分數阻值的電阻化簡問題*

陳 胤

(南京市第十八中學 江蘇 南京 210022)

分數阻值的電阻化簡問題*

陳 胤

(南京市第十八中學 江蘇 南京 210022)

電阻 化簡 定量分析 電學

1 引言

問題來源于這樣的習題：電阻R=10 Ω，現有5 Ω的電阻若干：

(1)怎樣才能使電路中的電流增大到原來的兩倍？

(2)怎樣才能使電路中的電流縮小到原來的0.5倍？

mn個電阻組成一個mn方陣，如圖1所示．

圖1 mn方陣

這個方陣中用的電阻有mn個之多，顯然太多了，我們希望使用的電阻當然是越少越好．但是，怎樣去化簡呢？

2 問題討論

這個引理的證明非常簡單，方法見引言，此處略過．但是卻是我們化簡的基礎，它告訴我們，在我們組成的mm電阻方陣中，就可以被一個電阻替代．

3 化簡方法

如果m>1，在這個mn方陣中一定有mm方陣，它有多少個呢？

由于

mn=k1mm+q1m (1≤q1

(1)

所以這之中的有k1個mm方陣，它們可由k1電阻替代，如圖2所示.

圖2 k1個mn方陣，可由k1個電阻替代

在剩余下的q1m的電阻方陣中，又有

q1m=k2q1q1+q2q1(1≤q2

(2)

這之中的有k2個q1q1方陣，它們可由k2電個阻替代，如圖3所示.

圖3 k2個q1q2方陣，可由k2個電阻替代

反復(1)和(2)的步驟，最后

qjqj-1=kj+1qjqj+qj+1×qj=kj+1qjqj

(qj=1,qj+1=0)

(3)

實際上只剩下kj+1個電阻，注意到qj=1，是整個簡化過程結束的標志．

我們將簡化的過程歸納為：逢方歸一，橫向并接，縱向串接，遇一結束．

我們來看一個例子．

圖4 4×15的電阻方陣

現在我們來化簡，請看

(1)首先在圖4左邊可以得到3個4×4的電阻方陣，可以簡化成3個橫向的電阻，如圖5所示．

圖5 圖4左邊3個4×4電阻方陣，可簡化為3個橫向電阻

(2)右上角又可以得到1個3×3的電阻方陣，再簡化成1個縱向的電阻，最后右下角是1個1×3的方陣，不可以簡化了，就放3個橫向的電阻，按照橫向并接，縱向串接，簡化后的結果連接起來，如圖6所示.總共用了7個電阻.

圖6 簡化結果

4 討論

(1)說明：從式(1)～(3)可以得到

n=k1m+q1(1≤q1≤m)

(1′)

m=k2q1+q2(1≤q2≤q1)

(2′)

…………

qj-1=kj+1qj+qj+1=kj+1qj+0

(qj=1，qj+1=0)

(3′)

式(1′)、(2′)…及 (3′)實際上就是求m和n的最大公約數(m，n)的輾轉相除法，因為(m，n)=1，所以qj=1．

(2)設在前面分數電阻化簡的整個過程中，我們最后一共用了k個電阻，按照我們前面的闡述有

k=k1+k2+…+kj+1

(4)

而從式(1′)得到

n=k1m+q1≥k1m+1≥k1+m

從式(2′)…(3′)可以得到類推得到

m≥k2+q1

q1≥k3+q2

…………

根據式(4)，所以有

n≥k1+k2+…+kj+1

(5)

(4)當m和n不互素，即(m，n)=d>1時，可以先約分至互素，再用上面的方法． 還可以先按照上面的方法做，到出現 下式的時候結束．兩種方法結果完全相同．

qjqj-1=kj+1qjqj+qj+1×qj=

kj+1qjqj=kj+1dd

qj+1=0

5 結束語

初中物理中的一些問題，如果深究下去，其實是很有意思．探究的同時，也能提高物理教師本身的素質．

Highlights:Given mn value of resistance of 1, it can form a resistor whose value is a fractional resistance--n/m. This essay gives a method to simplify it using the least number of resistors but the resistance is still the same.

TheResistanceReductionIssueofFractionalResistance

ChenYin

(No.18HighSchoolNanjing,Nanjing,Jiangsu210022)

electric resistance;simplify;quantitative analysis;electrics

*系南京市教育科學“十二五”規劃2015年度課題“中學物理課程資源開發與學生科學探究能力培養研究”，中國教育學會物理教學專業委員會2013-2016年全國物理教育科研重點課題“中學物理實驗研究”之階段性研究成果．

2017-02-22)