有限元方法在結構動力分析中的應用

曹瑞峰++喬羽++高鵬

摘要：有限元法（FEM：FiniteElementMethod）作為一種最有效的數值方法，在工程實際中得到了廣泛、深入的應用。本文闡述了FEM應用的有關過程，介紹了結構動力學及其有限元方法的研究內容，重點探討了作為結構動力學分析重要手段的模態分析的研究過程。

關鍵詞：有限元法；結構動力學；模態分析

1引言

FEM作為求解數學物理問題的一種數值方法，已經歷了60余年的發展。有限元方法半個世紀以來已經由彈性力學平面問題擴展到板殼問題和空間問題，從靜力學問題擴展到穩定性問題和動力問題，從一般的線性求解問題擴展到非線性求解問題，從典型的固體力學問題的研究擴展到相對復雜的流體力學等其他物理場的研究，從相對單一簡單的物理場研究與計算擴展到多物理場的耦合問題的計算[1]。隨著科學技術的飛速發展，各種復雜的結構設計層出不窮，新興結構相繼出現，因而以經驗、類比和靜態設計為設計方法的傳統工程設計方法已經無法適應現代工程設計的需要，傳統的設計開始向著動態設計轉變。在此過程中，結構的動力學問題的研究起到了至關重要的作用。

2 FEM的應用過程[2]

2.1 問題的數學描述：建立微分方程及給出工程問題的邊界條件作為列有限元方程的前提，運用數學方程和表達式對客觀的工程問題進行描述

2.2 有限元方程的建立：建立一組可以用數值方法來求解的有限元方程，在建立有限元方程過程中通常會用到有限元理論中典型的原理和方法（例如利用變分原理，通過離散、單元分析、整體分析等過程來對有限元問題進行求解）

2.3 算法研究：在考慮有限元計算條件的前提下，利用最優算法對計算量巨大的有限元方程進行精確而有效地計算

2.4 程序開發：利用計算機程序來實現算法的求解

2.5 有限元建模：也即為有限元計算的前處理過程。它為數值計算提供所有原始輸入數據（節點數據、單元數據和邊界條件數據）

2.6 數值計算：有限元的數值計算是由一系列的計算機程序而組成，這樣的計算程序又被稱之謂求解器。特定類型的計算程序完成特定類型的有限元計算

2.7 結果處理：也即為有限元計算的后處理過程。它對計算結果進行處理、顯示、運算和列表等

從過程（2.1）到過程（2.7）是求解有限元問題最典型而又完整的過程，合理運用這一過程可以使有限元問題得以求解。然而，對于大多數實際工程問題都是已知的問題，因此可以省略前四步過程而可從第（5）步開始，即直接利用已有的FEA系統（例如ANSYS、ADAMSD等大型商業軟件系統），建立有限元模型。

3 結構動力學的研究內容

結構動力學是研究結構在動載荷作用下產生響應的規律的科學，或者說是研究結構、動載荷和響應三者關系的科學[3]。

結構動力學問題的有限元法，實質就是將一個彈性連續體的振動問題離散為一個以有限個節點位移為廣義坐標的多自由度的振動問題。其基本原理和方法類同于靜力學問題的有限元法，按照桿梁、薄板等不同結構進行分析。不同的是，應用振動理論建立動力學方程時，在單元分析中除需要形成剛度矩陣外，還需要形成質量矩陣、阻尼矩陣；在整體分析中，不僅求動力響應還有求解特征值問題（結構振動的固有頻率及其相應的模態）。在動力分析中，由于慣性力和阻尼力出現在平衡方程中，因此引入了質量矩陣和阻尼矩陣，最后得到求解方程不是代數方程，而是常微分方程。

3.1 模態分析的研究內容與現狀

結構動力學中的模態分析作為一種“逆問題”分析方法在求解動力學問題方面經歷了將近50年的發展。模態分析是根據結構的固有特性，包括頻率、阻尼和模態振型，這些動力學屬性描述結構的過程。機械結構動態設計之中，機械結構的振動問題尤其是共振問題是機械設計工程師需要特別關心的，機械結構的共振或疲勞引起的結構破壞通常是因為在設計過程之中沒有很好的解決振動問題。因此模態分析對于熟悉和了解機械結構的振動特性起到了重要的作用，進而可以避免在實際工況中因為機械結構的共振造成結構損壞。

3.2 ANSYS模態分析

ANSYS軟件是集結構、熱、流體、電磁、聲學于一體的大型通用有限元商用分析軟件，可廣泛應用于核工業、鐵道、石油化工、航空航天、機械制造、能源、電子、造船、汽車交通、國防工業、土木工程、生物醫學、輕工、地礦、水利、日用家電等一般工業及科學研究。

ANSYS的模態分析過程包括四個步驟：

建立模型：建立項目名稱并給定標題，定義單元屬性（包括單元類型和實常數）、材料屬性以及模型的其他相關幾何性質；

（2）加載與求解：定義分析類型和分析選項，施加約束和載荷，指定模態階數和頻率范圍，求解。應該注意的是模態分析與靜力學分析不同，模態分析中唯一有效的載荷是零位移約束；

（3）擴展模態：將振型寫入結果文件，只有擴展模態后才能在后處理中看到振型；

（4）后處理：經過擴展模態后，模態分析的結果包括固有頻率、擴展的模態振型、相對應力和力分布將被寫入到結構分析結果文件中去。

ANSYS提供了六種模態提取方法[4]：

（1）子空間迭代法：用于求解特征值對稱的大矩陣問題；

（2）分塊法：也可用于以上的問題求解，收斂速度更快；

（3）縮減法：這種方法較子空間迭代法速度快，但準確性相對要較差。使用縮減法時，必須仔細選擇主自由度；

（4）阻尼法：有些問題阻尼不能忽略，阻尼法允許在結構中包含阻尼因素。

（5）Power Dynamic法：用于非常大的模型，主要是用在求解結構的前幾階模態以了解模型特征的問題；

（6）非對稱矩陣法：用于求解模型生成的剛度矩陣、質量矩陣存在不對稱的問題；

4 結束語：

FEM是20世紀 50年代發展起來的一種數值計算方法，隨著有限元理論研究的逐步深入和計算機技術的飛速發展，FEM在結構動力學領域得到了廣泛的應用。

參考文獻：

[1]于亞婷，杜平安，王振偉.有限元法的應用現狀研究[J].機械設計，2005，22（3）：6-8.

[2]王勖成，邵敏.有限單元法基本原理與數值方法[M].北京：清華大學出版社，1998.

[3]白松，徐新喜，高振海等.結構動力學研究及其在機動衛生裝備中的應用[J].醫療衛生裝備，2010，31（9）：45-49.

[4]程坤.PCR_80冷輾擴機模態分析及整機剛度多目標優化[碩士學位論文].合肥：合肥工業大學，2005，（4）：27.endprint