基于特征矩陣相似性度量的形狀對應性分析

田 華，劉俁男，顧家瑩，陳 俏

(遼寧師范大學 計算機與信息技術學院，遼寧 大連 116081)

基于特征矩陣相似性度量的形狀對應性分析

田 華，劉俁男*，顧家瑩，陳 俏

(遼寧師范大學 計算機與信息技術學院，遼寧 大連 116081)

(*通信作者電子郵箱1074960976@qq.com)

針對快速、高效的三維模型形狀分析與匹配技術的迫切需求，提出了融合內蘊熱核特征與局部體積特征的三維模型對應形狀分析方法。首先，通過拉普拉斯映射以及熱核分布提取模型的內蘊形狀特征;其次，結合模型熱核特征的穩定性與局部空間體積的顯著性，建立特征匹配矩陣;最后,通過特征矩陣相似性度量及最短路徑搜索實現模型的配準與形狀匹配分析。實驗結果表明，融合熱核距離以及局部體積約束的形狀分析方法不僅有效地提高了模型匹配的效率，而且能夠有效地識別同一類模型的結構特征，可以應用于進一步實現多組模型的協同分割與模型檢索。

熱核特征；擴散距離；形狀對應；局部體積；特征矩陣

0 引言

隨著互聯網技術的飛速發展以及3D掃描、3D打印等計算機硬件技術的進步，三維模型的數據量與復雜度逐步提高，針對海量三維模型的形狀分析、模型檢索、模型壓縮、資源重組等應用研究日益廣泛，三維模型的形狀對應與匹配得到了越來越多學者們的關注。

目前常用的三維模型匹配方法有基于骨架的匹配方法[1-4]、基于點的收斂性匹配方法[5-9]、基于幾何距離優化的交互式3D模型匹配方法[10-12]、基于稀疏化模型的內蘊對應匹配分析[13-16]。文獻[2]提出Reeb模式進行模型局部配準方法，通過Reeb表和碟狀或環狀的拓撲結構進行圖形分割，然后結合參數優化建立簡潔有效的子區域結構描述符實現模型的形狀匹配。但這種方法易受模型表面變化的影響，只在處理同類模型數據和目標時有很強的穩定性。基于點收斂性匹配方法早期由文獻[5] 提出，其采用迭代最近點(Iterative Closest Point, ICP)算法使得兩個圖形中點的距離最??；在此基礎上文獻[6-9]又提出了優化匹配樣板，但都無法避免對于較大數據特別是在噪聲干擾情況下，耗時長、匹配過程易產生較大誤差的缺陷。文獻 [11]提出了一種截然不同的方法，通過擾動分析方法展示移除的模型部分對拉普拉斯-貝爾特拉米特征函數的改變，并利用它作為對應的頻譜，結合變量優化和函數加權的方法實現模型的對應。文獻 [12]通過稀疏化模型實現內蘊匹配是近年來的研究熱點，無需使用任何的特征描述符即能實現重復區域的查找檢測，即使是殘缺模型也適用此方法,但這種方法最大的缺點就是必須對模型進行統一有效的區域分割得到模型稀疏化表示。文獻[17]通過Mumford-Shah算法規范建立基于局部對應的描述符而非基于點對的特征描述符，提高了運行效率,但是這種方法必須要建立區域成對的局部描述符。

為了進一步提高三維模型匹配的效率和穩定性，揭示模型之間的內蘊結構對應性，本文提出了一種融合熱核與局部體積特征的三維模型相似性分析方法。通過提取模型的內蘊特征，即在頻譜域中提取熱核特征描述符，揭示模型的穩定形狀特征，進而結合模型表面局部體積特征的顯著性與區分性，建立特征矩陣。最終通過特征矩陣的相似性度量與最短路徑搜索，實現模型的相似性分析。通過實驗可知，本文方法不僅能夠高效地實現模型的對應性與相似性分析，而且可以揭示同類模型的統一結構特性，可以應用于三維模型的協同分割與檢索研究。

1 熱核

1.1 熱核特征

熱核來源于黎曼流形上的熱擴散理論，給定一個帶有邊界的緊致黎曼流形M，通過熱傳導方程來描述該流形上的某一區域隨時間推移熱量的變化，在數學上使用一個偏微分方程來表示。即：

ΔMu(x,t)=-?u(x,t)/?t

(1)

其中，ΔM為黎曼流形M的Laplace-Beltrami算子[18]。對于M有邊界的情況，應使得u滿足Dirichlet邊界條件，即對于流形M上所有點x以及所有時間t，均滿足u(x,t)=0。給定一個初始熱源f，熱傳導方程在時間t上的解可以通過熱算子Ht來得到，即為：

u(x,t)=Htf

(2)

對于任意流形M，存在函數kt(x,y)：R+×M×M→R使得：

u(x,t)=∫Mkt(x,y)f(y)dy

(3)

滿足式(3)的最小值kt(x,y)稱為熱核，它可以看作經過時間t后點x處單位熱量傳遞到點y的熱量的總和。熱核是熱傳導方程在適當邊界條件下某一區域內的基礎解，它也是數學物理中Laplace算子譜分析的重要工具,其特征分解形式如下：

(4)

其中:λM=[λ0,λ1,…,λi,…,λn]T是Laplace-Beltrami算子的特征值;φM=[φ0,φ1,…,φi,…,φn]T是對應的特征向量，并且滿足ΔMφi=λiφi。熱核函數kt(x,y)具有多種特性，與Laplace-Beltrami算子類似具有流形上的內蘊屬性，具有等距等容不變性、多尺度特性以及在噪聲微擾下具有穩定性。

Sun等[19]提出了熱核特征(Heat Kernel Signature, HKS)，拋棄了原有熱核的空間尺度變量，將熱核函數的變量限制在時域尺度內，并對時間尺度進行參數化采樣，可以得到模型上每個點的熱核特征表示：

(5)

熱核特征通過記錄經過一段時間后點x的熱量擴散到其他點來獲取模型上該點的鄰域內的幾何信息。顯然，時間t與擴散范圍有關，可以獲取模型多尺度的幾何屬性。某一t時刻不同姿態模型上的熱核值的分布情況如圖1所示。由圖1可知，在不同姿態的同類模型中熱核具有穩定的形狀描述能力，因此可以作為三維模型點的特征描述符。

圖1 在同一t時刻，不同人體姿態模型上的熱核分布

1.2 熱擴散距離

給定時間t，St(x,y)為頂點(x,y)之間的擴散距離。這個距離一方面反映了(x,y)之間局部的結構，更重要的是它從宏觀上給出了(x,y)之間的聯系，這個距離St(x,y)包括了所有連接(x,y)之間路徑的信息。 擴散距離的關鍵在于它是基于擴散圖上的多條路徑，因此相比測地距離，擴散距離對噪聲更具有魯棒性，尤其對于不同姿態的模型間具有極強的穩定性[17]。

(6)

其中：φ0是一個常量，φ1,φ2,…遞減趨向于零。這個映射將原數據集映射到一個高維的數據空間，而在此空間中的歐氏距離直接等于它的擴散距離， 這就為計算帶來很大的方便。

模型的熱擴散距離具有等距不變性且對于干擾具有穩定性，能夠很好地描述模型的內蘊結構特征。如圖2所示，針對不同姿態的人體模型，提取熱核特征，并依據擴散距離及K-means聚類方法實現模型的分割。由圖2可知，對于不同姿態的同類模型，可獲得統一的分割結果，具有突出的形狀穩定性與區分性。

圖2 基于擴散距離的模型分割(k=5)

2 基于特征矩陣度量的相似性分析

2.1 基于熱核特征度量矩陣

由于熱核具有等距不變性，能夠很好地描述模型的內蘊結構特征，本文引入熱核函數構造模型的特征矩陣， 兩個模型的相似性計算即轉換為兩個特征矩陣的相似性度量。

假設模型X和Y分別由熱核特征表示，特征向量集構成了一個完全正交基，所有的基部{φk}k≥1構成模型X，同理，所有的基部{φk}k≥1構成了模型Y。

這樣對任意的I:X→R與Q:Y→R，可以通過熱核基構造特征矩陣I、Q：

(7)

其中：I為m×k矩陣；Q為n×k矩陣；m、n分別為模型X和Y的頂點個數；k為所取的特征值個數。

常用的特征矩陣匹配方法是動態規劃(Dynamic Programming, DP)匹配，是一種用來計算兩個一維向量匹配距離的方法。它允許特征向量中的一個元素可以在給定的整合窗內選擇對應特征向量中具有最小元素距離的元素作為其匹配對象,而不僅僅限定在對應位置元素。

設定兩個一維特征向量Ia=(Ia0,Ia1,…,Iai)和Qb=(Qb0,Qb1,…,Qbj)，其元素匹配距離定義為：

d(Iai,Qbj)=|Iai-Qbj|/(Iai+Qbj)

(8)

后文將d(Iai,Qbj)簡寫記為d(i,j)，i=1,2,…,m，j=1,2,…,n。

特征向量Ia和Qb的m×n匹配距離計算矩陣如表1所示。

表1 m×n匹配距離計算矩陣

兩個模型可通過計算匹配矩陣、判別其每一行的最小值計算模型間的最優匹配對。

本文引入DP算法以及熱核特征矩陣，計算模型的匹配距離，即模型上的熱擴散距離。在每行中提取最小匹配距離，從而獲得模型間最優的匹配對。

然而，由于熱核特征無法有效地識別模型的局部細節特征，所以很難準確獲得模型的對應關系。因此，本文在矩陣匹配中引入了可視體積進行約束。

2.2 基于體積的特征矩陣相似性計算

空間體積特征通過衡量模型的內切球體積獲得模型的局部形狀描述，模型的局部空間體積對于模型的噪聲及姿態變化具有極強的魯棒性，而且能夠有效識別模型的組成結構，被廣泛應用于模型分割、檢索應用中[20-21]。因此，在內蘊特征匹配距離基礎之上，融合模型的局部體積特征約束，實現模型的匹配優化。

為了計算模型每個頂點的可視化體積，引入了高斯核函數來突出局部空間特征，首先以模型的內切球球心作為參考點，將參考點發出的射線進行去噪處理，保證射線分布的局部收斂性(如圖3(a)所示)。其次，通過計算射線與模型表面的距離lj獲得模型每個頂點的局部體積值Vi[20]。

(9)

其中：u是線段li的平均值；σ是標準差。

圖4為基于模型間的空間體積特征并結合K-means方法進行模型分割的結果，可見其對于不同姿態的模型具有更為穩定的描述性，能夠很好地識別模型的結構特征。

將每個頂點對應的體積作為權值約束Wi，結合匹配點對之間的匹配距離進行優化，得到模型間精確的匹配關系。

D(i,j)=αV(i,j)+βd(i,j)

(10)

其中：V(i,j)=V(i)-V(j)為兩個頂點(i,j)間的體積差異度；d(i,j)為兩個頂點間的擴散距離；α、β為權值系數。實驗中，設置α=0.58、β=0.42，實現體積特征與熱核特征的有效融合。

圖3 模型的體積特征計算[20]Fig. 3 Calculation of model volume signature[20]

圖4 基于體積特征的形狀分割

融合體積與熱核特征的匹配矩陣如圖5所示，可視為一個有向加權圖。從頂點D(i-1,j-1)、D(i-1,j)、D(i,j-1)到D(i,j)分別連接一條有向邊代表兩個頂點的距離差值，這三條有向邊的權值依次設定為W1、W2和W3， 從中選擇最小的權值邊作為匹配邊。這樣，兩個模型的匹配距離就是從D(1,1)到D(m,n)的一條最短路徑上所有元素距離的和，即兩個模型的匹配值。具體算法如下：

輸入 模型M1與M2；

輸出 匹配點對Π(xi,yj)以及模型的匹配值γ。

1)

建立模型M1與M2的鄰接圖表示：G1=(V1,E1)，G2=(V2,E2)。

2)

計算模型上點的熱核特征k(xi)|xi∈M1、k(yj)|yj∈M2，體積特征V(xi)、V(yj)。

3)

基于擴散距離計算特征匹配矩陣d。

4)

計算融合體積與熱核特征的匹配矩陣D。

5)

循環檢測，每行中最小距離點對Π(xi,yj)。

6)

輸出模型的最小匹配路徑，計算模型的匹配值γ。

熱擴散距離的計算中，對于每一個模型，計算300個特征值和特征向量，t的選擇在對數尺度時間區間[19]：tmin=4ln10/λ300,tmax=4ln10/λ2。

依據本文方法實現兩組不同姿態人體模型的對應性匹配，如圖6所示，其在不同姿態變化的模型上可實現精準的對應性分析，具有較強的穩定性。

圖5 融合體積與熱核特征的匹配矩陣

圖6 不同姿態模型的對應性分析

3 實驗結果及分析

算法實現平臺為Core(TM)i5- 3470 3.2GHzCPU，8GB內存的PC，并使用了VC++和OpenInventor圖形庫作為可視化開發環境。

表2 本文方法的執行效率分析

本方法首先建立三維模型的圖表示，令無向帶權圖G(V,E)表示三維模型M，eij∈E表示連接相鄰網格面片中心的邊，pi∈V、pj∈V分別表示相鄰網格面片的中心；進而利用圖表示與Dijkstra最短路徑算法，計算點對之間的測地線距離，構造模型的形狀相似矩陣A。其時間復雜度為O(nlogn)，n為圖表示中的頂點數目。利用形狀相似矩陣與譜圖分析方法，計算拉普拉斯算子，獲得模型的熱核特征，其算法時間主要取決于特征分解的時間，為O(n2)。

在求解模型的空間體積過程中，需要計算每個頂點的內切球，并計算射線與模型的交點，因此其計算時間為O(mn2), 其中m為發射的射線數目(m遠小于n)。 在模型匹配中，采取線性搜索方式，所以本文算法的總體實踐復雜度為O(n2)。 無論是點云模型、多邊形網格還是多虧格表示，都可使用現有的技術構建三角網格，進行圖的表示以及相似矩陣計算，所以本文方法具有廣泛的適用性。

實驗中，將本文方法與常用的ICP算法及TPS-RPM算法進行了形狀配準對比分析，如圖7所示。ICP算法是通過就近點之間的最小距離來約束模型的配準過程，其要求配準的模型具有極高的相似性，而對于非相似的模型會出現極大的誤差。同時，該方法只能實現剛性配準，對于具有不同姿態及局部形變的同類模型會產生巨大的差異。TPS-RPM算法通過優化薄板樣條的光滑參數實現模型譜特征的非剛性配準，這使得模型即使譜特征差別很大的情況下也能進行配準并進行相似性分析，但其對于非線性的特征提取有一定的局限性，而且需要退火算法，迭代時間的選取是個難點。而本文算法結合了熱擴散距離的穩定性與局部體特征的顯著性，有效揭示了模型的內蘊形狀特征，即使在模型表面形態出現很大偏差的情況下，如行走和下蹲的人體模型，均可實現模型的統一識別與形狀匹配，對于不同的四肢模型(虎、驢)也可有效地獲取局部匹配的特征點對。圖8及表2進一步驗證了本文方法的效率與精度。

圖7 不同方法的匹配分析

圖8 基于不同權值融合的形狀分割結果

實驗中，關于特征融合權值α、β的設置，針對不同的模型進行了多次驗證。使用不同設置獲得的形狀描述進行分割的結果如圖8所示。當熱核特征與體積特征設置比例約為5∶4，對于多數模型可獲得較好的形狀描述。

本文方法亦可應用于模型的自對稱性檢測， 如圖9所示，輸入模型M，通過分析模型本身的擴散距離以及局部體積約束，可有效識別具有相似形狀特征的對稱點，從而實現模型的內蘊自對稱檢測，可有效應用于模型的壓縮、檢索中。

圖9 模型的內蘊自對稱檢測

4 結語

本文提出了融合熱核特征與局部體積特征的三維模型對應分析方法，有效改進了頻譜分析中形狀匹配的穩定性與精度。通過引入模型內蘊結構特征以及空間體積的特征矩陣性相似性度量，有效地識別非剛性變形模型的形狀相似性，降低了噪聲和姿態對形狀匹配的影響。

本文方法突出了模型的內蘊形狀特征；同時，引入穩定的空間體積特征，突出了模型的幾何局部細節。本文方法在執行效率與匹配精度上相比較使用傳統ICP算法以及使用TPS-RPM算法形狀配準方法有了一定的提高與改善。而且，本文方法可以有效地分析模型的對稱特性，可以進一步應用于實現模型的簡化、壓縮、檢索、協同分析等。在接下來的工作中，將基于現有的研究進一步探索群組模型的稀疏化表示與協同分析方法。

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This work is partially supported by the National Natural Science Foundation of China (61202316), the Talent Support Program for Liaoning Higher Education Institutions (LJQ2013110).

TIAN Hua, born in 1970, M. S., experimentalist. Her research interests include computer assisted instruction, computer graphics.

LIU Yunan, born in 1990, M. S. candidate. His research interests include computer graphics.

GU Jiaying, born in 1996. Her research interests include computer graphics.

CHEN Qiao, born in 1996. Her research interests include computer graphics.

Shape correspondence analysis based on feature matrix similarity measure

TIAN Hua, LIU Yunan*, GU Jiaying, CHEN Qiao

(SchoolofComputerandInformationTechnology,LiaoningNormalUniversity,DalianLiaoning116081,China)

Aiming at the urgent requirement of rapid and efficient 3D model shape analysis and retrieval technology, a new method of 3D model shape correspondence analysis by combining the intrinsic heat kernel features and local volume features was proposed. Firstly, the intrinsic shape features of the model were extracted by using Laplacian Eigenmap and heat kernel signature. Then, the feature matching matrix was established by combining the stability of the model heat kernel feature and the significance of local space volume. Finally, the model registration and shape correspondence matching analysis was implemented through feature matrix similarity measurement and short path searching. The experimental results show that, the proposed shape correspondence analysis method with the combination of heat kernel distance and local volume constraint can not only effectively improve the efficiency of model shape matching, but also identify the structural features of the same class models. The proposed method can be applied to further realize the co-segmentation and shape retrieval of multigroup models.

heat kernel feature; diffusion distance; shape correspondence; local volume; feature matrix

2016- 11- 29;

2017- 01- 03。

國家自然科學基金項目(61202316)；遼寧省高等學校優秀人才支持項目(LJQ2013110)。

田華(1970—), 女, 遼寧鐵嶺人, 實驗師, 碩士, 主要研究方向: 計算機輔助教學、計算機圖形學; 劉俁男(1990—), 男，遼寧撫順人, 碩士研究生, 主要研究方向: 計算機圖形學; 顧家瑩(1996—), 女, 遼寧錦州人, 主要研究方向: 計算機圖形學; 陳俏(1996—), 女, 遼寧本溪人, 主要研究方向: 計算機圖形學。

1001- 9081(2017)06- 1763- 05

10.11772/j.issn.1001- 9081.2017.06.1763

TP

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