CORDIC算法誤差研究

李翔

DOI：10.16660/j.cnki.1674-098X.2017.14.034

摘 要：CORDIC算法廣泛用于三角、反三角函數(shù)計(jì)算。對(duì)該算法的研究主要集中于減少硬件資源消耗、提升處理效率，但對(duì)其計(jì)算誤差的深入分析較少。指出了CORDIC算法在矢量模式和旋轉(zhuǎn)模式下的誤差來源，并據(jù)此對(duì)CORDIC算法計(jì)算正弦、余弦和反正切函數(shù)的不確定度進(jìn)行了定量分析。數(shù)值仿真表明理論推導(dǎo)與實(shí)際計(jì)算結(jié)果相吻合。

關(guān)鍵詞：CORDIC 誤差分析 不確定度

中圖分類號(hào)：TM38；TP301.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2017）05（b）-0034-02

CORDIC算法全稱為“坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)數(shù)字計(jì)算機(jī)（coordinates rotation digital computer）”，該算法最初旨在僅依靠移位和加減操作計(jì)算二維坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換，稍加改進(jìn)后可用于實(shí)現(xiàn)多種超越函數(shù)，尤其多用于計(jì)算三角與反三角函數(shù)[1-3]。

目前對(duì)CORDIC算法的研究集中在降低硬件消耗、提高計(jì)算速度上[4-5]，而對(duì)該算法的計(jì)算誤差則關(guān)注甚少。早期文獻(xiàn)中關(guān)于CORDIC算法的誤差分析也往往限于討論誤差的上限[6-7]，且對(duì)誤差來源的分析尚不夠深入。

該文對(duì)CORDIC算法的兩種常用模式——矢量模式和旋轉(zhuǎn)模式下的誤差來源進(jìn)行了討論，采用不確定度評(píng)定的方法估計(jì)計(jì)算誤差，并通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了推導(dǎo)結(jié)果的正確性。

2 仿真驗(yàn)證

假定角度分辨率弧度，迭代16次。對(duì)于矢量模式，隨機(jī)產(chǎn)生10 000個(gè)幅角在區(qū)間內(nèi)的矢量，并使矢量模長(zhǎng)從逐步增大到224，用矢量模式計(jì)算反正切并統(tǒng)計(jì)其均方誤差（RMSE），并與式（8）給出的不確定度理論值進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果見圖1。

對(duì)于旋轉(zhuǎn)模式，隨機(jī)產(chǎn)生10000個(gè)區(qū)間內(nèi)的角度，用旋轉(zhuǎn)模式計(jì)算它們的正弦和余弦，且矢量模長(zhǎng)亦從逐步增大到224，統(tǒng)計(jì)均方誤差并與不確定度理論值對(duì)比，結(jié)果見圖2。

由圖1與圖2可見，無論矢量模式或旋轉(zhuǎn)模式，按式（8）得到的不確定度理論值均與實(shí)際的均方誤差相吻合。

3 結(jié)語

該文對(duì)CORDIC算法計(jì)算反正切、正弦和余弦函數(shù)的誤差進(jìn)行了分析并給出了不確定度表達(dá)式。數(shù)值仿真結(jié)果表明，該文給出的CORDIC算法不確定度表達(dá)式能準(zhǔn)確地估計(jì)實(shí)際計(jì)算誤差的大小，可為CORDIC算法在實(shí)際應(yīng)用中的精度評(píng)估提供參考。

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