教育數學思想在《中學數學研究》課程改革中的實踐研究

肖宏治，梅俊雷，李艷琴，饒永生

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教育數學思想在《中學數學研究》課程改革中的實踐研究

肖宏治1，梅俊雷1，李艷琴1，饒永生2

（1．貴州師范學院數學與計算機科學學院，貴州貴陽 550018；2．廣州大學計算機科學與教育軟件學院，廣東廣州 510006）

改造數學使之更適宜教學是教育數學的任務．張景中院士主持開發的“超級畫板”為教育數學思想的實踐提供了強有力的支撐．在教育數學思想指導下，將“超級畫板”運用于高師數學專業《中學數學研究》課程教學改革實踐，并滲透教育數學思想，以函數為例引導學生進行了多層次的探索與實踐，使學生對知識的形成獲得了良好的認知體驗，對相關知識的掌握更加牢固，對不同知識之間相互聯系的理解更加深入，有效地提升了學生的數學思維水平．《中學數學研究》的教學應該做到：突出“研究”的味道；探尋不同數學知識之間的結合點；發揮超級畫板的優勢；轉變思維方式以提高效率．

教育數學思想；中學數學研究；課程改革實踐；超級畫板

1 引 言

隨著中國新一輪基礎教育改革的不斷深入，已有相當一部分現代數學知識進入中學課堂，主要包括：初等微積分、初等集合論、數理邏輯引論、概率論和統計引論等相關知識．由此也促使了高師院校師范類專業部分課程的變革，使之最終服務于基礎教育改革與發展．有學者認為[1]：在師范生教師教育類課程的改革中，應注重方法與理性實踐的指導．《中學數學研究》正是師范類專業的一門理論性與實踐性都很強的重要必修課程，主要包括中學代數研究和中學幾何研究兩部分，其內容體系基本按照中學數學知識進行編排．然而長期以來，該課程的教學內容沒有較大的變化，大都是對中學內容的重新整理歸類、再一次強調和深化，沒有從本質上改變該課程的內容和體系，教學手段和媒介也比較落后和陳舊[2]．因此，為了更好地與基礎教育的改革相銜接，更好地為基礎教育改革服務，高師院校對該門課程的改革是非常重要也非常緊迫的．由于《中學數學研究》這門課程內容知識多、雜、散，且教學時數也有限，如何妥善安排，形成一個優化的中學數學研究系統，光靠教學法加工顯然不夠，還需要數學上的再創造或對知識的重構，這一改革思路正好符合張景中院士“教育數學”的思想．為此，在教育數學思想的指導下去進行課程的教學改革和實踐探索，從本質上改變課程內容的難度和深度，優化課程的內容體系，使其更符合時代發展，培養出更多優秀的數學師范生，是亟待研究的問題．

2 理論基礎

2.1 文獻綜述

在20世紀80年代末，張景中院士總結自己的教學實踐，開辟了“教育數學”的研究領域，提出了“教育數學”思想，將作為科學的數學進行“再創造”，使其變為作為教育的數學，這種“再創造”已超出了對數學進行“教學法加工”的范疇[3]．越來越多的人認識到：“教育數學”思想可以充分體現國家基礎教育課程改革的理念，進行數學課程改革是深入進行教育數學研究的良好契機．數學教育改革實踐已初步顯示：“教育數學”思想作為一種新的數學教育觀的反映，既可以吸收現代教育科學研究的成果，又對數學研究成果材料進行改造創新優化，揭示數學知識之間的緊密關系，發現數學規律形成的優化過程，提煉數學思想，選擇最優呈現方式，發掘普適性解決數學問題的方法，讓學習者容易地學習數學知識的同時，掌握數學本質，提高數學素養，培養數學能力[4~6]．

同時，在信息化教學的今天，信息技術與課程內容的整合已成為中學數學課程的基本理念之一，信息技術的發展對數學教育的價值、目標、內容以及教學方式產生了很大的影響[7]．已有許多學者對信息技術在數學教學中的應用進行了研究，有學者認為將信息技術運用于數學教學的目的是使學生在分析和解決數學問題過程中，能借助信息技術更好地認識和把握問題的實質及其相互關系[8]．有學者認為信息技術融入數學教育有利于展現抽象思維的理性文化特點，提升對數學對象關聯性的理解[9]．而由張景中院士主持策劃、李傳中等設計開發的“超級畫板”平臺可以很好地與中學數學課程內容進行整合，在“超級畫板”平臺上建立動態的圖形和模型，能夠觀察到圖形的動態變化和物體的運動過程以及實驗的變化，這對學生的自學能力、探索精神、創新意識、科學素養都有積極的影響，且已有研究表明[10~11]，超級畫板為教育數學思想的應用與實踐及師范生的培養提供了非常有利的平臺和條件．

2.2 分析框架

在《中學數學研究》課程教學改革和實踐過程中，嘗試保留其課程內容精華部分，加入張景中院士《一線串通的初等數學》相關章節內容，使用“超級畫板”數學教育軟件教學，將教育數學思想與《中學數學研究》課程體系聯系起來，從而優化課程體系．由于《一線串通的初等數學》是以三角學為基礎，認為三角是聯系幾何與代數的一座橋梁，是溝通初等數學和高等數學的一條通道，提出了“下放三角，全局皆活”的概念和體系．而“超級畫板”則是集“寫、畫、測、算、編、演、推、變”等功能于一身，是為中國基礎教育量身定做的智能軟件，是當今最為成熟、最為完善的軟件之一，且內置三角函數的各種公式與化簡方法，它能夠準確、生動地反映“下放三角，全局皆活”的數學實踐，用“超級畫板”能夠將教育數學的思想淋漓盡致地反映和呈現出來．同時，教師將現代化的信息手段和傳統的教學方式有機地結合，打破傳統的靜態文本的模式，生動、形象、鮮活地將數學知識的動態文本有趣地呈現在教的過程中．通過《中學數學研究》課程教學改革，試圖為學生的思考打開一扇窗戶，使學生擁有真正意義上的數學實驗室，學生通過實驗可以看到在參數和對象變化后圖形形成的過程，能夠在極短時間內看到“超級畫板”對幾何問題自動證明的過程與結果，以及運用“超級畫板”驗證和推導自己的想法．

3 研究方法與過程

3.1 被 試

實驗選取貴州師范學院2013級數學與應用數學專業的兩個班級本科生作為實驗對象，于2015年秋季學期對這兩個班的《中學數學研究》課程教學進行改革．

3.2 研究過程

該次課程教學改革實踐研究依托2014年度貴州省省級本科教學工程建設項目“教育數學思想在本科《中學數學研究》課程體系中的應用與實踐（黔教高發【2014】378號）”進行，實踐周期為一學期，總教學時數為54學時，每周3學時．為實踐的順利進行，在2015年上半年，專門為2013級數學與應用數學專業開設了第二課堂“超級畫板興趣班”，通過課外學習，學生基本了解和掌握了超級畫板的基礎知識和基本操作．實踐中借助超級畫板的功能和特色，結合張景中院士的教育數學思想對《中學數學研究》課程內容進行改革，具體見表1．

課程教學改革實踐中，有18位學生繼續組成興趣小組，在授課教師的指導下進行超級畫板的相關研究學習，研究如何借助超級畫板解決數學問題，研究超級畫板在數學課件制作中的應用，研究超級畫板在中小學數學教學中的應用等．

表1 《中學數學研究》課程內容改革

3.3 改革實踐案例：函數的圖象與函數的特征

《中學數學研究》課程中函數部分內容主要包含：函數的概念及其發展；函數的一般概念及其性質；初等函數的概念及其主要性質等8個方面的內容．其中“函數概念的3種定義、函數的圖象與函數的特征”是重點講解內容[12~13]．如何在教學過程中使學生用高等數學的觀點來看待函數，從“研究”的角度學習函數，使之更進一步掌握函數相關內容，這是一個難題．超級畫板在曲線作圖、幾何變換、代數運算方面具有獨特優勢，為解決這一難題提供了非常實用的工具，現以“函數的圖象與函數的特征”一節的教學及探索過程為例呈現如下．

圖1 軸對稱圖形驗證

圖2 旋轉函數圖象

此時還不足以得到結論，還需驗證它是否是某一具體的標準雙曲線，若直接求解比較困難，故而反過來思考，先假設旋轉后圖象就是某一標準雙曲線，求解出其標準方程，再畫出圖象，看其是否與旋轉后圖象重合．根據函數圖象的漸近線與對稱軸的夾角是，可知標準雙曲線的漸近線與軸夾角也是，所以．再根據函數的圖象與對稱軸的交點，的長度即標準雙曲線頂點到原點的距離，求得，繼而求得．在超級畫板中，選擇原點，直接點擊快捷按鈕“圓錐曲線”，填入、值，即得標準雙曲線，如圖3所示．

圖3 旋轉驗證標準雙曲線

既然是旋轉，那么能否通過代數方法實現旋轉或者其它方法，以嚴格證明函數的圖象是雙曲線，故而可進一步探究．由于探究過程稍有繁瑣，并且不是所有學生都能熟練掌握超級畫板，所以未在課堂進行，留作課后作業由學生自行探究．課后在指導超級畫板興趣小組時帶領小組成員進行一番探索，收獲良多．

通常所說的坐標旋轉變換包含兩種：一是旋轉圖象，二是旋轉坐標系．兩種都可以實現旋轉，在此僅寫出第一種的探究過程．平面直角平面坐標系中，點(,)繞坐標原點逆時針旋轉角，到達點￠(,)，點￠與點的坐標關系是，．在此次探究過程中，，帶入前面的關系式即可得到旋轉后點￠(,)的兩個坐標的關系，需要驗證￠的坐標和滿足雙曲線標準方程．由于計算過程涉及負數冪和非特殊角的三角函數運算，非常繁瑣，興趣小組的學生花了很長時間也未能準確計算出結果，不得不另尋他法．經過探索，一位擅長編寫程序的學生利用超級畫板找到了解決方法：先在程序工作區編程計算出和的表達式，消除，兩者均只用表示，如圖4所示；再通過超級畫板中畫“一般曲線”的“參數方程形式”畫出圖象，結果顯示：由參數方程畫出的曲線（圖5中虛曲線）與雙曲線（圖5中加粗實曲線）重合．此法無需進行復雜計算，大大節省了時間，讓學生進一步體會了超級畫板在編程、計算、畫圖方面的強大功能．

圖4 程序計算

圖5 用參數方程畫出雙曲線

上述過程中最重要部分是旋轉前后坐標的關系式，用矩陣可表示為：，仔細觀察可發現矩陣是一個正交矩陣，這意味著上述旋轉變換是一個正交變換，在高等代數中正交變換在化二次型為標準型中應用較多，而且雙曲線標準方程的左端部分就是一個標準二次型，它們之間的聯系引發學生進一步探究．

4 研究結果與分析

4.1 被試總體成績分析

在講授《中學數學研究》課程時，由于課時數有限，并且不是所有學生都能夠熟練使用超級畫板，所以只是在部分課程內容講授時初步嘗試使用超級畫板．在教學過程中，通過觀察學生在課堂上的表現、分析課后作業情況以及和學生的交談，發現學生對超級畫板越來越感興趣，對幾何相關內容的思考更加深入，并且能夠嘗試從不同的角度和思路來解決問題．兩個班級的《中學數學研究》期末考試卷面成績分段統計如表2所示，不及格率為15.22%，及格人數占18.48%，中等人數占38.04%，良好人數占19.56%，優秀人數占8.70%．通過對試卷得分情況的進一步分析，發現學生在幾何相關題目的得分率明顯比其它題目高．

表2 《中學數學研究》期末考試卷面成績分段統計

4.2 興趣小組與非興趣小組成績對比

由于授課教師所指導的超級畫板興趣小組的學生對超級畫板的使用比其他同學熟練一些，所以對興趣小組學生和其他學生的期末考試成績進行更進一步的對比分析．興趣小組共18個學生，占兩個班級總人數的19.56%．需要說明的是，興趣小組學生是自愿報名參與的，興趣小組平時講授和研究內容與期末考試試題無關．興趣小組共有4人期末卷面成績達到優秀，占總優秀人數的50%，另外，興趣小組沒有人卷面成績不及格．將學生按照是否參與超級畫板興趣小組分成兩組，借助SPSS統計分析軟件，采用獨立樣本檢驗對兩組學生的期末成績進行差異分析，結果如表3所示．檢驗結果：值小于0.01，說明興趣小組和非興趣小組學生的《中學數學研究》期末成績均值差異顯著．超級畫板興趣小組學生的成績比非興趣小組學生平均高出約12分．

5 結論與思考

此次課程教學改革整合優化了《中學數學研究》課程內容和體系，有效地促進了教師的教學研究，轉變教師的教學方式和學生的學習方式．使學生對知識的形成獲得了良好的認知體驗，對相關知識的掌握更加牢固，對不同知識之間相互聯系的理解更加深入，有效地提升了學生的數學思維水平．與已有該課程教學內容的改革研究相比[2，15]，這是國內首次嘗試以張景中院士“教育數學”思想為引領，以“超級畫板”為實踐平臺去改革《中學數學研究》的課程內容和體系的優化．經過這一次的初步嘗試，相關經驗為《中學數學研究》課程教學進一步深入改革提供了參考．

表3 興趣小組與非興趣小組學生成績差異T檢驗

5.1 突出“研究”的味道

《中學數學研究》課程所涉及的內容多是中小學數學知識，對學生而言并不難，難在如何研究．學生進入大學之前，受應試教育影響，很少能夠自主思考并研究數學相關內容；進入大學之后，數學專業課的教學多是講授式，少有研究數學的機會．如果只是把中學數學的內容整理、強調和深化，學生學起來也是索然無味．因此，需要老師精心設計教學，帶領學生真正地去研究數學，用高觀點看待初等數學．通過研究，學生更加清楚數學知識的來龍去脈，以及不同數學知識之間的聯系，為他們思考如何教這些數學知識打下了堅實的基礎[16]．

5.2 找尋不同數學知識之間的結合點

很多中小學數學內容是有密切聯系的，但是由于課程的設置，數學內容被轉化成教育形態以方便教學，很多數學知識的聯系也被打斷了，不利于學生整體認識和理解數學．《中學數學研究》這門課正好提供了一個加強理解不同數學知識之間聯系的機會，但是如果仍然按照中學數學來編排其內容和體系，那就沒有什么實際意義，所以必須找尋不同數學知識之間的結合點，把不同數學知識串連起來，尤其是幾何與代數內容的結合點．以不同數學知識的結合點為中心展開教學，引導學生思考和研究，將會收到意想不到的效果．

5.3 發揮超級畫板的特色

超級畫板教學軟件操作簡單，其所擁有的動態幾何作圖、曲線作圖、跟蹤軌跡、動態測量、圖形變換、符號計算、程序環境、智能自動推理、文本公式、統計圖表、動畫按鈕、課件平臺等功能，為數學教學提供相當優越的便利條件．有了超級畫板的幫助，數學知識會以一種全新的面貌呈現．同時，學生也可以借助超級畫板進行思考、研究和創作．學生對超級畫板教學軟件的掌握和運用也符合現代教育對信息技術與課堂教學融合的要求．

5.4 轉變思維方式以提高效率

對《中學數學研究》課程體系和內容進行改革，本質上是提高教學效益，對學生而言就是提高數學思維能力，更加全面而深刻地理解數學[17]．對中學數學內容的探究，學生可以從不同的角度思考，找到不同的解決思路，結合超級畫板，學生更能體會作為“機器”的數學，體會另外一種思維方式．在無形之中，學生看待數學、看待事物的方法發生了轉變，解決問題的效率得到了提高．

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Research on the Practice of Educational Mathematics Thought in Curriculum Reform of “Mathematics Research in High School”

XIAO Hong-zhi1, MEI Jun-lei1, LI Yan-qin1, RAO Yong-sheng2

(1. School of Mathematics and Computer Science, Guizhou Education University, Guizhou Guiyang 550018, China;2. School of Computer Science and Educational Software, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China)

Education Mathematics aimed to reform Mathematics so that it was suitable for teaching. The Super Sketchpad method developed by Academician Jingzhong Zhang provided a powerful tool for the use of ideas of Mathematics Education. In this paper, we applied the Super Sketchpad to the teaching of the course “Research on High School Mathematics” for the undergraduate students majored in Mathematics in normal college. Infiltrating the ideas of Mathematical Education and using function as an example, we found that that students had a deeper understanding about mathematics contents, the relevance knowledge and their relationships and their mathematical thoughts were improved efficiently. Basing on these practices, we put forward some suggestions for the course “Research on High School Mathematics”: Highlighting the taste of “research”, exploring the combinations of different mathematical knowledge, making full use of the advantages of “Super Sketchpad”, and changing the way of thinking to improve the efficiency.

ideas of mathematics education; mathematics research in high school; curriculum reform practice; super sketchpad

[責任編校：陳漢君]

G420

A

1004–9894（2017）04–0097–06

2017–05–20

2015貴州省教育廳高校人文社科研究規劃項目——專業認同理論視域下的貴州農村特崗教師專業發展研究（2015GH24）；2016貴州省教育科學規劃（名校長工作室）專項課題——貴州初中數學教師專業發展實驗研究（2016MXZ026）；2016年度貴州省科技平臺及人才團隊專項資金項目（黔科合平臺人才【2016】5609）；2014年度貴州省省級本科教學工程建設項目（黔教高發【2014】378號）

肖宏治（1963—），女，貴州畢節人，副教授，主要從事數學教育、教師培訓研究．