計算長度系數反推法在復雜結構中的應用

文｜中冶京誠工程技術有限公司 汪明；國內貿易工程設計研究院 崔芳；中國建筑設計院有限公司 伍敏

1.引 言

隨著人類社會的深入快速發展，人們在功能上和審美上均已不滿足于傳統的規則結構。近幾十年間，大量功能復雜、形狀不規則的公共建筑涌現在我們生活里。此類建筑結構形式靈活多變。在異型復雜結構的設計過程中，可參考的經驗性通用方法較少，對結構計算的準確度要求較高。

結構穩定計算是復雜結構設計過程中的重要部分。以經典力學和穩定理論為基礎的傳統計算長度系數法是工程領域中被廣泛應用和接受的一種方法。包括現行《鋼結構設計規范》在內的大量經典鋼結構設計文獻均推薦了該穩定計算方法。在穩定驗算中涉及兩個關鍵參數：計算長度系數（μ）和構件受壓穩定系數（φ），以考慮結構和構件的自身缺陷和二階效應對構件穩定承載力的影響?；诖罅肯嚓P試驗和理論的研究，在《鋼結構設計規范》（GB50017-2003）等文獻中給出了如框架柱（有側移框架和無側移框架）、排架柱等規則結構豎向構件的計算長度系數。但由于計算長度系數與構件邊界約束條件、相鄰結構剛度等諸多因素有關，因此對于大部分異型復雜結構，并不能通過主觀經驗性判斷或簡單計算而準確地確定構件計算長度系數。

本文將概要介紹一種以屈曲分析結果為基礎反推受壓或壓彎桿件計算長度系數的方法。并通過具體工程實例，介紹該方法在異型結構中的應用過程。另外，通過與直接分析法的計算結果進行比較，驗證該方法的準確性。

2.計算長度系數反推法概述

在不考慮材料塑性情況下，理想受壓桿件的屈曲臨界壓力可通過對桿件受力狀態微分方程求解得到。圖1所示是典型理想受壓桿件受力和變形簡圖。

圖1 理想受壓桿件簡圖

在幾何失穩狀態時（F=Fcr），桿件內任一截面處的彎矩滿足以下方程：

桿件翹曲線近似微分方程：

其中，E是彈性模量；I是截面轉動慣性矩。

通過式（1）和式（2）合并可建立微分方程，如下：

求解該微分方程，最終可得到歐拉臨界力：

另外，可確定桿件變形曲線為：

式中，n為桿件變形曲線半波數；A為桿件側向變形最大值。

將歐拉臨界力公式（式（4））變形得到下式：

L/n為桿件計算長度，即為變形曲線的半波長度。計算長度系數μ=1/n，則

對于邊界約束簡單的構件，可輕易確定變形半波長度，若兩端鉸接，則半波長度為L，即計算長度系數為1.0；若兩端剛接，則半波長度為0.5L，則計算長度系數為0.5。但對于實際結構中的大部分桿件，邊界約束情況復雜，無法輕易確定屈曲變形半波長度，即無法確定計算長度系數。

圖2 主結構三維軸測圖

圖3 主結構平面布置圖

圖4 短向剖面圖

然而，借助通用結構計算軟件可實現對復雜結構的屈曲分析，從而得到主要受力桿件的臨界壓力值，即得到式（7）中的Fcr，從而可間接計算得到計算長度系數μ。

圖5 有限元計算模型

3 工程應用

下文將介紹計算長度系數反推法在某異型結構中的應用。本工程為一座大型表演劇場，主體結構為64×80m的橢圓穹頂結構，結構形式如圖2-圖4所示。

該結構為橢圓穹頂結構，由五道環向桁架、18榀徑向桁架、4道屋面支撐、18根鋼柱組成。在豎向力作用下，該結構可實現水平力自平衡，即柱底產生的水平推力較小。

整個結構由膜材覆蓋。考屋面恒荷載為0.3kN/m2；雪荷載為0.5 kN/m2；吊掛荷載為0.3 kN/m2；基本風壓為0.45 kN/m2。

18根鋼柱截面為圓管520×18。底部與基礎剛接，頂部雙向分別與環桁架、徑向桁架連接。若采用《鋼結構設計規范》（GB50017-2003）進行鋼柱穩定承載力驗算，則首先應確定鋼柱的計算長度系數，但現有規范僅給出了如框架柱、排架柱等典型結構形式中柱子的計算長度計算方法。對于此類結構，并不能通過簡單判斷確定柱子計算長度系數。

下文將介紹計算長度系數反推法在本工程中的應用過程。采用有限元通用分析軟件ANSYS建立該結構模型，如圖5。

由于該分析目的為確定鋼柱計算長度系數，為了避免其它構件屈曲模態對結果的影響，在計算模型中僅在所有鋼柱頂部施加1kN豎向作用力。在該基本荷載條件下，進行線性屈曲分析，得到結構屈曲特征荷載如表1。第一屈曲模態見圖6。

由于舞臺區鋼柱間無法設置環梁，因此，此區域內鋼柱剛度較弱。從第一屈曲模態看，可見舞臺區鋼柱先發生屈曲，所對應屈曲臨界荷載為5839kN。

根據計算長度系數反推公式：

因此，舞臺區鋼柱計算長度系數可取0.713，由于其它區域鋼柱臨界荷載略高，理論上其計算長度系數應略小于0.713。

4 通過直接分析法驗證

根據《鋼結構設計規范》（GB50017-2003）中受壓桿件的驗算方法，該鋼柱軸心受壓承載力設計值為：

按照上文得到的計算長度系數為0.713考慮，該柱子長細比為：

表1 前3階屈曲特征值

查《鋼結構設計規范》（GB50017-2003）附錄C（按a類截面，考慮鋼號折減），得到穩定系數，因此，鋼柱受壓承載力設計值為：

為了驗算上述方法的準確性，下文將采用計算精度更高的直接分析法進行驗證。與傳統計算方法不同，采用直接分析法的計算模型需考慮結構和構件的初始缺陷。

按照柱子高度1/250考慮整體結構初始缺陷，缺陷形態為第一階屈曲模態，考慮整體缺陷后的結構模型如圖7。

圖6 第一階屈曲模態

圖7 考慮結構整體缺陷后的模型（已放大20倍呈現）

圖8 考慮構件缺陷后的模型（已放大20倍呈現）

柱子自身缺陷按照高度1/400考慮，缺陷形態為正弦半波曲線，考慮構件初始缺陷后的結構模型如圖8。

綜合考慮上述兩種不同缺陷，重新建立有限元模型，同樣僅在所有鋼柱柱頭施加豎向荷載，采用弧長法進行非線性計算（同時考慮材料非線性和幾何非線性），得到柱頭節點豎向位移和作用力（設計值）之間的歷程關系曲線，如圖9。

圖9 直接分析法荷載位移歷程曲線

圖9曲線表明通過直接分析法得到鋼柱的最大豎向承載力設計值F2為4196kN，略高于計算長度系數反推法得到的柱子承載力設計值F1，誤差率γ為：

上述對比結果表明：通過屈曲臨界荷載反推得到計算長度系數，并將該系數應用于傳統一階彈性穩定計算法中得到的柱子受壓承載力設計值基本與采用直接分析法計算得到的受壓承載力設計值相符。

5 結論

本文闡述了一種基于線性屈曲臨界荷載反推受壓桿件計算長度系數的方法。并通過工程實際，介紹了該方法在異型復雜結構中的應用。另外，通過與直接分析法進行比較，驗證了該方法的準確性。此方法對計算異型結構中邊界約束情況較復雜的受壓桿件的計算長度系數具有指導意義。