將數學史融入《平面》概念教學的案例設計

陳謀

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2017）17-0057-01

調查顯示，有的數學教師認為數學史就是講講數學家的故事；有的老師認為課堂上講數學史會影響正常教學，不利于考試成績的提升。特別是在高中概念教學之中引入數學史料的研究更少，數學史要真正融入概念教學的課堂應該仍有很多關鍵環節和步驟值得研究。不同層次不同角度的數學史內容融入到高中數學的概念教學中是十分有意義的。

一、新課引入

師：我們在初中的時候已經了解了平面圖形，比如說三角形、平行四邊形、圓、梯形等等，它們都是由點和線構成的，我們在一個平面內處理這些平面圖形的問題。點和線是我們研究平面幾何的基礎。下面請同學們觀察這個長方體。

師：我們在這里可以找到哪些幾何元素？

生：有六個面，八個頂點，十二條棱。師：對，空間圖形都是由點、線、面這些基本元素組成，立體幾何研究的就是這些點、線、面之間的關系。點、線、面是立體幾何的三大基本元素，以后我們學習的所有定義、公理、定理都是建立在它們的基礎上的。點和線的性質我們在初中已經學習過了，這一節課我們主要來研究平面的性質。

二、認識平面

師：根據前面所學的知識，我們知道，點構成線，線構成面，面構成體。繼續觀察長方體，我們可以把它看作是由前后、左右、上下六個面圍成的。每個面都是矩形，可以看到，點構成線，線構成面，面構成體是立體幾何中的基本關系。下面我們就從線構成面的角度來認識平面。

師：我們先來看看這樣一些物體，它們給我們一個怎樣的印象呢？（PPT給出海面、草原等圖片，教室中觀察桌面、黑板面等）。教師總結學生的意見：它們都是平的，直的。

師：我們能不能根據這些特點試著給平面下一個定義呢？（教師引導學生觀察，思考，嘗試給平面下一個定義。）

三、深度認識平面，理解平面概念

師：同學們的說法和歷史上的數學家們極其相似哦！

PPT表格：歷史上的數學家們對平面概念的理解（此處略），教師根據表格介紹平面概念的歷史發展。

師：我們一起來分析一下，各位偉大的數學家們對平面的定義是否正確呢？通過分析上述平面的各種定義，來認識平面的本質。

師：我們看到，歷史上各位數學家的定義大多嘗試用直線和點來說明平面的“平”和“直”。也就是說，判斷一個面是不是平面的關鍵在于它是否平，直。平面可以看成是由直線構成的，直線是可以無限延伸，所以平面也應該是？

生：無限延伸的。師：所以我們最后采用的是希爾伯特的想法，平面是一個原始的概念，直接描述，不定義，平面是絕對平的，沒有厚度的，無限延展的。那你能舉出一個現實生活中的平面嗎？

生：好像舉不出。

師：對，平面在現實生活中是不存在的，它是一個抽象的數學概念。“平”“直”“無限延展”是它的本質屬性。那么，怎樣表示一個平面呢？

師：請大家回憶一下，我們是怎樣表示直線的？（板演）師：直線的屬性是怎樣的？生：直的，無限長的。

師：我們剛才怎樣表示直線？是畫出了整根直線嗎？

生：不是，只是一部分。

師：那我們是不是也可以只用平面的一部分來表示整個平面呢？（教師板演，作出平面示意圖，強調平行四邊形是平面的一部分，而不是一個平面。）

四、三條公理

師：我們知道，平面是由直線構成的，那么，對于某一條直線，怎樣判斷它是不是屬于某個平面呢？學生思考，教師引導。

師：我們看看萊布尼茲的定義：平面可以看成是由無數個點構成的。直線也是由無數個點構成的。平面又可以看成是直線組成的。平面內的直線上的所有點都在平面內。又兩點確定一直線。也就是說，如果一條直線上有兩個點在平面內，那么平面內經過這兩個點的直線與這條直線重合，即線在面內。因此，判斷一直線在不在平面內，只需判斷這條直線上是不是有兩個點在這個平面內。這就是我們的公理1。

師：平面由直線構成，當兩個平面相交的時候，會不會交于一條直線呢？用紙張模擬，根據平面的無限延展的性質，說明必然會交于一條直線，即公理2。

師：那怎樣來確定一個平面呢？結合皮埃爾的定義，不在同一條直線上的三點C、B、A，過其中任意兩點，比如B、A，作直線，那么過點C可以作無數條直線與AB相交，所有的這些直線就構成了一個平面，也就是說不共線的三點可以確定一個平面。這就是公理3。公理3中，取特殊情況，很容易得到3條推論。endprint