基于交互粒子系統方法的復雜系統小概率事件估計

王帥利

摘 要：小概率事件又稱不可能事件。由于其發生概率極低，使得用傳統的蒙特卡洛方法預測概率比較困難。因此，尋找新的估計方法變得十分必要。本文將交互粒子系統方法運用于復雜系統的小概率事件概率估計中，為小概率事件的估計提供了新的思路。本文首先通過建模將小概率事件轉化為閾值問題，并利用馬爾科夫鏈對其進行模擬。其次，本文采用目前比較熱門的交互粒子系統方法，對小概率事件進行估計，并分析了篩選度與篩選步長對概率估計的影響，進而進行優化。最后，本文比較了交互粒子系統方法與蒙特卡洛方法的效率和精度。

關鍵詞：小概率事件 蒙特卡洛方法 交互粒子系統

中圖分類號：TP39 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）07（b）-0014-02

Abstract：Rare event has a quite low occurrence probability so that its hardly estimated by Monte Carlo method. It is necessary to provide new algorithms. In this contribute， interacting particle systems （IPS） is applied， in which， trajectories with more possibility to reach target event are multiplied and the others are killed. The rare event is firstly modeled by threshold exceedance problem and then simulated by Markov process. Moreover， we noticed that the performance of IPS is related to two parameters， selection degree and selection distance. An optimization will also be studied by adjusting the two parameters. Finally， we compare this method with Monte Carlo method about the efficiency and accuracy.

Key Words：Rare event probability； Monte Carlo； Interacting particle systems

小概率事件的估計在可靠性工程與系統安全中被廣泛研究，并在金融[1]、航空交通管制[2]、電信網絡、高可靠性系統等領域中有著廣泛的應用。近年來，小概率事件經常會導致一些毀滅性事故，如衛星碰撞等，因而引起了眾多研究者的注意。一般來說，小概率事件發生的可能性甚至更小，這使得蒙特卡洛方法只有在進行巨大數量的實驗時才有效。否則小概率事件有很大的可能性不會發生，從而無法估計小概率事件發生的概率，因此探索一種新的模擬算法變得十分必要。交互粒子系統方法最早由Del Moral和Garnier提出[3]，后經JeromeMorio等人不斷完善[4]。其主要原理是根據模擬的事件觸發小概率事件的可能性對粒子進行重新采樣，從而加大小概率事件的出現概率，大大節約了計算成本。

1 數學建模

1.1 小概率事件建模

復雜時變系統的輸出僅和剛剛發生的狀態有關。基于該時序性特征，可以用馬爾科夫過程來模擬動態系統的狀態量。通常情況下，小概率事件可以理解為一個閾值問題，即當系統輸出超過某個閾值時視為小概率事件發生。因此，小概率事件發生的概率可以表述為馬爾科夫鏈輸出值超過閾值 的軌跡數與所有軌跡數之比。

利用交互粒子系統方法對20000個粒子進行仿真，預測的平均概率為2.3711×10-5。該估計概率與理論值非常接近，證明了該方法在少量實驗次數的情況下仍然可以準確地估計小概率事件的概率。

此外，通過仿真我們發現當α非常大時，所有的粒子都會超過閾值；相反地，如果α很小，則沒有粒子會超過閾值，小概率事件不會發生。因此篩選度α對概率預測有著重要的影響。此外，交互粒子系統的預測結果與篩選步長也有著緊密的聯系，即粒子篩選的時間間隔也極大地影響概率的估計。通過研究概率估計精度對不同篩選度和篩選步長下的變化，我們發現當α≈0.32，=10.5時該小概率事件的相對誤差（相對誤差=（估計誤差-理論誤差）/理論誤差）最小。

最后，為了能夠定量地分析交互粒子系統方法的高效性。我們將其與經典蒙特卡洛方法進行了對比。我們分別用大小為20000、200000和2000000的樣本，利用蒙特卡洛方法和交互粒子系統方法對事件（1）進行模擬，結果如表1所示。我們發現在同樣的樣本數下，交互粒子系統方法比蒙特卡羅方法的精度要高50倍。而且如果要保證相同精度，蒙特卡洛方法則需要高于交互粒子系統方法50倍的計算成本。

3 結語

本文運用交互粒子系統方法對小概率事件進行估計，結合馬爾科夫過程對小概率事件進行建模與模擬，并將其模擬結果與蒙特卡洛方法進行比較。從模擬結果來看，交互粒子系統方法的偏差較小，比蒙特卡洛方法效率更高，精度更好。因此，交互粒子系統方法在小概率事件估計中的研究具有重要的意義，此方法今后能在更多的領域當中發揮重要的作用。

參考文獻

[1] P.Embrechts，C.Kluppelberg，T.Mikosch：Modeling extremal events：for insurance and finance[J].Springer Verlag，2011.

[2] M.Prandini，J.Hu，J.Lygeros et al.A probabilistic approach to aircraft conflict detection[J].Intelligent Transportation Systems，IEEE Transaction on，2000，1（4）：199-220.

[3] P.Del Moral，J.Garnier，Genealogical particle analysis of rare events[J].The Annals of Applied Probability，2006，15（4）：2496-2534.

[4] J Morio，M Balesdent.Estimation of Rare Event Probabilities in Complex Aerospace and Other Systems[Z].endprint