數學無窮思想的發展歷程

楊丹丹

摘 要：數學與生活有著密切的聯系，個體在進入小學階段之前就已經不同程度地與數學開始打交道，逐漸從阿拉伯數字入手開始走進數學世界，解開數學面紗。到目前為止，我們對數學的了解已經到了一定的程度，對數學知識的認識也有了一定的積淀。這就使得我們對數學產生了更大的好奇心——數學知識是如何產生以及如何發展的呢？

關鍵詞：無理數；集合理論；康托爾

一、古代無窮的觀念

在古典數學思想中，將“集”進行了界定與劃分，即將數集劃分為有限集和無限集。對于有限集來說，“集”中的元素是有限的，如{1，2，3，4，5，6，7}就表示這個集中共有7個元素，而除了這7個元素之外再無其他元素。對于無限集來說{1，2，3，4，5，6，7}所表示的是這個集中的元素是無限的，除了這7個已經表示出來的元素之外還有無數個其他元素，對于這樣的無窮集合來說，伽利略曾經提出了這樣一個令自己和他人都困惑不解的問題：顯然人們是無法知道確切元素個數的。但同時人們又承認：自然數的平方依舊是自然數，如22=4；42=16，而這種由自然數平方而形成的集合應該是自然數集的一個真子集，按照這個推理，自然數集中的元素應該比自然數平方集中的元素更多，因為真子集應該包含在子集之中。然而從另外一個角度來看，無論是自然數還是自然數的平方都應該是無窮盡的，無限的，因此這兩個集合中的元素應該是相同的或者根本無法進行比較的。對于這一問題使包括伽利略在內的同時代數學家、科學家都感到迷茫，一直停留在這個自相矛盾的漩渦中。

二、分說

所謂“二分說”是指當物體由A地到B地時，按照數學的邏輯是永遠無法達到的。因為要想從A到達B就必須通過其路程的■，而要想通過這段路程的■，就需要先通過這■的■，也就是整個路程的■。要想通過整段路程的■，就要先通過其■……按照這樣的推理將永無止境。因此芝諾得出，該物體是永遠無法達到終點的，因為他始終被道路的無限分割所阻礙著。當然這顯然與我們的日常生活相違背，由于和無限問題聯系過于密切，以至于古希臘數學家們對數學的無窮而敬而遠之了，并將“無限”拒絕于自己的推理之外了。

在我國古代也有很多對“無窮”的思考，如“學無止境”“學海無涯”“一尺之錘，日取其半”等也都體現著這一觀念。

三、無窮集合論的建立

1.集合理論的早期嘗試

康托爾并非唯一一個對數學無窮思想進行研究的科學家，波爾查諾也對數學集合理論進行了探索。對于波爾查諾來說，他認為實無窮集合是存在的，同時也認為這兩個集合是等價的。而這與“兩個幾個元素之間的一一對應”是一致的。波爾查諾提出的這一無窮思想不僅適用于無限集合，更適用于無窮集合。他通過數學公式來證明了無窮集合的一部分或子集等價于整體這一觀點：0-5之間的實數通過公式y=■，能夠與0-12之間的實數形成對應關系，盡管第二個集合包含著0-5實數的集合，但這也使得無窮集合中元素個數的比較提供了一定的依據。

2.康托爾集合論思想

數學家最喜歡研究的集合是自然數集，因此康托爾就用這樣的數集來證明他的等價或勢的觀念。為此，他提出了“可數”這一概念，對于所有能與自然數集合形成一一對應關系的集合都視為可數或可列集合，同時是最小的無窮集合。

起初，康托爾證實了所有有理數集合都是可數的。這與人們的直覺有很大的差異，因為有理數給人的直覺感受是“稠密”的，也就是說任何兩個有理數之間都有其他的有理數存在，而正整數卻并不如此。對于這個問題，康托爾一共給出了多個證明，其中一個是目前普遍采用的：

將所有正有理數進行排列，第一行將以1為分母的正分數按照從大到小的順序進行排列；第二行將以2為分母的正分數按照從大到小的順序進行排列；第三行將以3為分母的正分數按照從大到小的順序進行排列......按照這樣的次序進行排列，就可以使所有的正有理數都包括在內，但值得注意的是，這些有理數中會有一個部分是重復出現的，如■，■，■等等。

現在我們從■開始，按照1對應■，2對應■，3對應■，4對應■……進行排列，使得每一個有理數都在某一步對應著一個固定的自然數。因此，上文中所列出的有理數集合與自然數集合就形成了一一對應的關系，再將重復的數字去掉，那么這個有理數集依舊是一個無窮集合，因此也一定是可數的，因為可數集合就是最小的無窮集合。這個推論就使我們意識到直覺是不應該輕易相信的。

依照上述推論還可以延伸出以下結論：如自然數與其平方數是一樣多的，偶數與自然數是一樣多的，負數與整數是一樣多

的……因為它們都是可數的。不僅如此，康托爾還證明了所有可以成為代數方程解的數所構成的集合也是可數的。當得出上述推論以后，康托爾開始進行這樣的設想：在自然數與實數之外是否還存在更大的無窮集合。

康托爾的集合論是人類對于集合研究的一個新的里程碑，他認為，數學理論的推進首先應該肯定無窮的存在，但卻不能將“無限”與“無窮”相混淆，同時他還提出，雖然人類的認知有限，但有限的認知卻可以面對無窮。

參考文獻：

[1][美]喬治·波利亞.數學的發現[M].劉景麟，曹之，譯.科學出版社，2006.

[2]徐傳勝，郭政.數理統計學的發展歷程[J].高等數學研究，2007（1）.

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