淺談函數(shù)思想在解不等式中的應(yīng)用

陳燕

摘 要：研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)經(jīng)常要用到許多數(shù)學(xué)思想方法，函數(shù)思想被滲透到教學(xué)和解題的各個(gè)方面。函數(shù)思想其實(shí)就是在解題中構(gòu)造常用函數(shù)，從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題。在解不等式的相關(guān)問(wèn)題時(shí)利用函數(shù)可以找到解決問(wèn)題的突破口，某些不等式?jīng)]有現(xiàn)成的解法時(shí)，需要構(gòu)造合適的函數(shù)，通過(guò)觀察求出不等式的解。

關(guān)鍵詞：函數(shù)思想；不等式；圖象

一、函數(shù)思想在解一元一次不等式中的應(yīng)用

例題1：解一元一次不等式2x-1>0

思路一：利用傳統(tǒng)方法，根據(jù)不等式的性質(zhì)將系數(shù)化成1，

可得x>■。

如果利用函數(shù)的思想如何看待這個(gè)問(wèn)題呢？

思路二：將2x-1看成關(guān)于x的一次函數(shù)y=2x-1。這樣上面的問(wèn)題可以理解為，當(dāng)自變量取什么值的時(shí)候，保證因變量的值大于0。借助一次函數(shù)的圖像，由圖形直接觀察得到原不等式的解集。如下圖所示：

由圖1可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)自變量x>0.5時(shí)，函數(shù)圖像位于x軸的上方對(duì)應(yīng)的y>0；

當(dāng)自變量x<0.5時(shí)，函數(shù)圖像位于x軸的上方對(duì)應(yīng)的y<0。

也就是說(shuō)當(dāng)x>0.5時(shí)，2x-1>0。則原不等式的解集為x>0.5

因此對(duì)于只含有一個(gè)未知數(shù)x的不等式都可以轉(zhuǎn)化成形如

f（x）>0或f（x）<0的不等式，左邊關(guān)于x的式子，可以看成以x為自變量的函數(shù)。

二、函數(shù)思想在解一元二次不等式中的應(yīng)用

求解一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0）時(shí)，將左式看成是一個(gè)關(guān)于x的函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），這個(gè)不等式相當(dāng)于在問(wèn)，當(dāng)自變量取何值時(shí)有對(duì)應(yīng)的y>0。做出二次函數(shù)的圖像進(jìn)行觀察，位于x軸上方的圖像滿足y>0，圖形對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍就是該不等式的解。

例題2：解不等式2x2+3x-2>0

分析：先畫(huà)出這個(gè)不等式對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像如下：

由圖像觀察可知，當(dāng)x>0.5或者x<-2時(shí)，函數(shù)圖像位于x軸的上方，對(duì)應(yīng)的y>0也就是2x2+3x-2>0。

因此2x2+3x-2>0的解為：x>0.5或者x<-2。

這些是我們常見(jiàn)的不等式，下面看看其他不等式的求解過(guò)程。

三、函數(shù)思想在其他不等式中的應(yīng)用

例題3：解不等式ex>x+1。

分析：將不等式化成標(biāo)準(zhǔn)形式ex-x-1>0，這個(gè)不等式不是常見(jiàn)不等式，沒(méi)有具體的解法，也沒(méi)有現(xiàn)成的公式可以套答案，現(xiàn)在用函數(shù)的思想解不等式。將左式設(shè)成一個(gè)新的函數(shù)f（x）=ex-x-1，畫(huà)出函數(shù)的圖像，觀察哪部分函數(shù)的圖像位于x軸的上方，對(duì)應(yīng)哪一部分的自變量。按照這個(gè)思路對(duì)f（x）=ex-x-1先找出對(duì)應(yīng)的圖像，但是這個(gè)函數(shù)不是我們接觸過(guò)的初等函數(shù)，畫(huà)圖難度較大，方法不可行。

如果不變形，還是利用函數(shù)的觀點(diǎn)如何理解這個(gè)不等式呢？

可以將不等式ex>x+1，左右兩邊看成兩個(gè)函數(shù)f（x）和g（x），這個(gè)不等式的解可以理解為當(dāng)自變量滿足什么條件時(shí)，可以保證左邊的函數(shù)值大于右邊的函數(shù)值。

從圖3觀察中可得，當(dāng)x>0，f（x）位于g（x）的上方，對(duì)應(yīng)的

f（x）>g（x），即ex>x+1。

則不等式ex>x+1的解集為x>0。

因此，在求解與不等式有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，借助函數(shù)的思想數(shù)形結(jié)合，可以迅速得到問(wèn)題的解。解不等式的關(guān)鍵是根據(jù)題目的環(huán)境進(jìn)行合適的變形，構(gòu)造出常見(jiàn)的函數(shù)模型，通過(guò)圖形求出不等式的解集。

參考文獻(xiàn)：

[1]張中壇.淺談不等式的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)習(xí)研究），2017，126（3）：35.

[2]徐明亮.關(guān)于不等式證明的兩種方法[J].中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)習(xí)研究），2017，126（3）：36.

[3]侯有岐.函數(shù)不等式的證明技巧[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2017，377（5）：15-17.

[4]王劍.例談構(gòu)造法解導(dǎo)數(shù)與不等式問(wèn)題[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2017，557（5）：16-17.

編輯 謝尾合