平移、旋轉(zhuǎn)在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

孔偉偉

摘 要：“圖形的變換”包括圖形的軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)、相似四種，其中軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)同屬于全等變換，利用這個(gè)特性可以探索基本圖形的性質(zhì)，其同樣在初中數(shù)學(xué)解題中也起著不可替代的作用，可以培養(yǎng)學(xué)生“變化”的思維。

關(guān)鍵詞：平移變換；旋轉(zhuǎn)變換；四邊形；實(shí)際問(wèn)題

波利亞說(shuō)過(guò)：“對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，改變它的形式，換一種敘述方式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西，這是解題的一個(gè)重要原則。”《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也指出幾何變換是幾何也是整個(gè)數(shù)學(xué)中很重要的內(nèi)容，它既是學(xué)習(xí)的對(duì)象，也是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的思想和方法。變換又可以看作運(yùn)動(dòng)，讓圖形動(dòng)起來(lái)是指在認(rèn)識(shí)這些圖形時(shí)，在頭腦中讓圖形動(dòng)起來(lái)。例如，平行四邊形是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，可以把它看作一個(gè)剛體，通過(guò)圍繞中心（兩條對(duì)角線的交點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)，認(rèn)識(shí)、理解、記憶平行四邊形的其他性質(zhì)。充分利用變換認(rèn)識(shí)、理解幾何圖形，是培養(yǎng)幾何直觀的好辦法。

一、平移變換

經(jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)線段平行（或共線）且相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連接的線段平行且相等。如要尋找?guī)讉€(gè)角之間的關(guān)系，可添加平行線使要證的角轉(zhuǎn)換為同位角、內(nèi)錯(cuò)角或構(gòu)建全等三角形。

例1：如圖1所示，已知AB∥CD，分別探索下列四個(gè)圖形中∠P與∠A、∠C的關(guān)系，請(qǐng)你從所得的四個(gè)關(guān)系中任選一個(gè)加以

說(shuō)明。

分析：本題點(diǎn)P在平行線內(nèi)部或外部，添加平行線使要證的角轉(zhuǎn)換為同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，得到三個(gè)角之間的關(guān)系。

過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，

∵PE∥AB，CD∥AB，

∴PE∥CD（平行于同一條直線的兩直線互相平行）

∴∠EPC=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

同理可得∠A=∠APE

∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠A+∠C

例2：如圖2，直線MN與線段AB相交于點(diǎn)O，且OA=OB，∠1=∠2=45°，試探索AC與BD的關(guān)系。

分析：本題為“8”字模型，解決這種問(wèn)題常用的方法為添加平行線BE∥AC，構(gòu)造全等三角形即△ACO≌△BEO，證得AC=BE，∠ACO=∠BEO，再利用等角的補(bǔ)角相等，從而得到∠1=∠DEB=∠2，根據(jù)等腰三角形的判定知BE=BD，故AC=BD。而要確定AC與BD的位置關(guān)系，由圖可猜想AC⊥BD，故先延長(zhǎng)AC、DB交于點(diǎn)F，由∠1和∠DCF為對(duì)頂角知∠DCF=45°，在△DCF中，由三角形內(nèi)角和知∠DFC=90°，故AC⊥BD。

在實(shí)際應(yīng)用中，利用此方法的實(shí)際問(wèn)題也很多，如：在等邊△ABC的頂點(diǎn)A、C處各有一只蝸牛，它們同時(shí)出發(fā)，分別以相同的速度由A向B爬行和沿著B(niǎo)C的延長(zhǎng)線爬行，經(jīng)過(guò)t分鐘后，它們分別爬行到D、E處，連接DE交AC于點(diǎn)F，則爬行過(guò)程中DF與EF始終相等嗎？為什么？

二、旋轉(zhuǎn)變換

在旋轉(zhuǎn)這部分中，需要掌握兩個(gè)圖形，很多中考題、中考模擬題都是從這兩個(gè)圖形演變過(guò)來(lái)的。

類型1：如圖3，共頂點(diǎn)的頂角相等的等腰三角形形成旋轉(zhuǎn)全等。在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，則△ABD≌△ACE。

例3：如圖4，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E在邊BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，CE=2，求DE的長(zhǎng)。

分析：把△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG，可使AB與AC重合。通過(guò)證明△AEG≌△AED得到DE=EG，結(jié)合CG=BD，利用勾股定理BD2+EC2=DE2，易得DE=■。

類型2：變換背景：正方形ABCD，旋轉(zhuǎn)△AEB。

例4：如圖5，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連結(jié)EF，則EF=BE+FD，試說(shuō)明理由。

分析：把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，通過(guò)證明∠ADF+∠ADG=180°說(shuō)明點(diǎn)C、D、G三點(diǎn)共

線，通過(guò)證明△AEF≌△AGF，得到EF=FG=FD+DG=DF+BE。

【類比引申1】

如圖6，E、F分別運(yùn)動(dòng)到邊CB、CD的延長(zhǎng)線上且∠EAF=45°，連接EF，猜想EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。

【類比引申2】

在圖5中，若條件改為“在四邊形ABCD中，∠BAD≠90°，

AB=AD，∠B+∠D=180°”，則∠EAF與∠BAD存在 關(guān)系時(shí)，仍有EF=BE+FD，請(qǐng)證明。

【生活應(yīng)用】

在圖5中將條件改為“在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD.已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分別有景點(diǎn)E、F，DF=40■-40，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，則道路EF的長(zhǎng)為多少？

總之，在探索幾何解題的思路時(shí)，可以通過(guò)“平移變換”添加平行線，轉(zhuǎn)換角或構(gòu)建全等三角形，而對(duì)于圖形具有等邊的命題通常可以考慮用旋轉(zhuǎn)變換的思想來(lái)解決。它能使分散的已知條件集中起來(lái)，化難為易，使一些難題迎刃而解。熟練掌握平移變換和旋轉(zhuǎn)變換思想有助于增強(qiáng)解題能力，開(kāi)拓思維。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)給予足夠的重視。

編輯 任 壯