基于多尺度樣本熵的時間序列復雜度研究

尚傳福

摘 要： 對于三維空間中時間序列的復雜度分析，多采用多尺度樣本熵（MSE），針對MSE方法隨著時間序列復雜度的增加樣本熵估計的準確率下降的缺陷，提出采用多尺度樣本熵模型。對提出的MSE模型進行實驗驗證分析，根據時間序列復雜程度的不同，分別采用復合多尺度樣本熵（CMSE）以及改進復合多尺度樣本熵（RCMSE）對時間序列進行研究分析，得出不同的仿真結果。證明對于時間序列的復雜度研究，采用MSE的方法能達到提高準確率的效果。

關鍵詞： 時間序列； RCMSE； 多尺度樣本熵； 復雜度分析

中圖分類號： TN911.6?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2017）17?0040?04

Time series complexity research based on multiscale sample entropy

SHANG Chuanfu

（Institute of Mathematics and Information Engineering， Chongqing University of Education， Chongqing 400065， China）

Abstract： The multiscale sample entropy （MSE） is mostly used to analyze the time series complexity in 3D space. Since the time series complexity of MSE method can reduce the accuracy of the sample entropy estimation with the increase of time series complexity， a multiscale sample entropy model is proposed. The experiments were carried out to verify the multiscale sample entropy model. According to the different complexity of time sequences， the composite multiscale sample entropy （CMSE） and refined composite multiscale sample entropy （RCMSE） are used respectively to study and analyze the time series to obtain different simulation results. The result proves that the multi?scale sample entropy method can achieve the effect of improving the accuracy rate.

Keywords： time series； RCMSE； multiscale sample entropy； complexity analysis

0 引 言

隨著科學的進步以及人們對混沌系統的研究，復雜度這個詞眼越來越頻繁地出現在科研工作者的報告以及著作中。人類生活的真實環境就是一個復雜系統[1]，如人類社會錯綜復雜的社會關系，以及生物學中的生物圈、森林系統、海洋系統[2]等。對于時間序列的復雜度，最簡單的是一維時間系統，接著還有二維、三維，目前研究到了四維時間序列[3]，所以時間序列的復雜度在不斷增多，更完善的時間序列研究算法也亟待科研工作者提出。

多尺度樣本熵算法應用范圍十分廣泛，如非線性高階系統、混沌分形系統以及時間序列復雜系統[4]。值得一提的是，RCMSE多用來衡量時間序列在不同尺度上的復雜度，對應時間的復雜度越高則其熵值就越高。

本文首先對多尺度樣本熵的基本概念進行闡釋，并對該算法進行實驗驗證以及分析，然后對時間序列的復雜度引入了多種干擾信號，如白噪聲、粉紅噪聲（噪聲）等，通過CMSE和RCMSE算法模型對摻雜了雜波的時間序列復雜度進行估計，大大提高了估計的準確率。

1 多尺度樣本熵

1.1 多尺度樣本熵計算

多尺度樣本熵的方法是由Richman提出的，其與近似熵相似，但卻能更好地提高復雜度估計值的準確率[5]，因此本文采用該方法。其運算思路如下：

（1） 設原始數據為，長度是本文假設嵌入維數為矢量容量為則維向量可以表示為：

（1）

（2） 定義與之間的距離是兩者對應時間點差值的最大值，為：

（2）

（3） 對每個值，計算與其余矢量間的距離統計小于的數目以及此值與距離總數的比值，記作，即：

（3）

式中。

（4） 求的平均值：

（4）

（5） 再對維數即對點矢量重復步驟（1）～步驟（4），得到，進而得到。

（6） 理論上此時間序列的多尺度樣本熵為：

（5）

當為有限數時，式（5）可表示為：

（6）

由式（6）可知，SampEn的值與的取值有關，但是目前的研究還沒有給出兩個的明確值，一般取，SD為原始數據的標準差[6]。本文對時間系列復雜度進行研究時，取。

1.2 多尺度樣本熵算法測試

為了驗證所選用多尺度樣本熵算法的正確性，分別選取了隨機時間信號和規則正弦信號，其信號波形圖如圖1，圖2所示。所選取隨機信號和規則正弦信號的長度尺度維數閾值SD與上文中提到的含義相同，是復雜度（時間序列）的標準差。endprint

對兩組信號展開多尺度樣本熵的算法仿真實驗，其仿真結果如圖3所示。總結可得：對于隨機的時間序列信號，在任何時刻，其復雜度的熵值都大于正弦信號，由此恰恰能夠說明熵值越大其復雜程度越高這一結論。并且對于不規則隨機時間序列呈現遞減的變化規律。此實驗驗證了該算法能夠進行理論應用。

1.3 多尺度樣本熵分析

本文利用該算法分析了先導過程的多尺度樣本熵的問題。分別選取30次梯級和30次“不規則”先導過程進行運算，因為尺度的多少會影響數據量的變化，尺度越大數據量越少，而且在多尺度樣本熵計算中進行了重構，重構時的算法在運行過程中維數不能完全被展開，所以本實驗選用了10個尺度，計算分析其樣本熵，其中維數閾值SD的定義與上文相同。仿真分析結果如圖4所示。

由圖4可知，從熵值的變化趨勢來說，當尺度數小于4時，“不規則”先導的多尺度樣本熵呈現遞增的趨勢；當尺度大于4時，變化趨勢呈現不明顯的狀態。但對于梯級先導，其多尺度樣本熵基本不隨尺度的變化而變化，或者說變化不大，呈現不明顯的遞增狀態。從熵值的大小來說，梯形熵值大小都沒有超過1.5。對于“不規則”先導，尺度不超過4時，其值分布在0.8～2.5之間，且當尺度值小于3時較接近梯形熵值；當尺度大于4時，其熵值均分布在1.5～2.5的區間范圍內。所以要區分梯形和“不規則”先導過程，將尺度值設定在大于4的范圍中。

基于多尺度樣本熵的分析，本文除了進行上述30次梯級和30次“不規則”先導求熵值外，還進行了最值、平均值以及標準差的求解，根據進行的數據處理結果可知，梯級先導在所有尺度狀況下，其平均值范圍是；不規則先導在所有尺度狀況下，其標準差范圍是；當尺度范圍是（3，∞）時，不規則先導熵的平均值較為穩定，并且不存在與規則先導熵重疊的區域。所以，一般情況下，特征熵表示的是尺度范圍為（3，∞）的不規則先導熵，最大值的范圍是最小值的范圍是。

2 多尺度復雜性分析

2.1 分析方法介紹

在本節中，主要介紹用于研究時間序列的MSE模型，包括傳統的MSE、復合的CMSE以及改進復合式的RCMSE算法。由于傳統的樣本熵系統在時間序列復雜度較高時，其估計準確率不高[7]，本文采用改進的復合多尺度樣本熵（RCMSE）方法。

2.2 傳統MSE方法及其仿真實現

傳統的多尺度樣本熵（MSE）方法主要包括三個過程：

（1） 粗粒化過程：設定本文中的標度因子，把時間序列分成一個個寬度為的窗口，注意：窗口不重疊，分別求每個窗口的時刻平均值，得到的序列為：

（7）

（2） 對式（7）中的序列進行樣本熵的求解：

（8）

（3） 取不同的值，重復過程（1）、（2），分別計算序列式（7）對應的樣本熵，得到如圖5所示的時間序列復雜度的熵分布曲線。

2.3 CMSE方法及其仿真實現

由于應用傳統的MSE方法，式（7）中時間序列復雜度估計的準確性會隨著的加大而變小[8]，所以當較大時，應該采用更加優化的算法——CMSE方法。

在CMSE方法中進行了如下改進：

對于增大后的尺度因子粗粒化的時間序列優化為：

（9）

其中：

（10）

對于改進后的樣本熵（CMSE）均值為：

（11）

式中表示時間序列復雜度為維時，對應樣本熵的尺度個數。采用該方法的時間序列復雜度的熵分布曲線如圖6所示。

2.4 RCMSE方法及其仿真實現

在CMSE算法中，對所有的進行粗粒化處理后，緊接著要進行與的比率對數化計算，然后取各個對數的均值，將這些均值作為時間序列復雜度的熵值。但是，的定義域是有限制的，即任一個都不能為零，否則復合多尺度樣本熵算法失效。所以相對于傳統的MSE方法，CMSE雖然能夠提高運算的復雜度，但會出現無效熵值，于是，21世紀初，改進的多尺度樣本熵（RCMSE）算法被提出[9]。本文中該算法實現過程如下：

（1） 本文中選擇4個不同的尺度因子利用式（10）進行粗粒化序列計算。

（2） 分別找出每一個粗粒化序列的四維空間向量個數，逐個進行標記為。

（3） 在范圍內，分別求解的平均值，并且逐個記作則RCMSE算法定義的比率對數值可以表示為：

（12）

式中：。采用RCMSE方法的時間序列復雜度的熵分布曲線如圖7所示。

通過上述的理論改進和實驗驗證可知，RCMSE不會出現無效定義的情況，相比于MSE，CMSE算法，RCMSE方法不會出現無效熵值，對于時間序列復雜度的多尺度樣本熵的估計值的準確率也大大提高了。

3 多尺度樣本熵準確率統計

對時間序列復雜度的研究，采用樣本熵的方法，通過以上研究發現，MSE存在復雜度提高時準確率會降低的缺點，CMSE的方法存在無定義的無效熵值點的缺陷，只有RCMSE方法才能夠同時克服這些缺點，剔除無定義點，大大提高估計熵值的準確率。

基于以上三種方法，本節中分別采用不同復雜度的相同時間序列進行實驗，分別得出準確率，其統計結果如表1所示。

4 結 語

本文研究了基于多尺度樣本熵的時間序列復雜度，首先，對多尺度樣本熵進行了理論定義；然后，在該算法完成優化設計的基礎上進行了算法的驗證和分析，證明了該方法的有效可行性；最后，針對傳統的MSE算法存在復雜度提高時準確率會降低的缺點，以及CMSE方法存在無定義的無效熵值點的缺陷，提出RCMSE方法，該方法能同時克服這些缺點，剔除無定義點，大大提高估計熵值的準確率，并且通過實驗統計數據更加深刻地說明了多尺度樣本熵方法對于計算和衡量時間序列復雜度方面是極其有價值的。

參考文獻

[1] 蔡瑞，卞春華，寧新寶.多尺度熵在心率變異信號復雜性分析中的應用[J].北京生物醫學工程，2007，26（5）：543?544.

[2] 陳建萍.多尺度熵方法用于電子器件噪聲分析[D].西安：西安電子科技大學， 2007.

[3] 王晶.非平穩時間序列的多尺度分析[D].北京：北京交通大學，2015.

[4] 徐永紅，李杏杏，趙勇.基于小波包和多元多尺度熵的癲癇腦電信號分類方法[D].生物醫學工程學雜志，2013，30（5）：1073?1078.

[5] 史文彬.時間序列的相關性及信息熵分析[D].北京：北京交通大學，2016.

[6] 李嬋，張陽，張義軍.地閃“不規則”先導的多尺度熵特征研究[C]//創新驅動發展 提高氣象災害防御能力—S11第十一屆防雷減災論壇.南京：中國氣象學會，2013：64?70.

[7] 張佃中.非線性時間序列互信息與Lempel?Ziv復雜度的相關性研究[J].物理學報，2007，56（6）：3152?3157.

[8] 杜實，宋憲勇.基于時間序列的航路隨機交通流復雜度研究[J].綜合運輸，2016（4）：39?42.

[9] 鄭近德，程軍圣，胡思宇.多尺度熵在轉子故障診斷中的應用[J].振動、測試與診斷，2013，33（2）：294?297.

[10] 葛家怡，周鵬，趙欣，等.腦電信號的多尺度熵分析[J].計算機工程與應用，2009，45（10）：13?15.endprint