帶有奇異p-Laplacians算子的分數階差分方程邊值問題解的存在性

金元峰， 宋健楠， 李 霄， 侯成敏

( 延邊大學 理學院，吉林 延吉 133002 )

帶有奇異p-Laplacians算子的分數階差分方程邊值問題解的存在性

金元峰， 宋健楠， 李 霄， 侯成敏

( 延邊大學 理學院，吉林 延吉 133002 )

考慮離散分數階邊值問題

其中ν∈(0,1),a,b∈Z,0≤a0,m≥2為固定實數。f(·,u)∶[-d,d]N-d×R→R是關于第二個變量的連續函數且滿足Ambrosetti-Rabinorwitz條件。建立變分框架，利用臨界點定理，得到離散分數階邊值問題解的存在性結果。

分數階差分方程； 邊值問題； 臨界點定理； 存在性

0 引言

近年來，離散分數微積分引起廣泛關注，文獻多采用各種不動點定理研究離散分數階邊值問題[1-7]。少有文獻利用變分法處理離散分數階邊值問題。文獻[8]研究問題：

利用變分法給出該問題多重解的存在性。文獻[9]研究問題：

利用變分法和矩陣理論給出該問題的三解存在性。文中考慮問題：

(1)

1 預備知識

定義1[9]假設f∶Na→R,ν>0,那么f的ν階左分數和定義為

f的ν階左分數差分定義為

定義2[9]假設f∶bN→R,ν>0,那么f的ν階右分數和定義為

f的ν階右分數差分定義為

引理1[9]假設f∶Na→R,ν,μ>0,有

引理2[10]假設f∶bN→R,ν,μ>0,有

引理5[10]假設f∶Na→R,k∈N0,ν>0。對于t∈Na+M-μ+ν,有

此外，若μ>0,M-1<μ≤M,對于t∈Na+ν,有

引理6[11]假設f∶bN→R,k∈N0,ν>0，對于t∈b-νN,有

此外，若μ>0,M-1<μ≤M,對于t∈b-M+μ-νN,有

定理1[12](山路定理)假設E是一個實Banach空間，I∈C1(E,R)滿足(PS)條件。如果I(θ)=0且

(Ⅰ1)存在常數ρ,α>0使得I|?Bρ≥α,

2 主要結果

記g(t,x)=λ|x|m-2x-f(r,x),(r,x)∈[a,b]Na×R,

記K∶={u∈C[a,b]Na,‖bνu‖≤d,[bνu(t)]t=b+ν=[bνu(t)]t=a+ν-1=0}。顯然K是凸子集。

在C[a,b]Na上定義泛函I:C[a,b]Na→(-∞,+∞),

(2)

從條件[bνu(t)]t=b+ν=0知,u(b)=0。由引理6 有

由引理2有

因為

所以

且

|。

(3)

引理7 對f∈C,由式(2)定義的泛函I是下半連續的且是C1類泛函。如果u屬于I在K上的極小類，那么u是問題 (1) 的一個解。

證明 由定義1和2有

于是

(4)

則I是下半連續且屬于C1類泛函。

引理8 假設p≥1是一個實數，那么

(5)

并且存在常數α1,α2≥0使得

(6)

證明 如果p=1,那么

即式(5)成立。

即式 (5) 成立。

即式 (6) 式成立。

引理9 假設(AR)條件成立，那么泛函I滿足(PS)條件，即任意的(PS)序列都有收斂的子列。

(7)

又由于{un}是(PS)序列，所以當I(un)→c∈R時，有

取ω=un(r)±1，則利用中值定理知

(8)

(9)

由條件(AR)知，

(10)

且

(11)

由式 (5)、式(8)及‖bνun‖≤d知，存在常數c2,c3≥0，使得

(12)

由式(2)、式(8)和式(10)知，

(13)

由式(11-13) 知，對于任意的n≥n0,有

(14)

由式(13) 結合θ>m表明，

(15)

引理10 設(AR)條件成立且c∈R，則當|c|→∞有I(c)→-∞。

證明 (AR)條件蘊含存在r∈c,r>0,使得對于所有的r∈[a,b]Na和|x|≥x0有

(16)

成立。由式(16)可以推出

對于所有的r且|c|≥x0都成立，那么可在θ>m,r>0時推出結論。

引理11 假設F滿足對于任意的r∈[a,b]Na，

(17)

那么存在α,ρ>0，使得對于所有的u∈K∩?Bρ，其中?Bρ={u∈c∶‖u‖=ρ},有

(18)

證明 由式(17)知，存在常數b<λ和ρ>c使得，對于所有的r∈[a,b]Na和|x|≤ρ有

(19)

如果

(20)

成立，則由式(18)可以得出，對于所有的u∈K∩?Bρ有

因此可由式(20)推出式(18)。

定理2 假設(AR)條件成立。如果F滿足式(16)，那么問題 (1) 至少有一個非平凡解。

證明 由式(2)知，I是定義在實Banach空間C[a,b]Na上的泛函且I(θ)=0。根據定理1和引理9知，I∈C1(C[a,b]Na,R)且滿足(PS)條件。

再由引理10和引理11可知,I滿足定理1的條件(Ⅰ1)和(Ⅰ2)。根據定理1知,I有一個臨界值c滿足c≥α。該臨界值即為問題(1)的一個非平凡解。

3 結束語

主要研究一類帶有奇異p-Laplacian算子的離散分數階邊值問題。建立適當的Banach空間上的變分框架，利用臨界點定理獲得該問題的存在性結果，為研究帶奇異p-Laplacian算子的離散分數階邊值問題提供一種有效的方法。

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2017-02-24；編輯：任志平

國家自然科學基金項目(11161049,11361066)

金元峰(1976-)，男，博士，副教授，主要從事微分方程理論及其應用方面的研究。

侯成敏,E-mail: cmhou@foxmail.com

O175.7

A

2095-4107(2017)04-0116-07

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2017.04.013