例析二項式定理的應用

杜和平

(江蘇省如皋市長江高級中學,江蘇 南通 226500)

例析二項式定理的應用

杜和平

(江蘇省如皋市長江高級中學,江蘇 南通 226500)

二項式定理是高中數學中一個重要內容，二項式定理應用非常廣泛.本文將給出二項式定理的幾個應用.

高中數學；二項式定理；利用

1.利用二項式定理求代數式的值

A.2 B.0 C.-1 D.-2

點評 多項式乘法的進位規則.在求系數過程中，盡量先化簡，降底數的運算級別，盡量化成加減運算，運算過程可以適當注意賦值法的運用，例如求常數項，可令x=0；求系數，可令x=1.在二項式的展開式中，要注意項的系數和二項式系數的區別.

2.利用二項式定理求二項式中相關元素

點評 求二項式中某些項的二項式系數、常數項及其它一些待確定的問題是二項式定理最基本的應用.

3.利用二項式定理求展開式各項系數和(差)

A.1 B.-1 C.0 D.2

4.利用二項式定理求展開式中某項的系數

例4 在(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展開式中，x2的系數等于____.

點評 對于和式求特定項的系數問題，一般是分別求出再合并給出結論.

5.利用二項式定理確定展開式的最大(小)項

例5 在(x-1)9按x降冪排列的展開式中，系數最大的項是( ).

A.第4項和第5項 B.第5項

C.第5項和第6項 D.第6項

解 根據二項式系數的性質，(x-1)9的展開展中的中間兩項即第5項和第6項的二項式系數相等，同時取得最大值.但考察項的系數時，第6項系數需乘以(-1)得負，而第5項的系數為正，因此只有第5項的系數最大，而第6項的系數最小，選B.

6.利用二項式定理證明不等式

(*)

點評 利用二項式定理的展開式，可以證明一些與自然數有關的不等式問題.題(1)中的換元法稱為均值換元(或對稱換元).這樣消去δ的奇數次項，從而使每一項均大于或等于零.題(2)中，由對稱位置二項式系數相等，把展開式倒過來寫，再與原來的展開式相加，這樣充分利用對稱性來解題的方法是解決二項式展開式的常用方法.

7.利用二項式定理進行近似計算

例7 根據下列要求的精確度，求1.025的近似值.

①精確到0.01;

②精確到0.001.

∴①當精確到0.01時，只要展開式的前三項和,1+0.10+0.004=1.104,近似值為1.10.

②當精確到0.001時，只要取展開式的前四項和，1+0.10+0.004+0.0008=1.10408,近似值為1.104.

點評 用二項式定理來求近似值，可以根據不同精確度來確定應該取到展開式的第幾項.

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準[M].北京：人民教育出版社，2003.

[責任編輯：楊惠民]

2017-05-01

杜和平(1979-),男,江蘇如皋人，中學一級，大學本科，從事高中數學教學.

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1008-0333(2017)19-0011-02