Gompertz模型在可靠性評估與驗證中的應用

李進++王峰+李宇鵬+齊昊楨++莊凌

摘 要：針對高價值產品的工程試驗現狀，討論利用Gompertz模型擬合其可靠性增長的過程，并利用最小二乘回歸和Fiducial方法，給出Gompertz模型結果的仿真近似下限值，為利用Gompertz模型進行可靠性評估和驗證提供相應的方法。

關鍵詞：可靠性評估 Gompertz模型 區間估計

中圖分類號：TB114.3 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）06（b）-0007-02

Gompertz模型是一種可靠性增長模型，適用于取得等間隔（時間、次數）的硬件或軟件的可靠性增長數據，其增長有先快后慢和先慢后快之后再慢這兩種情況。對于高價值產品，在進行研制的過程中，每次試驗的數量有限，并且每次試驗后，會根據該次試驗的結果，對產品進行改進后，再進行試驗。這種研制過程是比較適用Gompertz模型對其的可靠性水平進行分析評估的。同時，GJB 1407中明確表明：“一項成功的增長試驗可以免去可靠性鑒定試驗”，所以通過擬合Gompertz模型也可以有效地利用研制試驗數據減少或免去可靠性鑒定試驗。

但是，目前產品的可靠性要求基本上均是要求的某一置信度下的可靠度下限，而Gompertz模型經典的估計方法只給出了相應的點估計，文獻[1]中雖然利用Beyes方法給出可靠度下限的計算方法，但是計算相對復雜。所以該文通過探討Gompertz模型的可靠度下限求解方法，給出利用Gompertz模型的可靠性評估和驗證方法。

1 Gompertz模型及其點估計方法

1.1 Gompertz模型

Gompertz模型為：

≤≥0 （1）

其中：為t時的可靠性；，，為增長后上限值；t=0，，為起始值；b為“起始值與上限值”之比；t為試驗周期序號（對應于時間）；c為增長速率。

1.2 模型求解

Gompertz模型最為經典的求解方法為Virene算法，該算法是由E.P.Virene提出，是目前求解Gompertz模型的主要算法。但是，為了后續的求取區間估計，所以該文介紹的為最小二乘估計方法。

設產品總的批次（或試驗次數）為個，當產品不斷地對出現的故障和問題進行改進時，就有，用Gompertz模型擬合該過程，設，t=2，…，m。最小二乘方法即是將公式（1）轉化成線性的模型，然后利用最小二乘進行求解，轉化成線性的模型為：

（2）

設，，，，則公式（2）可寫為：

（3）

2 Gompertz模型的下限估計

2.1 下限估計的求解方法

對于區間估計，我們一般只關心，預計的可靠度下限，也就是說我們要求取的是外推一個（或幾個）周期后的可靠度下限。所以，這里僅討論外推一個周期后的可靠度下限。

由最小二乘的理論，可知對于自變量時，

其中，

；；；；；；；。

由的分布可推導出的分布，設其分布函數為。

已知，認為為隨機變量，設其分布函數為，則的分布函數可由和得出。

2.2 下限估計的近似解

對已知，將和均看作為隨機變量，這里僅討論利用仿真方法給出相應的的估計。

由Fiducial理論可知

其中，；；S為試驗成功數；s為試驗失敗數。

設的分布函數為，則有得到下限估計的仿真算法如下：

取模擬次數Z，Z為偶數；

取（0，1）均勻分布的Z個隨機數，記為；

計算，

計算

對由小到大排序得到

則的置信度為α的下限為，[]為取整函數。

3 利用模型的驗證的討論

由上述的Gompertz模型的下限估計方法可以有效地得到產品在試驗結束后的可靠性水平，由于利用之前的數據擬合了增長模型，所以，可以得到較為真實的可靠性評估結果。

對于可靠性驗證而言，如果利用現有試驗數據評估出的結果可以達到其可靠性指標的要求，即可以認為其滿足指標的要求，可以不必再進行可靠性鑒定試驗。如果利用現有數據評估的結果尚未達到可靠性指標要求，則可以利用Gompertz模型預測出相應還需要多少的子樣的試驗才能滿足可靠性指標的要求。但在實際運用過程中，還需要將后續進行的試驗對Gompertz模型進行不斷的修正，從而不斷地調整所需要的可以達到可靠性指標要求的剩余子樣數，這樣才能有效地利用數據，是一種序貫式的試驗方法。

4 數值例

藍偵探（Blue Scout）火箭在15次發射中有10次成功，其試驗記錄如表1所示。

這里將首次連續成功前一次作為模型擬合的起點，即第6次試驗，即表中的i列，所以這里m=10。擬合公式（2），有a=-0.319 07，h=-0.984 59。則用Gompertz模型預測該火箭在第16次發射時的可靠度點估計為：0.680 9，同時利用仿真可得可靠度80%的下限為0.599 4。

5 結語

該文給出了Gompertz模型的置信下限估計方法，使得利用Gompertz模型進行評估和驗證成為可能。但是，該文所給出的方法為近似的仿真方法，在實際應用仍會遇到不可信或計算相對復雜的問題，所以后續還需要再討論相應的較為簡便的近似方法，方便工程中的應用。

（致謝：該文的研究工作受到了北京航天長征飛行器研究所徐福榮老師的悉心指導，謹致謝意。）

參考文獻

[1] 王飛，黃忠華，張萬君，等.Gompertz模型在引信研制與試驗中的應用[J].探測與控制學報，2004，26（2）：55-58.

[2] 劉琦，馮靜，周經倫.基于Gompertz模型的液體火箭發動機可靠性增長分析[J].航空動力學報，2004，19（3）：419-423.

[3] 朱珉仁.Gompertz模型和Logistic模型的擬合[J].數學的實踐與認識，2002，32（5）：705-709.

[4] 李學京，楊軍.基于可靠性增長試驗信息的可靠性綜合驗證方法[J].宇航學報，2008，29（3）：1074-1079.

[5] 梅文華.可靠性增長試驗[M].北京：國防工業出版社，2003.