非線性自適應水平集的圖像分割方法

周鳳麗+于海平+龔江河

摘 要：提出一種新的基于水平集的圖像分割方法，通過引入貝葉斯規則，設計一個可有效分割弱邊緣的非線性自適應速度和概率加權停止函數。該方法包含如下特性：可以自動決定曲線收縮或利用貝葉斯規則對涉及到的圖像區域特征進行擴展；以恰當的速度驅動曲線演變，避免了弱邊緣的遺漏；降低了假邊緣的影響。最后將所提出的分割方法應用于人工圖像、醫學圖像和自然圖像的定性和定量評估。對結果進行比較可知，該方法相對于水平集方法和其代表的變體更加有效和實用。

關鍵詞：活動輪廓；貝葉斯規則；有限差分；圖像分割；水平集；偏微分方程

DOIDOI：10.11907/rjdk.171233

中圖分類號：TP317.4

文獻標識碼：A 文章編號：1672-7800（2017）007-0191-04

0 引言

主動輪廓模型（Active Contour Model，ACM）作為圖像分割的流行技術，受到了學者的廣泛關注，其建立了一個統一的分級ACM系統框架[1]。水平集方法（Level Set Method，LSM）作為隱式的ACM也被廣泛應用于圖像分割[2]，它根據分割任務的類別跟蹤圖像的邊緣或標記像素，分割出圖像的邊緣和區域。Li等[3]將懲罰項引入至能量泛函，使得水平集函數一直保持為符號距離函數，不用在曲線演化過程中重新初始化水平集函數。Chan和Vese[4]將圖像分為背景區域和目標區域兩部分，使用簡化的Mumford-Shah模型[5]逼近待分割圖像，在近似函數和原始圖像之間引入懲罰項，并將此方法擴展應用于張量圖像等特殊圖像分割中；隨后Roussonet、Chen和Tseng等[6-7]通過使用最大后驗（Maximum a-Posterior）模擬外部能量設計了一種圖像分割方法。

為了得到圖像的正確分割結果并解決上述問題，本文設計了一種新的圖像分割方法。該方法結合了以新的圖像邊緣和區域為基礎的混合停止力及文獻[3]中提出的能量泛函，具有以下優點：①與文獻[3]和[4]提出的水平集方法相比，自適應方向函數可自動確定曲線進化方向，并不容易受到曲線初始位置的影響；②該方法提供了非線性進化速度函數，可避免邊緣泄漏和弱邊緣的出現；③該方法中所設計的概率加權停止力可抑制假邊緣（即遠離待分割圖像的邊緣）的影響。最后將提出的方法與文獻[3]、[4]、[6]、[7]中提出的4種具有代表性的水平集方法應用于人工圖像、自然圖像和醫學圖像的分割，并對圖像分割結果進行比較。結果表明，本文所提出的圖像分割方法更加有效和實用。

1 水平集方法

大多數傳統的水平集方法需要通過在曲線演化過程中求解PDE重構水平集函數，每隔幾個迭代步驟就會執行重新初始化水平集函數，導致計算量過大。為解決這個問題，Li等[3]在能量泛函中引入了懲罰項，定義為：

其中Ω表示圖像域；是水平集函數；μ、λ、ν是常系數；H（-）是Heaviside函數；δ（-）是Dirac函數；g為基于圖像邊緣的停止函數，定義為：

其中，Gσ是標準方差為σ的Gaussian函數；I表示帶分割圖像；停止函數g是一個正單調遞減函數，隨著圖像灰度的增加其值逐漸趨近于0。但該方法存在兩個缺陷：①該方法對曲線的初始位置敏感；②圖像噪聲魯棒性不夠。Chan和Vese通過利用分段常函數逼近待分割圖像提出了一種基于區域的水平集方法[4]，將能量泛函的外部能量作為擬合誤差，定義為：

其中，c1和c2分別表示閉合曲線內部和外部像素的灰度平均值；Chen和Tseng對文獻[4]的方法進行了擴展，設計了一種基于貝葉斯最大后驗（MAP）的水平集方法[7]，其能量泛函定義為：

其中，ω1和ω2分別表示閉合曲線的內部和外部區域，假設式（4）中的條件概率呈高斯分布，可定義為：

當每個高斯分布的標準偏差為1（σi=1）時，貝葉斯項退化為式（3）的簡化形式，因此式（4）也可看作是對式（3）泛化能力的統計。上述基于區域的水平集方法均使用圖像的區域特征作為曲線演化的停止條件，可以有效防止邊緣泄漏，但在分割圖像中不均勻的部分，其表現有所欠缺。

2 非線性自適應水平集方法

2.1 自適應方向函數

為了讓曲線演化不必過分依賴于曲線的初始位置，可利用全局統計特征確定曲線的演化方向，假設表示圖像區域的公式為：Ω=Ω1+Ω2，其中Ω1和Ω2分別表示目標和背景，這樣曲線的演化方向可以通過式（6）確定。

與文獻[4]中所提出的函數相比，該函數提供了曲線演化的新規則。為加快曲線演化，文獻[3]和[4]均提出將一個常量速度合并至演化方程，該常量的值較大時，弱邊界易于遺漏，而值較小時，收斂速度會變慢。為了解決此問題，將自適應方向函數作進一步改進，即：

其中，κ為常量參數，控制曲線演化速度的幅度，本文實驗中假設κ=15；ζ也是一個常量參數，表示曲線演化的非線性程度，本文實驗中假設ζ=2。

2.2 概率加權停止函數

基于邊緣的水平集方法中通常使用基于圖像灰度的停止函數對圖像邊緣進行標識，而基于區域的水平集方法中所采用的停止函數是基于區域信息設計而成。本文將圖像的局部和全局特征結合，設計了一個新的基于邊緣和區域的停止函數，即概率加權停止函數：

其中，Gσ*I表示對圖像I進行高斯平滑處理；m為一個正常數且在本文所有實驗中設置為2，當圖像灰度的乘積范數和P（Ω1|I）P（Ω2|I）較大時，式（16）將取較小值。

2.3 非線性自適應水平集方法

水平集函數中能量泛函的定義是水平集圖像分割方法的核心，本文在文獻[3]的基礎上，加入上述非線性自適應方向函數和概率加權停止函數，重新將能量泛函定義為：

其中，d為一個正常數；Ω表示圖像區域；Ω0表示被初始閉合曲線Ω0封閉的區域；常數λ用于控制加權長度項的影響且取值范圍為[1，10]，其值越大，曲線越平滑。endprint

通過將Euler-Lagrange方程應用于能量泛函并人為引入時間變量t，可以得到如下演化方程：

3 實驗結果

為了驗證所提出方法的有效性，一共進行了3組實驗，每組實驗將該方法與文獻 [3]、[4]、 [6]、[7]中提出的方法分別應用于人工圖像、自然圖像以及醫學圖像的分割。在所有實驗中，本文所提出方法設定時間步長Δt迭代至10，式（16）中的m=2，式（17）中的μ=0.2/Δt，式（6）中的TP=0.5，式（15）中的κ和ζ分別設置為15和2。

實驗1：將5種方法應用于包含3種不同灰度值形狀的人工圖像中，如圖1所示。實驗結果表明，本文所提出方法可以檢測到3種形狀，但因為其采用全局統計特征確定曲線演化方向，不必考慮曲線的起始位置，且可以避免錯過局部邊緣。

實驗2：將5種方法應用于包含腫塊且邊界模糊的乳腺x線圖像，如圖2所示。實驗結果表明，本文所提出的方法正確地捕獲到了所期望腫塊邊緣的輪廓，因為其混合停止力可以對弱邊界進行很好的處理。

實驗3：將5種方法應用于包含灌木叢的自然圖像，如圖3所示。實驗結果表明，本文所提出的方法可以有效抑制圖像邊緣遠處區域的灰度變化，不用考慮曲線的起始位置，最終都能得到正確的目標區域輪廓。

4 結語

本文結合圖像的局部和全局特征，構造了一種新的非線性自適應速度和加權概率停止力，速度的符號可自動決定曲線收縮或膨脹，速度梯度大小的非線性變化可有效避免圖像邊緣泄漏；概率加權停止力可有效抑制錯誤圖像邊緣的影響并改善對噪聲的魯棒性。由于非線性自適應速度基于兩相假設而設計，若要對圖像作多相分割，需要使用多個水平集函數，未來考慮將貝葉斯規則與先驗信息合并解決此問題。

參考文獻：

[1] 王智剛.主動輪廓模型在圖像分割中的應用研究[D].西安：陜西師范大學，2014.

[2] 陳雯.基于水平集方法的活動輪廓模型的應用研究[D].上海：華東師范大學，2015.

[3] C LI，C XU，C GUI，et al.Level set evolution without re-initialization：a new variational formulation[C].In Proc.IEEE Conf.Comput.Vis.Pattern Recog.2013：430-436.

[4] T F CHAN，L A VESE.Active contours without edges[J].IEEE Trans.Image Process，2012，2（10）：266-277.

[5] D MUMFORD，J SHAH.Optimal approximations by piecewise smooth functions and associated variational problems[J].Commun.Pure Appl.Math，1989，5（42）：577-685.

[6] M ROUSSON，T BROX，R Deriche.Active unsupervised texture segmentation on a diffusion based feature space[C].In Proc.IEEE Conf.Comput.Vis.Pattern Recognit，2003：699-704.

[7] Y CHEN，D TSENG.Medical image segmentation based on Bayesian level set method[C].In Proc.Med.Imag.Info.，2014：25-34.endprint