從小學數學的角度看幾何直觀與數學直覺思維的聯系

袁錦紅

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2017）17-0018-02

從中小學教師的教學設計中可以看出，現在的教學設計、教學模式極大重視數學邏輯思維能力和形象思維的培養，對直覺思維的教學思考和研究就顯得過于“冷清”了。不僅在中小學教學中“遇冷”，理論研究中也沒有對數學直覺思維的培養有系統研究。接下來，筆者就小學數學的角度談一談幾何直觀與數學直覺思維的聯系。

一、什么是數學思維？

數學，根據新課標所示，是一門研究數量關系和空間觀念的科學。思維，是人腦對客觀世界的本質屬性、相互關系及其內在規律概括的和間接的反映。思維屬于心理學的范疇，筆者認為，思維即認識世界的大腦認知活動過程。

那么什么是數學思維呢？根據數學的定義，數學思維可以相當于人們在研究數量關系和空間觀念時所進行的認知活動。

二、數學思維包括了哪些？什么是直覺思維？

數學思維就其成分而言，可以分為具體形象思維、抽象邏輯思維和樸素的直覺思維這三種。關于具體形象思維和抽象邏輯思維方面已經有較多國內外研究，并且對如何培養形象思維和邏輯抽象思維進行較為系統的理論分析和實踐研究。然而對于直覺思維而言，周春荔認為，直覺思維是人腦對數學對象及其結構的一種迅速的識別、直接的理解、綜合的判斷，是數學的洞察力。直覺思維往往具有突發性、過程的跳躍性和非邏輯性，即看不見、摸不著的思維靈感，但是在數學學習以及思維發展和培養中卻有著極為重要的作用。

例如，總有一些數學問題，屬于“只可意會、不可言傳”的范疇，教師需要讓學生觀察，學生說不定就會“迸發”出解題思路和直觀認知來，而教師的講解并不一定會促進學生的理解。蘇聯科學家史家凱德羅夫（1903-1985）認為，沒有任何一種創造行為能夠脫離直覺活動。也就是說，創造性的發展離不開直覺思維，強化直覺思維有助于學生創造性的培養。

三、什么是幾何直觀？

所謂直觀，《辭海》 （第六版）的解釋是： “①即感性認 識。其特點是生動性、具體性和直接性；②指舊唯物主義對認識的理解”。

“幾何直觀的培養”是當今義務教育課程改革掀起的新一輪浪潮，11版課標曾指出，幾何直觀主要是利用圖形來描述和分析問題。徐利治認為，直觀就是借助于經驗、觀察、測試或類比聯想，所產生的對事物關系直接的感知與認識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知”。這些定義都表示出幾何直觀是用圖形、用幾何來解決其他的問題，怎么解決呢？筆者認為，既然是直觀，就免不了要利用自身原先的經驗和認知結構，這其中包括邏輯思維的作用，同時也包括非邏輯思維的作用。史寧中教授認為，直觀具有想象力和抽象力，直觀的本質是“會看”，會看不是老師教出來的，而是學生自己悟出來的，因此，他把“直觀”定義為：通過對客觀事物的直接接觸而認識事物的一種方式。

在以上定義的分析中，直覺思維的跳躍性和幾何直觀的“會看”的性質讓筆者突然感覺到直覺思維和幾何直觀是否存在什么聯系？或者說，幾何直觀能否促進直覺思維的發展，而直覺思維的水平是否又能推動學生幾何直觀素養的發展？

小學數學中直覺思維的培養可以體現在何處？

盡管如此，數學家們還是對數學直覺思維做了高度評價，因為直覺思維具有邏輯思維所不能替代的特殊作用。那么，直覺思維可以體現在數學教學的哪些方面呢？筆者認為，根據數學的內容領域，直覺思維在這四個領域中均有體現，這里舉數與代數和圖形與幾何為例。

在數與代數領域中，最能體現直覺思維的地方便是數感的體現。數感是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關系。

比較經典的題目正如除法豎式的填空。一個完整的除法豎式，把它的被除數和部分商都遮住，只留出過程中的幾個數字。問：這個算式的被除數、除數和商。這道題從邏輯上應該怎么看？應該從哪一方面入手？有學生可能馬上就發現了切入口，進而得出結論。但是他不知道自己為什么要這么做？說不出個所以然來。這個“說不出的所以然”就是直覺思維在起著作用。

圖形與幾何領域，其中包括立體圖形和平面圖形。圖形與幾何領域極大程度上地利用了數學的直覺思維。例如小學數學的三視圖這一單元，要求畫出一個立體圖形的三視圖。我們都知道，三視圖是在學生對幾何知識的系統建構之后依靠想象力所進行的直觀體驗。一般的學生在畫三視圖時并不會直接搭一個立體圖形，而是在腦子里想象一下就選擇了某一個圖形。倘若要問學生這個是怎么想出來的？大概也只是說不出所以然，這里存在著直覺思維和邏輯思維的共同作用。另一方面，圖形與幾何是學生對現實物體的抽象化，本身已經對圖形、空間、幾何問題有一定認知，在集合領域學生首先是具有了邏輯抽象思維能力，根據皮亞杰的認知理論，這一圖示在經過個體的思考整合之后達到順應在此基礎上遇到類似問題就直接“啟動”直覺思維進行思考，跳過了原先需要的那些思考步驟。

四、作為老師，如何看待幾何直觀和直覺思維？

幾何直觀是一種方法可以幫助學生更好地理解其他數學概念、數量關系以及空間觀念等。同時，幾何直觀也是一種能力，是學生學習數學需要培養的數學素養。那么，要怎么樣利用幾何直觀培養直覺思維呢？筆者認為，用圖形表征數學的代數意義是一方面，比如我們最常見的樹形結合、畫線段圖、數學畫的表示方式等。用代數描述圖形的幾何意義是另一方面，比如計算圖形的面積周長、植樹問題等等。

其實，為什么用圖形思維解決問題會更方便？為什么現如今的小學數學教學一直倡導用圖形來解決應用題，那恰恰是因為孩子們心中最直觀、最直接的感受是通過圖形帶來的，這種最直觀、最直接的感受不就是直覺思維的一種體現嗎？因此，作為小學教師，應當深刻體會到直覺思維和幾何直觀之間的聯系，利用幾何直觀培養直覺思維，通過直覺思維促進幾何直觀的最佳體現。

參考文獻：

[1]周春荔.數學思維概論[M].北京：北京師范大學出版社，2012，（1）.

[2]鄭毓信.數學思維與小學數學教學[J].課程·教材·教法，2004，（4）.

[3]蔡圣宏.幾何直觀：小學數學教學的視角[J].課程·教材·教法，2013，（5）.endprint