合得到的橢圓，可以看出數據點集中于橢圓曲線附近，用最小二乘法擬合的誤差較小。

3.3 混凝土材料能量損耗的計算

3.4 峰值頻率計算

根據表2中的數據，利用MATLAB進行高斯擬合，結果如圖4所示。

4 結語

本文分析了具有粘滯性的鋼纖維混凝土材料在周期載荷作用下應力應變關系的滯回特性，編制了基于MATLAB環境的能量損耗計算程序，得到了能量損耗隨加載載荷頻率變化的正態分布曲線并計算出了2%摻量的鋼纖維混凝土的峰值頻率。本文所給的MATLAB在處理混凝土材料滯回圈的數據方法，不僅能根據所給數據擬合出橢圓的特征參數，還能精確地繪制出滯回圈的圖像。通過所給特征參數對橢圓的面積進行求解，可在粘彈性材料的能量損耗研究方面得到應用。

參考文獻

[1] 陳偉.基于OpenSees平臺開發的混凝土滯回本構模型在結構分析中的應用[D].重慶：重慶大學，2012.

[2] 呂西林，陸偉東.反復荷載作用下方鋼管混凝土柱的抗震性能試驗研究[J].建筑結構學報，2000，2l（2）：2-11.

[3] 徐云扉，胡慶昌，陳玉峰，等.低周反復荷載下兩跨三層鋼筋混凝土框架受力性能的試驗研究[J].建筑結構學報，l986（2）：l-16.

[4] 呂西林，陸偉東.反復荷載作用下方鋼管混凝土柱的抗震性能試驗研究[J].建筑結構學報，2000，21（2）：2-11.

[5] 陶忠，韓林海.方鋼管混凝土壓彎構件滯回性能試驗研究[J].地震工程與工程震動，200l，21（1）：74-78.

[6] 王海生.鋼纖維—型鋼混凝土梁柱節點在低周反復荷載作用下抗震性能試驗研究[D].湖南大學，2004.

[7] 丁中領.不同速率及周期荷載作用下巖石類材料力學特性研究[D].北京：中國礦業大學（北京），2015.endprint