基于GPS的彈道落點(diǎn)預(yù)測(cè)研究

陳金鑫劉志坤劉忠夏家偉

（海軍工程大學(xué)電子工程學(xué)院武漢430033）

基于GPS的彈道落點(diǎn)預(yù)測(cè)研究

陳金鑫劉志坤劉忠夏家偉

（海軍工程大學(xué)電子工程學(xué)院武漢430033）

利用GPS進(jìn)行彈道測(cè)量，進(jìn)而預(yù)測(cè)彈丸落點(diǎn)，可以有效提高檢靶精度。提出了一種彈道落點(diǎn)預(yù)測(cè)模型，包括飛行軌跡方程的建立、落地時(shí)刻的計(jì)算以及坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。通過(guò)野點(diǎn)剔除和數(shù)據(jù)插值預(yù)處理方法提高落點(diǎn)的預(yù)測(cè)精度，基于彈丸位置的GPS仿真數(shù)據(jù)，對(duì)比分析了多項(xiàng)式擬合、傅里葉擬合等多種算法的預(yù)測(cè)精度，確定了不同精度對(duì)GPS數(shù)據(jù)量的需求，為工程應(yīng)用中進(jìn)行落點(diǎn)預(yù)測(cè)提供了參考。

落點(diǎn)預(yù)測(cè)；GPS；軌跡方程；誤差分析

Class NumberTJ410

1 引言

脫靶量的精確測(cè)量是評(píng)價(jià)艦炮射擊成績(jī)的重要依據(jù)，影響著部隊(duì)實(shí)戰(zhàn)化訓(xùn)練水平的提升。然而復(fù)雜的海上環(huán)境制約著彈丸落點(diǎn)位置的精確測(cè)量，隨著智能化彈藥的發(fā)展，在彈丸上加裝定位系統(tǒng)進(jìn)行彈丸定位成為各國(guó)研究的熱點(diǎn)。

文獻(xiàn)［1］介紹了基于GPS/INS制導(dǎo)炸彈的總體方案，文獻(xiàn)［2］主要介紹了彈載衛(wèi)星定位系統(tǒng)的原理和構(gòu)造，均肯定了加載定位系統(tǒng)的智能彈藥研究的發(fā)展前景，但沒(méi)有涉及GPS數(shù)據(jù)處理方面的研究；文獻(xiàn)［3］基于GPS測(cè)量數(shù)據(jù)，建立了根據(jù)非線性過(guò)載制導(dǎo)信號(hào)控制彈丸飛行曲線彈道的模型，仿真驗(yàn)證了彈藥對(duì)設(shè)計(jì)軌跡的精確跟蹤，但缺少對(duì)最后的彈丸落點(diǎn)的精確預(yù)測(cè)；文獻(xiàn)［4］研究了GPS的動(dòng)態(tài)定位原理，并引入灰定位算法，對(duì)最終的落點(diǎn)預(yù)測(cè)誤差來(lái)源進(jìn)行了深入分析，但并未提出具體的落點(diǎn)預(yù)測(cè)算法。

本文在前人研究的基礎(chǔ)上，提出了一種彈道落點(diǎn)預(yù)測(cè)模型，建立了彈丸的飛行軌跡方程，解算了彈丸落地的時(shí)刻。為便于分析數(shù)據(jù)，建立了以仿真的彈道落點(diǎn)為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，并推導(dǎo)了由大地坐標(biāo)向直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的關(guān)系式。運(yùn)用野點(diǎn)剔除和數(shù)據(jù)插值方法對(duì)仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行了預(yù)處理，使用多種擬合算法對(duì)仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，對(duì)比了不同算法得到的落點(diǎn)的預(yù)測(cè)誤差，據(jù)此給出了適合的預(yù)測(cè)算法，確定了預(yù)測(cè)落點(diǎn)所需要的測(cè)量數(shù)據(jù)量的范圍。

2 彈道落點(diǎn)預(yù)測(cè)模型

彈載GPS設(shè)備對(duì)于彈丸位置的測(cè)量不是連續(xù)的，而是在一定的采樣頻率下得到一組觀測(cè)數(shù)據(jù)序列。因此，通常情況下，彈載GPS設(shè)備在彈丸落地前發(fā)出的的最后一次位置信息并非實(shí)際落點(diǎn)，需要對(duì)彈丸落點(diǎn)進(jìn)行精確預(yù)測(cè)，即建立彈道落點(diǎn)預(yù)測(cè)模型。建模工作主要包括彈丸飛行軌跡方程的建立［5～6］、彈丸落地時(shí)間的解算以及大地坐標(biāo)系的變換。

2.1 彈丸飛行軌跡方程的建立

假設(shè)y=ζ(x)的表達(dá)式為

則偏差平方和為

為了求得符合條件的a值，對(duì)式（2）右邊求ai的偏導(dǎo)數(shù)，得到

表示成矩陣形式，就可以得到下面的矩陣等式：

式（3）中的系數(shù)矩陣為范德蒙德矩陣，化簡(jiǎn)后可得

根據(jù)矩陣求逆，便可以得到系數(shù)矩陣A。

利用式（4），以時(shí)間t為自變量，對(duì)空間坐標(biāo)系x坐標(biāo)擬合，即：

坐標(biāo)數(shù)據(jù)關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)擬合曲線系數(shù)為Ax=(T′×T)-1×T′×X。同理，可以分別得到y(tǒng)坐標(biāo)、z坐標(biāo)關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)擬合曲線系數(shù)Ay、Az。那么，彈丸的飛行軌跡方程為

2.2 彈丸落地時(shí)刻的求解

彈丸的落地時(shí)刻，根據(jù)式（5）中z坐標(biāo)關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)來(lái)確定。射擊之前，靶標(biāo)的高程h已知。設(shè)函數(shù)H(t)=z(t)-h，取tl和tr（tl＜tr），使得H(tl)＞0、H(tr)＜0同時(shí)成立，那么彈丸的落地時(shí)刻必然在區(qū)間(tl，tr)內(nèi)。在一定的預(yù)測(cè)精度σh要求下，利用二分法的原理，可以近似確定彈丸落地的時(shí)刻

其中，tn為最后一組觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的時(shí)間，σt為近似確定彈丸落地的時(shí)刻與tn的差。

2.3 大地坐標(biāo)系的變換

GPS測(cè)量數(shù)據(jù)使用的是大地坐標(biāo)系，包括彈丸的經(jīng)緯度和高程，在進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時(shí)十分不便，同時(shí)為了適應(yīng)所建立的落點(diǎn)預(yù)測(cè)模型，將彈丸位置的大地坐標(biāo)變換為空間直角坐標(biāo)。由于區(qū)域跨度較小，不考慮地球曲率的影響，將考察的區(qū)域視作水平面。如圖1所示，為便于分析落點(diǎn)預(yù)測(cè)誤差，以仿真的彈道實(shí)際落點(diǎn)為原點(diǎn)O建立空間直角坐標(biāo)系OXYZ，X軸沿緯線切線向東，Y軸沿經(jīng)線切線向北，Z軸垂直地球平面指向天頂。

假設(shè)炮彈在位置(λi，φi，hi)的時(shí)刻在空間直角坐標(biāo)系OXYZ中的直角坐標(biāo)為(xi，yi，zi)，由于原點(diǎn)設(shè)在實(shí)際落點(diǎn)處，可以利用測(cè)量點(diǎn)與實(shí)際落點(diǎn)的經(jīng)緯度差推算出相應(yīng)測(cè)量點(diǎn)的直角坐標(biāo)［7］，式（7）是經(jīng)緯度和高程轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)的變換式。

式中，λ0、φ0、h0為實(shí)際落點(diǎn)的經(jīng)緯度和高程；λi、φi、hi為第i個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的經(jīng)緯度和高程；xi、yi、zi為第i個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)；R為地球半徑。

3 數(shù)據(jù)預(yù)處理

在進(jìn)行數(shù)據(jù)挖掘時(shí)，使用的數(shù)據(jù)量一般是非常大的。但是現(xiàn)實(shí)中得到的數(shù)據(jù)大體上又都是不完整、不一致的臟數(shù)據(jù)，因此無(wú)法直接進(jìn)行數(shù)據(jù)挖掘，或者挖掘的效果差強(qiáng)人意。為了提高數(shù)據(jù)挖掘的質(zhì)量產(chǎn)生了多種數(shù)據(jù)預(yù)處理方法，包括數(shù)據(jù)的清理、集成、變換和規(guī)約等。其中，野點(diǎn)剔除可以剔除明顯異常的數(shù)據(jù)點(diǎn)，而插值可以降低數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，從而使數(shù)據(jù)更加平滑。

3.1 野點(diǎn)剔除

嚴(yán)重偏離正常彈道的測(cè)量點(diǎn)，稱之為野點(diǎn)［8～9］。野點(diǎn)會(huì)影響數(shù)據(jù)處理的精度，對(duì)最終落點(diǎn)精確預(yù)測(cè)產(chǎn)生不利影響，因此必須剔除出去。假設(shè)測(cè)得的彈丸高程和對(duì)應(yīng)的時(shí)間序列為{(t1，h1)，(t2，h2)，…，(tn，hn)}，采用工程上常用的四點(diǎn)外推擬合法［10］，由式（8）

外推得到ht的預(yù)測(cè)值。式中，ht是t時(shí)刻對(duì)應(yīng)的彈道高程，h?t是根據(jù)四點(diǎn)外推法得到的ht的預(yù)測(cè)值。

判斷下式

是否成立，這里的δ是野點(diǎn)檢測(cè)的門限，取值為5倍的觀測(cè)誤差。若該式成立，則t時(shí)刻觀測(cè)值ht是正常值；否則，ht是野值，將其數(shù)值設(shè)為0。

3.2 數(shù)據(jù)插值

當(dāng)在現(xiàn)有工程基礎(chǔ)上增加插值節(jié)點(diǎn)，對(duì)常用的拉格朗日插值法是一個(gè)挑戰(zhàn)，整個(gè)計(jì)算工作必須重新開(kāi)始，而牛頓插值方法很好地克服了這個(gè)問(wèn)題。

f(x)關(guān)于x0、x的一階差商定義為

根據(jù)式（10）可以推導(dǎo)得到

關(guān)于x0、x1、x的二階差商定義為

同理可以得到

根據(jù)式（12）推導(dǎo)得到

那么，（n+1）個(gè)插值節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的牛頓插值公式為

4 模型仿真及誤差分析

4.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理結(jié)果

利用彈道仿真軟件生成一組彈丸位置的GPS測(cè)量數(shù)據(jù)，由于GPS對(duì)高程數(shù)據(jù)的測(cè)量精度較經(jīng)緯度數(shù)據(jù)要差，因此在生成的高程數(shù)據(jù)上人為添加觀測(cè)噪聲。以高程數(shù)據(jù)為例構(gòu)建曲線如圖2所示。通過(guò)在彈道最高點(diǎn)附近產(chǎn)生大幅波動(dòng)，模擬可能存在的異常的測(cè)量點(diǎn)。

運(yùn)用式（9）對(duì)仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行野點(diǎn)剔除，得到處理后的彈道高程數(shù)據(jù)在0～6s內(nèi)的變化如圖3所示。在將野值剔除后，炮彈在彈道最高點(diǎn)附近的高程觀測(cè)數(shù)據(jù)變的平滑。在野點(diǎn)剔除前，數(shù)據(jù)和方差為2.6038×103，標(biāo)準(zhǔn)差為4.0986；在野點(diǎn)剔除后，數(shù)據(jù)和方差為1.5488×103，標(biāo)準(zhǔn)差為4.3727。說(shuō)明剔除野值，減小了數(shù)據(jù)擬合的總體誤差。

但是野點(diǎn)剔除導(dǎo)致數(shù)據(jù)量減少，使得數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差提高了，同時(shí)高程測(cè)量數(shù)據(jù)出現(xiàn)斷點(diǎn)，這為后續(xù)的數(shù)據(jù)處理帶來(lái)困難。下面通過(guò)插值方法，在補(bǔ)充數(shù)據(jù)斷點(diǎn)的同時(shí)，縮短數(shù)據(jù)的時(shí)間分劃，以此來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的進(jìn)一步平滑。

利用式（15）對(duì)上面得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到插值處理后的彈道高程數(shù)據(jù)如圖4所示。從圖4中已經(jīng)可以看出插值后不再有數(shù)據(jù)斷點(diǎn)，而且彈道高程曲線更加平滑，數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為4.0706，比原始數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差4.0986要小，說(shuō)明數(shù)據(jù)插值有效地實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)平滑。

4.2 落點(diǎn)求解與誤差分析

對(duì)經(jīng)緯度數(shù)的預(yù)處理和高程數(shù)據(jù)的處理方法相同，在此不再贅述。基于預(yù)處理得到的彈丸位置數(shù)據(jù)，分別使用二次多項(xiàng)式擬合、三次多項(xiàng)式擬合、一階傅里葉擬合、二階傅里葉擬合方法對(duì)x、y、z坐標(biāo)關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)進(jìn)行擬合［11～12］。根據(jù)圖1，將落點(diǎn)預(yù)測(cè)誤差［13］定義為

表1給出了根據(jù)以上幾種擬合方法得到的落點(diǎn)預(yù)測(cè)誤差，x方向預(yù)測(cè)誤差指預(yù)測(cè)點(diǎn)的x坐標(biāo)和真實(shí)落點(diǎn)的x坐標(biāo)差值的絕對(duì)值，同理可以定義y方向和z方向的預(yù)測(cè)誤差，R的定義已經(jīng)由式（16）給出。

表1 不同擬合算法下落點(diǎn)預(yù)測(cè)誤差（m）

由表1，就仿真的彈道數(shù)據(jù)可以得到如下結(jié)論：

1）x方向預(yù)測(cè)誤差明顯大于其他方向的預(yù)測(cè)誤差；

2）x方向預(yù)測(cè)誤差較大，直接影響著R的大小；

3）二次多項(xiàng)式擬合比三次多項(xiàng)式擬合后的落點(diǎn)預(yù)測(cè)誤差小，二階傅里葉擬合比一階傅里葉擬合的落點(diǎn)預(yù)測(cè)誤差小；

4）不同擬合方法之間擬合效果是不同的，擬合效果差的算法會(huì)嚴(yán)重影響落點(diǎn)位置的精確測(cè)量。

圖5進(jìn)一步對(duì)比了二次多項(xiàng)式擬合和二階傅里葉擬合在特定數(shù)量的模擬點(diǎn)數(shù)下的擬合效果，模擬點(diǎn)數(shù)從最后一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)向回計(jì)數(shù)，橫坐標(biāo)為模擬使用點(diǎn)數(shù)占總點(diǎn)數(shù)的比例。

由圖5可以得到如下結(jié)論：

1）擬合使用的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)量不同，影響著最終的落點(diǎn)預(yù)測(cè)誤差；

2）針對(duì)預(yù)測(cè)落點(diǎn)這一問(wèn)題，多項(xiàng)式擬合算法是相對(duì)理想的預(yù)測(cè)方法；

3）經(jīng)過(guò)對(duì)制約落點(diǎn)預(yù)測(cè)誤差的x方向數(shù)據(jù)的擬合標(biāo)準(zhǔn)差的比較，發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式擬合的標(biāo)準(zhǔn)差增長(zhǎng)比傅里葉擬合要快，說(shuō)明多項(xiàng)式擬合方法隨著數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的增加，落點(diǎn)預(yù)測(cè)誤差可能進(jìn)一步擴(kuò)大，因此多項(xiàng)式擬合在存在大數(shù)據(jù)量的觀測(cè)時(shí)，其適用性有待進(jìn)一步研究。

為進(jìn)一步確定在進(jìn)行落點(diǎn)預(yù)測(cè)時(shí)使用數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的最佳值，也即確定落點(diǎn)預(yù)測(cè)誤差最小時(shí)使用的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，圖6給出了落點(diǎn)預(yù)測(cè)誤差隨使用數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的變化，x軸正方向代表從最后一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)向回計(jì)數(shù)，擬合使用的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)在增加。

由圖6可以得到如下結(jié)論：

1）使用數(shù)據(jù)點(diǎn)過(guò)少，擬合效果極差，造成的落點(diǎn)預(yù)測(cè)誤差也相對(duì)較大；

2）使用數(shù)據(jù)點(diǎn)增加到一定值后，繼續(xù)增加會(huì)造成落點(diǎn)預(yù)測(cè)偏差的大幅增加，不利于落點(diǎn)位置的精確預(yù)測(cè)；

3）預(yù)測(cè)誤差基本保持在10m誤差線以下，隨使用數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)變化呈現(xiàn)上下波動(dòng)的態(tài)勢(shì)；

4）根據(jù)圖中的5m誤差線，落點(diǎn)預(yù)測(cè)誤差首次小于5m對(duì)應(yīng)使用數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)為9個(gè)，最后一次小于5m對(duì)應(yīng)使用數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)為225個(gè)；根據(jù)圖中的3m誤差線，落點(diǎn)預(yù)測(cè)誤差首次小于3m對(duì)應(yīng)使用數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)為12個(gè)，最后一次小于3m對(duì)應(yīng)使用數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)為120個(gè)；

5）若限定落點(diǎn)預(yù)測(cè)誤差最大為3m，則應(yīng)該準(zhǔn)備的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)區(qū)間為（12，120）；若限定落點(diǎn)預(yù)測(cè)誤差最大為5m，則應(yīng)該準(zhǔn)備的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)區(qū)間為（9， 126）。

根據(jù)圖6得到的結(jié)論，在XOY平面內(nèi)，當(dāng)限定落點(diǎn)預(yù)測(cè)誤差最大為5m時(shí)，最少使用9個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，預(yù)測(cè)落點(diǎn)位置為（-1.8707，-0.0286）；當(dāng)限定落點(diǎn)預(yù)測(cè)誤差最大為3m時(shí)，最少使用12個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，預(yù)測(cè)落點(diǎn)位置為（-1.6244，-0.0213）。

5 結(jié)語(yǔ)

本文研究了基于GPS的彈道落點(diǎn)預(yù)測(cè)，建立了彈道落點(diǎn)預(yù)測(cè)模型，仿真分析了不同擬合算法下的落點(diǎn)預(yù)測(cè)精度，以及使用的數(shù)據(jù)量的變化對(duì)落點(diǎn)預(yù)測(cè)精度的影響，據(jù)此給出了滿足指定精度所需要的測(cè)量數(shù)據(jù)量的范圍，為彈道落點(diǎn)預(yù)測(cè)工作提供了一定的參考價(jià)值。

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Study on Impact Point Prediction Based on GPS

CHEN JinxinLIU ZhikunLIU ZhongXIA Jiawei
（College of Electronic Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033）

Using GPS to measure trajectory and predicting the impact point can effectively improve the target detection accura?cy.A model to predict impact point is proposed，establishing equation of the flight trajectory，calculating landing time and trans?forming the coordinate system included.By means of outlier elimination and data interpolation，the accuracy of predicting impact point is increased.Based on GPS simulation data of position of the projectile，predicting accuracy of several methods is compared and analyzed，such as polynomial fitting，F(xiàn)ourier fitting.Considering different needs for accuracy，the corresponding number of GPS data is defined，which provides reference for impact point prediction in engineering practice.

impact point prediction，GPS，trajectory equation，error anylasis

TJ410

10.3969/j.issn.1672-9730.2017.08.012

2017年2月17日，

2017年3月20日

陳金鑫，男，碩士研究生，研究方向：系統(tǒng)控制和彈道測(cè)量。