三種最值問題的實例

摘 要：數學是科學發展的基礎.在實際問題中，我們會遇到很多求函數的最大值和最小值的應用問題。本文將通過三種方式探討最值問題，通過實例方式分析。

關鍵詞：函數；最值；應用；舉例

1 無條件的最值問題

無條件的最值，我們可以利用函數的極值來求函數的最大值和最小值.如果函數在有界閉區域上連續，則函數必定在區域中取得最大值和最小值，且函數最大值點和最小值點必在函數的極值點或在區域的邊界點上.因此只需求出函數在各駐點和不可導點的函數值及在邊界上的最大值和最小值，然后加以比較即可.

例1 工匠要用木板做一個有蓋子的長方體木箱，木箱體積為2m3. 問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時， 才能使得用料最省.

于是，問題化為：求R的滿足這些不等式的最大值.

上述不等式把允許的解限制在Oxy空間中的一個多面體區域之內（如圖）.在平行平面10x+6y+4z=R中只有一部分平面和這個區域相交，隨著R增大，平面離原點越來越遠.顯然，R的最大值一定出現在這樣的平面上，這種平面正好經過允許值所在多面體區域的一個頂點，所求的解對應于R取最大值的那個頂點，計算結果列在下表中.

由圖可見，R的最大值是920元，相應的點是（50，50，30）所以A類50盒，B類50盒，C類30盒時收入最多.

參考文獻

[1]劉書田，葛振三.經濟數學基礎（一）微積分[M].北京.世界圖書出版公司；2002.

[2]吳贛昌.微積分下冊[M].北京.中國人民大學出版社2013.

作者簡介

王偉珠（1976-），女，黑龍江哈爾濱人，副教授，理學碩士，研究方向為應用數學。endprint