實例分析正、余弦定理判斷三角形形狀

張志明

摘 要：主要通過例題來探討如何用正、余弦定理判斷三角形形狀。基本思路是將過角化為“純邊”或化為“純角”問題。

關鍵詞：正弦定理；余弦定理；三角形形狀

三角形的各種不同形態有銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形、等腰三角形、等邊三角形等，判斷三角形形狀特征，必須深入研究邊與邊的等式關系：三邊是否滿足勾股定理？兩邊還是三邊是否相等？還要研究角與角的大小關系：兩角還是三角是否相等？是否有直角或者鈍角？判斷三角形形狀的基本思路是通過變形將邊角關系化為“純邊”或化為“純角”的等式。然后利用邊邊關系，或角角關系，求出大小或者找出對應關系，從而作出正確

判斷。

為了更方便地觀察判斷三角形的形狀問題，從以下例題入手進行分析。

例1：在△ABC中，若■=■=■，則△ABC是什么三角形？

解析：等式中既有角又有邊，化為“純邊”或化為“純角”。觀察發現化為“純角”，可以得出角的大小，可以確定△ABC的形狀。

解：由a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC。且■=■=■。

可以得到■=■=■，1=■=■=■

從而tanB=tanC=1，B=C=45°，A=180°-（B+C）=90°

所以△ABC為等腰直角三角形。

例2：在△ABC中，若sinA=2sinBcosC，sin2A=sin2B+sin2C，試判斷△ABC的形狀。

解析：對于等式中既有角又有邊，基本思路化為“純邊”或化為“純角”。觀察sin2A=sin2B+sin2C中有平方，從正弦定理入手化成“純邊”。

解：由正弦定理sin2A=sin2B+sin2C，可得a2=b2+c2，從而△ABC為直角三角形，A=90°。故B+C=90°，則B=90°-C，sinB=cosC。

又sinA=2sinBcosC可得1=2sin2B，sinB=■，B=45°。故C=45°。

故△ABC為等腰直角三角形。

例3：在△ABC中，已知■=■，試判斷△ABC的形狀。

解析：題目中有正切，利用正切的定義轉化為正弦、余弦，然后化為“純邊”或化為“純角”。

解：法1：由題意得■=■，整理得sinAcosA=sinBcosB。即sin2A=sin2B。

又A、B為△ABC的內角∴2A+2B=π或2A=2B

∴A=B或A+B=■，∴△ABC的形狀為等腰三角形或直角三角形。

法2：■=■，由余弦定理得■=■。

整理得（a2-b2）（a2+b2-c2）=0∴a2=b2或a2+b2=c2∴a=b或a2+b2=c2

從而可以得出△ABC為等腰三角形或直角三角形

例4：在△ABC中，已知（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，試判斷△ABC的形狀。

解析：對于觀察條件（a+b+c）（b+c-a）=3bc，會出現b2，c2，a2，bc，所以從余弦定理入手求出角A，對于條件sinA=2sinBcosC，既有正弦又有余弦，從三角函數入手也可以轉化為“純邊”。

解：∵（a+b+c）（b+c-a）=3bc，∴{（b+c）+a}{（b+c）-a}=3bc，

（b+c）2-a2=3bc，b2+c2-a2=bc，cosA=■=■=■，A=■

方法一：sinA=2sinBcosC，

sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，

sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，

又B，C為△ABC的內角。

故B=C，又A=■，A+B+C=π，所以B=C=■。

故△ABC為等邊三角形。

方法二：sinA=2sinBcosC，由正弦、余弦定理將其化成“純邊”

a=b·■，化簡得a2=a2+b2-c2，b2=c2，b=c。故B=C。

又A=■，故A=B=C=■。

故△ABC為等邊三角形。

高中常見基本思路是利用三角形正、余弦定理將等式化成“純邊”或“純角”，從而求出具體邊角關系來進行判斷。在解決問題時，常要結合三角公式進行化簡，有時還要用到三角函數的有關性質。

參考文獻：

[1]唐益才，孫令華.鼎尖教案數學必修五[M].吉林：延安教育出版社，2015.

[2]堯林華.新課程新練習數學必修五[M].江西：二十一世紀出版社集團，2009.

編輯 張珍珍