淺談求二面角通法

李偉

摘 要：立體幾何是中學數學教學的重要內容，也是高考中的必考內容。求二面角作為立體幾何的一個難點，也是高考中常考的題型。傳統的求二面角的方法既抽象又計算量大，特別是作輔助線，要求空間想象能力很強。因此，找出求二面角的通法也就成了迫切需要解決的問題。

關鍵詞：二面角；法向量；共面

求二面角是立體幾何的一個難點，也是高考中常見的題型，傳統方法過于抽象，空間向量的引入巧妙地把空間問題數字化。利用空間向量求二面角大小，教材上也介紹了一些方法，然而當二面角的大小不容易分辨是鈍角還是銳角時就難以取舍了，下面介紹兩種求二面角的通法。

一、利用公共棱法向量的夾角求二面角

當二面角公共棱明顯時，如圖，AB，CD是二面角α-l-β的兩個面內與棱l垂直的直線，則二面角的夾角大小θ=<■■>，將二面角的大小轉化為公共棱法向量的夾角。

例1（2011年高考新課標改編）

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD，若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

解：如圖，以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，不妨設AD=1，則：D（0，0，0） A（1，0，0） B（0，■，0） C（-1，■，0） P（0，0，1）

過A作AM⊥PB，交PB于M；過C作CN⊥PB，交PB于N

設M（x，y，z）

∵M點在PB上，∴■=λ■

（x，y，z-1）=λ（0，■，-1）

x=0y=■z=1-λλ

又AM⊥PB所以■·■=0

解之得x=0y=■z=■，所以M（0，■，■）

同理可得N（0，■，0）

∴■=（1，-■，-■），

■=（-1，0，0）

cos<■，■>=■=-■

所以二面角A-PB-C的余弦值為-■。

二、利用空間法向量的夾角求二面角

當二面角公共棱不明顯時，如圖，■，■分別是二面角α-l-β 的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的夾角θ=π-<■，■>，將二面角的大小轉化為平面法向量的夾角的補角。

例2（2011年高考新課標改編）

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD，若PD=AD，求二面角 BC-P-AD的大小。

解：如圖，以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，不妨設

AD=1，則：D（0，0，0） A（1，0，0） B（0，■，0） C（-1，■，0） P（0，0，1）

過D作DM⊥面PBC交面PBC于M

過B作BN⊥面PAD交面PAD于N

設M（x，y，z）

∵M點在面PBC上

∴■=λ■+μ■

（x，y，z-1）=λ（0，■，-1）+μ（-1，■，-1）

x=-μy=■（λ+μ）z=1-λ-μ

又DM⊥PB，DM⊥PC

■·■=0■·■=0，解之得x=0y=■z=■

∴M（0，■，■）

同理可求得N（0，0，0）

cos<■，■>=■=-■

所以二面角BC-P-AD的大小為60°

編輯 謝尾合