遞推式與應用

劉許勝

摘 要：通過幾例典型例題說明數列遞推式在應用問題方面的表現特點和解決方法，指出這類問題對鍛煉學生思維能力所起的作用。

關鍵詞：遞推式；應用問題；思維能力

遞推式是一類廣泛而復雜的問題，特點是：邏輯嚴謹，推理性強，解法靈活開放，有利于思維的發散性與個性品質的培養，主要是轉化為：等差數列與等比數列求解。

應用問題是數學知識作用于實際的數學問題，是高考和競賽中的熱點，其特點是：內容廣泛，對信息收集、語言轉換和數據處理能力要求高，是應用意識與能力培養的素質教育的一個主要

方面。

應用問題與遞推式結合既可把數學運用于實踐，又可以在實踐中發展能力，因此在教學中有意識地從這兩個方面去培養學生的能力是有益的。下面從幾個方面舉例說明。

1.排序問題

【例1】將1元和2元的兩種硬幣共n元排成一排，總共有多少種不同的排法？

解：設排法總數為xn，則x1=1，x2=2，把xn種排法分成兩類：

①頭一張是1元的排法數就是xn-1；

②頭一張是2元的排法應是xn-2。

于是xn=xn-1+xn-2 （n=3，4，5，…）

下面用待定系數求求通項xn。

引入參數m設：xn+mxn-1=（m+1）xn-1+xn-2

即xn+mxn-1=（m+1）（xn-1+■xn-2）

令m=■，則m=■，于是

xn-■xn-1=■（xn-1-■xn-2）①

xn-■xn-1=■（xn-1-■xn-2）②

由①式知數列xn-■xn-1是首項為x2-■x1=■，公比為q1=■的等比數列，

所以有xn-■xn-1=■（■）n-2=（■）n③

由②式知數列xn-■xn-1是首項為x2-■x1=■，公比為q1=■的等比數列，

所以有xn-■xn-1=■（■）n-2=（■）n④

由③④消去xn-1，即得

xn=■（■）n-（■）n

注：這是斐波拉契數列的遞推式，可轉化為等比數列求通項。

2.化學問題

【例2】容器中有濃度為m%的溶液a升，現從中倒出b升后用水加滿，再倒出b升后用水加滿，這樣進行了10次后溶液的濃度是多少？

解：容易計算每次操作后濃度減少了■，

∴第一次操作后濃度為a1=（1-■）·m%，設第n次操作后濃度為an，

則有an+1=an·（1-■），于是an是首項為a1=（1-■）·m%，公比為q=1-■的等比數列，即an=（1-■）n·m%，

∴a10=（1-■）10·m%

注：這是數學在化學中的應用。

3.涂色問題

【例3】把一塊圓形木板分成n（n≥2）個扇形：S1，S2，…，Sn，在每一塊木板上涂色，可用紅、黃、綠三種顏色之一涂，要求相鄰扇形顏色不同，問一共有多少種涂法？

解：設n（n≥2）個扇形的涂法數為an（n≥2），

當n=2時，S1有3種涂法，S2有兩種涂法，∴a2=3×2=6。

當n>2時，S1有3種涂法，S2，S3，S4，…，Sn-1，Sn各有兩種涂法，共有3×2n-1種涂法，其中Sn與S1同色時有an-1種涂法，∴an=3×2n-1-an-1，（n≥2），

上式即■=■-■·■

即■-1=-■（■-1），

得數列■-1是以首項為■-1=■，公比為q=-■的等比數列，

所以■-1=■，

即an=2n1+■=22n-1+（-1）n，

即當n>2時，一共有22n-1+（-1）n種涂色方法。

注：染色問題通常會涉及排列與組合知識，是數學競賽中的常見問題。

4.概率問題

【例4】A、B兩人各拿兩顆骰子玩拋擲游戲，規則是：若拋出的點數之和為3的倍數，則繼續拋；若不是3的倍數，則由對方拋。先由A開始拋，第n次由A拋的概率為Pn，求Pn？

解：拋兩顆骰子出現的點數和為3的倍數的情況有：（1，2），（2，1），（3，3），（3，6），（6，3），（6，6），（2，4），（4，2），（4，5），（5，4），（1，5），（5，1）共12種可能，第n+1次由A拋這一事件，包含兩類：

①第n次由A拋，第n+1次繼續由A拋，概率為：■Pn

②第n次由B拋，第n+1次由A拋，概率為：（1-■）（1-Pn）

從而有Pn+1=■Pn+（1-■）（1-Pn）

即Pn+1=-■Pn+■，（其中P1=1）

即Pn+1-■=-■（Pn-■）

于是Pn-■=（P1-■）·（-■）n-1，

即Pn=■+■（-■）n-1。

注：概率問題是博弈論中的中心問題，也是大數據中經常用到的方法。

5.幾何問題

【例5】觀察下面的圖形有規律：圖（1）是一個正三角形（邊長為1）；圖（2）是在圖（1）的各邊中央■處向外長出一個正三角形，形成了六角形星形；圖（3）是在圖（2）的每一小邊的中央■處又向外長出一更小的正三角形；如此繼續下去……

①求第10個幾何圖形的周長L10；

②求第10個圖形的面積S10。

解：設第n圖形的邊數為cn，邊長為dn，則由后面一個圖形的邊長是前面的圖形的邊長的■，每條邊增加到四條邊可知；

cn=4cn-1，又c1=3，∴cn=3×4n-1

dn=■dn-1，又d1=1，∴dn=（■）n-1，于是

①第n個圖形的周長為Ln=Ln-1+Cn-1×dn

即Ln=Ln-1+3×4n-2×（■）n-1

∴Ln=Ln-1+■×（■）n-1

用累加法可得Ln=■+3×（■）n-2

∴L10=■+3×（■）10-2=■+3×（■）8

②第n個圖形的面積Sn=Sn-1+cn-1×■×（dn）2

即Sn=Sn-1+3×4n-2×■×（■）2n-2

即Sn=Sn-1+■×（■）n

用累加法可得Sn=■+■×1-（■）n-1

S10=■+■×1-（■）10-1=■+■×1-（■）9

注：本題由一道全國競賽題改編而成。

遞推式與應用問題包含的內容相當廣泛。如：分期付款、旅游開發、環境保護、城鎮規劃、機構改革等等，甚至在其他學科（物理、化學、生物、體育等）中都存在。此類問題有其廣度和創新度，是一類鍛煉思維能力的好題型。

參考文獻；

[1] 林曉艷.二階超線性差分方程的有界振動[J].應用數學，2001（S1）.

[2]楊忠鵬，陳梅香，林國欽.關于三冪等矩陣的秩特征的研究[J].數學研究，2008（3）.

編輯 張珍珍