分析數形結合在初中數學解題中的應用思路

摘 要：數形結合思想在初中數學解題中應用廣泛，本文首先對數形結合的概念進行了闡述，對數形結合思想在初中教學中的作用進行了分析。從以“數”解“形”、以“形”助“數”、“數”“形”互三個方面具體說明了數形結合思想在初中數學中的應用途徑及具體用法。在實踐中逐漸摸索數形結合的方法，并積極的運用到解題中，從而提高教學質量和數學成績。

關鍵詞：數形結合；初中數學；應用思路

一、數形結合概念分析

數學中的數量關系很多都可以用直觀的圖像來表示，所有圖形當中也都包含了一定程度的數量關系，“數”與“形”都是組成數學的重要基礎。因此，將“數”“形”結合起來更能全面直觀的解決數學問題，數形結合是一種重要的解題思想，主要方法是將“數”與“形”聯系在一起，以數解形，以形助數。數形結合整合性強、解法靈活，使概念完整化、解決問題具體化，考察學生的創新能力和實踐能力，聯系函數、代數知識與幾何等知識聯系在一起，幫助學生理解各種公式，發展思維能力。

二、數形結合在解題中的作用

數學中的數量關系很多都可以用直觀的圖像來表示，所有圖形當中也都包含了一定程度的數量關系，“數”與“形”都是組成數學的重要基礎。因此，將“數”“形”結合起來更能全面直觀的解決數學問題，數形結合是一種重要的解題思想，主要方法是將“數”與“形”聯系在一起，以數解形，以形助數。數形結合整合性強、解法靈活，使概念完整化、解決問題具體化，考察學生的創新能力和實踐能力，聯系函數、代數知識與幾何等知識聯系在一起，幫助學生理解各種公式，發展思維能力。

三、數形結合在初中數學解體中的應用

（一）以“數”解“形”

針對通過形轉化為數的模式來看，其通常是經過認真地分析以后，將已知的圖形、圖像當中隱藏的各種數量與相關性造出來，將幾何圖形的相關屬性夠通過數的方式反映出來。解決圖形問題時，一部分圖形較為復雜，有一部分問題需要定量。這種情況下首先要對圖形進行分析，從已知條件進一步分析隱含條件，分析出題目條件和所求目標之間的幾何關系，找到條件與目標的幾何意義，對其特點和性質進行對比分析。將題目中的圖形用代數式表示出來，利用概念、公式求出代數式的結果，再轉化為圖形中的條件。數形結合的方法使得直觀的形與數量關系準確的結合在一起。

例：已知圓O內切于三角形ABC，其中AB=18，AC=22，BC=26。求：過三角形ABC的各個頂點的切線長。

分析：過三角形ABC三個頂點的切線分為為CE和CF，BD和BF，AD和AE，且CE=CF，BD=BF，AD=AE。可將三角形ABC的三條邊均拆成某兩條線段的和，然后化成方程組問題進行求解。

解：設圓O與三角形ABC三條邊分別相切于點D、E、F，

設AD=a，BD=b，CF=c，

則有：a+b=18，b+c=2，6a+c=22

解得：a=7，b=11，c=15。

所以過三角形ABC的頂點A、B、C的切線分別為7、11、15。

（二）以“形”助“數”

數學具有高度的抽象性，數形結合的思想能夠使問題具體化，可以把抽象的數據、公式直觀形象的與圖形結合在一起。針對通過數轉化為形的模式來看，其通常將問題當中的各種假設，用與之對應的圖形描繪出來，體現對應的數量關系，最終揭示數與形之間的本質。有些函數、代數問題的解決方法太過復雜，單純用代數的方法很難找到解題思路。這時候可以利用數和形之間的對應關系，將數量問題轉化為圖形問題，在明確解題目標的情況下，根據已知條件和題中涉及的概念與公式，分析數量關系能否通過某種圖形表達出來，構造出合適的圖形，根據圖形的幾何意義，結合到數量關系，進一步對題目所求目標進行解決。比如，求5a×6a的值時，可繪制出一個長方形的圖形，將6a作為一個長方形的長，5a作為長方形的寬，那么長方形的面積就可以用5a×6a表示，于是有5a×6a=30a。

例：商場搞活動促銷，其中x（件）是產品的銷量，y（元）是費用，其關系圖如下，圖表表示了兩種購物方式所得的收益，求：（1）求y1與y2的函數解析式；（2）解釋圖中表示的兩種銷售方案是如何獲得收益的？（3）如何選擇銷售方案較為合理？

解：

（1）y1=20x，y2=10x+300

（2）y1是沒有基礎消費，每10件產品得到收入200元，y2是有基礎消費300元，每售出10件產品再額外收入100元。

（3）如果可以保證平均每月售出30件以上時，就選擇y1的銷售方案；否則，選擇y2的銷售方案。通過數形結合的方法可以讓學生更好的接受，更加熟練的掌握單項式乘法、單項式與多項式的乘法以及多項式的運算法則，有效的提高學生分析問題和解決問題的能力。

（三）“數”“形”互變

針對數與形的互相轉化模式來看，數與形具有相互對立統一的特點，觀察圖形形狀后，研究式子之間的結構，進行對應的聯想，找到數與形之間的聯系，用公式、概念進行相應的轉化，把空洞、抽象的內容轉變成形象、直觀的內容。數形互變的實質就是由數變形和以形變數的結合，同時具備由數變形時的直觀和以形變數的嚴密，在較復雜的數學題目中，可能同時需要這兩種方法的轉化，需要認真分析題目中的已知條件和隱含條件，找到形和數的關系，根據具體條件，相互轉化。

例：關于x的方程x2+2ax+3a=0的兩根都在-1和3之間，求a的取值范圍。

解：令f（x）=x2+2ax+3a，由二次函數的圖象可知：

f（-a）≤0，f（3）>0，f（-1）>0

即：（-a）2+2a（-a）+3a≤0

（-1）2+2a（-1）+3a>0

32+2a·3+3a>0

解得：a≥3或-1

四、結語

數形結合思想在初中數學解題中應用廣泛，是根據數和形之間對應的關系，將數量關系與直觀的幾何圖形相互聯系，是把數學問題化難為易、化繁為簡的重要方法，使得解決問題更加便捷明了。在學習數學的過程中需要反復的練習與實踐，才能更好的掌握數形結合的解題方法，為今后的數學學習打下堅實的基礎。

參考文獻：

[1]宋英海.數形結合思想在初中數學解題中的應用[J].山西師范大學學報（自然科學版），2015，S1：16-17.

[2]劉冰楠.數形結合方法在初中數學教學中應用研究[D].內蒙古師范大學，2012.

[3]武俊英.數形結合思想在初中數學教學中的實踐研究[D].陜西師范大學，2014.

作者簡介：

陳元軍（1976.10.31—），男，漢族，廣西欽州市靈山縣人，廣西靈山縣舊州中學教師。