基于AR模型的現代功率譜估計算法在新型甲烷檢定裝置的應用

李富偉+梁龍+向艷芳

摘要：采用基于AR模型的現代功率譜估計算法的工作原理，分別將Yule-Walker算法，Burg算法和協方差算法等3種現代功率譜估計方法，用于新型紅外激光甲烷儀表標準檢定裝置的信號處理。通過Matlab軟件仿真表明：Burg算法的運算周期和實時性等能滿足甲烷檢定裝置的要求，能實現檢定裝置的動態檢定和甲烷濃度梯度瞬變控制。

關鍵詞：新型紅外激光甲烷儀表標準檢定裝置；Yule-Walker算法；Burg算法；協方差算法

中圖分類號：TP391 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9416（2017）07-0147-04

1 引言

傳統的甲烷檢測儀器有催化燃燒式甲烷檢測儀、光干涉型甲烷檢測儀和熱導式甲烷檢測儀，采用通氣擴散方式進行計量檢定，其檢定裝置和方法相對較為成熟。近年來，隨著光學及電子技術的發展和快速，基于紅外激光原理的新型甲烷檢測儀器得到了推廣應用，但由于新型紅外激光甲烷儀器檢定裝置須采用動態性能的自動檢定方法，其運算實時性和準確性是實現儀器檢定結果正確的重要保障。

結合國內外現有的信號處理芯片和檢定裝置工作原理，選定TI公司浮點型DSP芯片作為新型紅外激光甲烷儀器檢定裝置的中央處理器，其主頻一般在300MHz-500MHz。同時，基于AR模型的現代功率譜估計算法是現代化信號處理重要方法之一，其功率譜是只有極點，沒有零點，易于反映功率譜中的峰值，可用于新型紅外激光甲烷儀器檢定裝置。

2 基于AR模型的現代功率譜估計算法的工作原理

現代功率譜估計利用先驗信息（或假設）為數據樣本的隨機過程選擇一個準確的模型，從數據樣本中估計出模型的參數，從而得到一個較好的譜估計值。

假定一個線性系統的模型為H（z），它的輸入為序列u（n），它的輸出為我們所研究的過程x（n）。無論x（n）是確定性的信號還是隨機信號，u（n）和x（n）總是存在如下關系：

其中為白噪聲的方差。

根據參數提出方式的不同，基于AR模型的功率譜算法可分為Yule-Walker算法，Burg算法，協方差算法等。

2.1 Yule-Walker算法

Yule-Walker算法就是根據已知的自相關函數，利用Levinson-Durbin算法求解Ylue-Walker方程得到AR模型的個參數（其中），從而實現功率譜估計。Ylue-Walker方程如下所示：

（3）將最后求出的參數帶入式（3）中，即可求出x（n）的功率譜。

2.2 協方差算法

協方差算法是在利用復梯度法求解預測誤差功率，在求解極小值的過程中估計出AR參數下面的協方差方程的解：

矩陣A的Cholesky分解為

其中上式中的D是主對角元素都為正實數的對角陣，即。L是主對角元素都為1的下三角陣。

用Cholesky算法求解上面的正定方程組的方法是：先用回帶方法求解方程組，得到Y的解；然后將求的Y再用回帶方法求解方程。

用協方差算法估計AR模型參數的具體步驟如下：

（1）根據式（6）計算協方差式；

（2）根據式（7）計算激勵白噪聲的方程；

（3）用Cholesky算法求解對稱的正定協方差矩陣方程組；

（4）最后將估計出的參數帶入式（3），即可求出x（n）的功率譜。

2.3 Burg算法

與Yule-Walker算法、協方差算法相反，Burg算法是首先令前后項預測誤差功率之和為最小而估計出反射系數，然后利用Levinson-Durbin遞推得到AR參數估計值。的表達式為：

Burg算法的具體求解步驟如下：

（1）將初始條件帶入式（8）求出；

（2）由式（10）得m=1時的參數：；

（3）將和帶入（9）求出，然后代入式（8）求出；

（4）以此按照式（10）和（11）的Levinson遞推關系，求出m=2時的；

（5）重復上述過程，直到m=p，就求出了所有階次時的AR參數，然后將其帶入式（3）中，得到x（n）的功率譜。

3 Matlab仿真試驗

為了驗證以上討論的幾種現代譜估計算法的性能，我們使用Matlab工具中的函數y=awgn（x，SNR），在一個正弦信號中加入高斯白噪聲而產生不同信噪比（SNR）的信號分別進行譜估計，其中正弦信號的采樣頻率為5KHz，信號的頻率為200Hz，信噪比分別為0.5dB，1dB，5dB和10dB。然后，分別應用30階的Yule-Walker譜估計算、30階的Burg譜估計算法、30階的協方差譜估計算法對不同信噪比的模擬信號進行處理，其功率譜詳圖1、圖2、圖3，分析結果詳見表1。

從圖1-3和表1可以得出，協方差算法的仿真結果最佳，但是運算量很大，運算周期長；Burg譜估計算法雖然較協方差譜估計算法效果稍差，但得到的譜估計圖形的峰值尖銳度比Yule-Walker算法要大，容易識別譜峰，由它產生的頻率估計值對于信號的相位不敏感，并且對于由噪聲產生的譜峰偏移也比較小；Yule-Walker算法譜估計最差，但運算周期較短，實時性較好。

4 結論

在本檢定裝置中采用的是DSP信號處理系統，需在保障數據準確的基礎上，滿足對動態數據的數據處理和分析，因此，選擇Burg譜估計算法作為檢定裝置的核心處理方法，實現檢定裝置的動態檢定和甲烷濃度梯度瞬變控制。

參考文獻

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