淺讀正、余弦定理解題功能

宋惠

摘 要：隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，人們的生活質(zhì)量有了顯著提高，越來(lái)越多的人開(kāi)始關(guān)注教育，重視課程體系對(duì)學(xué)生學(xué)業(yè)學(xué)習(xí)的影響，作為高中數(shù)學(xué)中較為基礎(chǔ)的定理，正弦定理和余弦定理的學(xué)習(xí)不僅包括對(duì)其原理的證明，同樣也包括對(duì)其解題技巧的理解，這便要求教師從定理出發(fā)，聯(lián)系先前學(xué)習(xí)的三角函數(shù)，結(jié)合當(dāng)前學(xué)生學(xué)情，有方法有技巧的進(jìn)行解題技巧的講授，適當(dāng)進(jìn)行模擬訓(xùn)練，以鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提高其對(duì)定理的理解與運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：正弦定理 余弦定理 解題功能

引 言

眾所周知，在進(jìn)行三角函數(shù)相關(guān)題目的分析時(shí)，如何運(yùn)用正弦定理與余弦定理不僅決定著解題的思路與方向，同樣也決定著題目解答過(guò)程的進(jìn)展程度，影響著題目能否解答。在進(jìn)行三角形相關(guān)題目的分析時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)已知部分要素求解未知要素的情況，這便要求解答者合理運(yùn)用正、余弦定理以及其變式，對(duì)題目已知條件進(jìn)行分析，進(jìn)而得出未知要素的數(shù)據(jù)。由此可見(jiàn)，正、余弦函數(shù)的原理證明以及其解題功能至關(guān)重要，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中極為重要的部分，理應(yīng)受到教師的重視與關(guān)注，這不僅是高中課程標(biāo)準(zhǔn)所要求的內(nèi)容，同樣也是教育改革發(fā)展所要求的內(nèi)容。

一、知識(shí)點(diǎn)分析

（一）、定理的原理分析。眾所周知，正弦定理即在任一三角形中，其對(duì)邊與對(duì)角的正弦值的比恒為一個(gè)常數(shù)，余弦定理即三角形任一一角的余弦值均可用含有其三邊的數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行表達(dá)，這不僅說(shuō)明三角形的邊與角具有一定的量化關(guān)系，同樣也說(shuō)明已知三角形的部分要素，可以通過(guò)定理求解其未知要素，是高中數(shù)學(xué)三角問(wèn)題中較為常見(jiàn)的定理，是三角函數(shù)的進(jìn)一步運(yùn)用。該定理的證明可通過(guò)在直角三角形中，借助三角函數(shù)進(jìn)行邊與角的分析，得出其定理表達(dá)式，并推導(dǎo)到一般情況，從而驗(yàn)證對(duì)所有三角形，該定理均成立。

（二）、定理的重要性分析。正、余弦定理的學(xué)習(xí)不僅能夠使學(xué)生理解三角形要素之間的關(guān)系，了解解三角形的基本步驟，同樣也能促進(jìn)其幾何思維的形成，鍛煉其邏輯思考能力，提高其個(gè)人基本的學(xué)科素質(zhì)與科學(xué)作風(fēng)。另一方面，通過(guò)對(duì)正、余弦定理的學(xué)習(xí)，學(xué)生將回顧先前所學(xué)的三角函數(shù)，為后續(xù)解三角形打下基礎(chǔ)，以此體現(xiàn)正、余弦定理的解題功能，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維習(xí)慣的形成。

（三）、定理的運(yùn)用分析。眾所周知，在進(jìn)行解三角形問(wèn)題的解答時(shí)，通過(guò)分析題目中已知要素條件，明確未知要素與求解要素，分析其邊角間的相關(guān)聯(lián)系，探討正弦定理與余弦定理的選取與表達(dá)式，以此求得所需要素條件，進(jìn)而對(duì)題目進(jìn)行解答。這不僅體現(xiàn)出較為明確的邏輯思考過(guò)程，象征數(shù)學(xué)思維的運(yùn)用，同樣也體現(xiàn)出正、余弦定理的解題功能，是對(duì)定理原理的進(jìn)一步理解與運(yùn)用。

二、知識(shí)點(diǎn)歸納

（一）、正、余弦定理的證明。眾所周知，正、余弦定理的證明以直角三角形為由，通過(guò)對(duì)直角三角形中邊與角進(jìn)行分析，探討其之間的量化關(guān)系，并借助三角函數(shù)進(jìn)行表達(dá)，得出初步的表達(dá)方程式，并在銳角三角形與鈍角三角形的情況下進(jìn)行一般性驗(yàn)證，以得到該表達(dá)式的一般方程，從而得出定理。

（二）、正弦定理的不同形式。正弦定理表達(dá)的是三角形邊與其角的正弦值之間的相互關(guān)系，通過(guò)對(duì)其方程的變形，可以得出以下變形式：

形式一：，其中R表式該三角形外接圓的半徑。

形式二：，表式的是角到邊的關(guān)系轉(zhuǎn)換。

形式三：，表達(dá)的是邊到角的關(guān)系轉(zhuǎn)換。

（三）、余弦定理的不同形式

余弦定理表達(dá)的是三角形角的余弦值與其三邊之間的相互關(guān)系，通過(guò)對(duì)其方程的變形，可以得出以下變形式：

形式一：，表達(dá)的是其邊到角的轉(zhuǎn)換過(guò)程。

形式二：；

；，表達(dá)的是其角到邊的轉(zhuǎn)換過(guò)程。

三、正、余弦定理的解題功能

（一）、已知兩角及其對(duì)邊條件

眾所周知，在解三角形問(wèn)題中，題目往往會(huì)給出已知邊或角的條件，這便要求答題者在進(jìn)行題目分析時(shí)充分理解題意，合理進(jìn)行正、余弦定理的選取。在遇到已知兩角及其一邊的條件時(shí)，答題者理應(yīng)從邊角關(guān)系入手，選取正弦定理進(jìn)行解答，例如：在中，已知、、a=1，求解b，該題目可通過(guò)正弦定理直接求解。

（二）、已知兩邊及其對(duì)角條件

在了解已知兩角及其對(duì)邊，求解另一邊的問(wèn)題后，已知兩邊及其對(duì)角，求解另一角的問(wèn)題也可用相同方法進(jìn)行求解，例如：在中，已知、，求解，該題目同樣也可通過(guò)正弦定理直接求解，值得注意的是在求得的數(shù)值進(jìn)而解B時(shí)，需要分析其角的大小關(guān)系，以此確定其解的唯一性。

（三）、已知兩邊及其夾角條件

眾所周知，題目在提供已知邊與角的數(shù)值時(shí)，往往也會(huì)出現(xiàn)已知兩邊及其夾角，求解第三邊的情況，這并不滿足正弦定理及其任一變式，也無(wú)法借助外接圓進(jìn)行求解，在這種情況下，余弦定理運(yùn)用便顯得至關(guān)重要，例如：在中，已知，求解b，該題目可通過(guò)余弦定理的變形式直接求解。

結(jié) 論

由此可見(jiàn)，正、余弦函數(shù)的解題功能不僅表現(xiàn)在其對(duì)三角形求角問(wèn)題的解答，同樣也體現(xiàn)在其對(duì)三角形求邊問(wèn)題上的解答。在已知兩邊一角或兩角一邊的情況下，通過(guò)對(duì)三角形已知要素的分析，合理運(yùn)用正、余弦定理的變形，借助三角函數(shù)定義，對(duì)三角形未知要素進(jìn)行求解，以獲得題目所需數(shù)據(jù)，從而完成三角形相關(guān)題目的解答，這不僅體現(xiàn)出正、余弦定理的解題功能，同樣也象征著定理與題目間的相互關(guān)系，是教學(xué)過(guò)程中極為重要的分析部分。

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