基于懸架KC特性的車輛動(dòng)力學(xué)參數(shù)化建模方法*

閆瑞雷

（廣州汽車集團(tuán)股份有限公司汽車工程研究院）

車輛動(dòng)力學(xué)仿真是汽車仿真技術(shù)的重要組成部分[1]，在車輛研發(fā)初期，通過(guò)虛擬仿真替代場(chǎng)地試驗(yàn)對(duì)整車性能的優(yōu)化匹配以及新產(chǎn)品開(kāi)發(fā)能力的提升至關(guān)重要。目前，國(guó)內(nèi)外各大車企普遍使用基于各桿系間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)建立的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行虛擬仿真，如ADAMS[2]。該建模方法能夠準(zhǔn)確反映實(shí)車中各桿系間的拓?fù)潢P(guān)系以及力的傳遞，但該建模方式也存在一些缺點(diǎn)，因此，無(wú)法研究單一KC特性對(duì)整車性能的影響。文章通過(guò)對(duì)汽車各子模塊進(jìn)行力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，建立基于懸架KC特性的車輛動(dòng)力學(xué)參數(shù)化仿真模型并以穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)工況為例進(jìn)行仿真計(jì)算，與客觀試驗(yàn)數(shù)據(jù)及ADAMS進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證模型的精度與仿真效率，為懸架系統(tǒng)的改進(jìn)、底盤(pán)系統(tǒng)的開(kāi)發(fā)及調(diào)校提供指導(dǎo)方向。

1 車輛動(dòng)力學(xué)模型的建立

1.1 假設(shè)條件及坐標(biāo)系建立

將汽車簡(jiǎn)化為一個(gè)多剛體系統(tǒng)，包括車身和4個(gè)車輪共5個(gè)質(zhì)量剛體，在此基礎(chǔ)上建立以轉(zhuǎn)向盤(pán)轉(zhuǎn)角和輪心合力矩為輸入的車輛14自由度動(dòng)力學(xué)模型，包括關(guān)于車身坐標(biāo)系的3個(gè)平移自由度（x，y，z）、3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度（φ，θ，ψ）、4個(gè)車輪的垂直跳動(dòng)自由度及4個(gè)車輪的自旋自由度。

為了便于汽車各個(gè)系統(tǒng)的受力分析和運(yùn)動(dòng)姿態(tài)的確定，分別建立描述車輛空間運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的慣性坐標(biāo)系OXYZ（定義為坐標(biāo)系N）、確定車身姿態(tài)的車身坐標(biāo)系oxyz（定義為坐標(biāo)系A(chǔ)）、定義輪胎受力的輪胎坐標(biāo)系OwXwYwZw及在車身坐標(biāo)系與輪胎坐標(biāo)系之間起過(guò)渡作用的中間坐標(biāo)系ObXbYbZb（定義為坐標(biāo)系B），并且規(guī)定以上4組坐標(biāo)系的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)及垂坐標(biāo)均以向前、向左、向上為正，如圖1所示。

圖1 車輛動(dòng)力學(xué)模型及坐標(biāo)系定義

坐標(biāo)系B與坐標(biāo)系A(chǔ)之間可通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化進(jìn)行變換[3]，即：

式中：Ci——坐標(biāo)系A(chǔ)與坐標(biāo)系B之間的方向余弦矩陣；

Aγi，Aσi，Aδi——坐標(biāo)系B分別繞Xbi，Ybi，Zbi旋轉(zhuǎn)γi，σi，δi角的方向余弦矩陣；

γi，σi，δi——車輪外傾角、自旋角及車輪轉(zhuǎn)角，（°）。

定義車輪姿態(tài)的外傾角、自旋角及車輪轉(zhuǎn)角具體表示如下：

式中：δw——轉(zhuǎn)向盤(pán)轉(zhuǎn)角，（°）；

di——輪跳量，mm；

Tγi，Tσi，Tδi——輪跳外傾梯度、輪跳自旋梯度及輪跳前束梯度，（°）/mm；

Sγi，Sσi，Sδi——車輪外傾角、自旋角及車輪轉(zhuǎn)角隨轉(zhuǎn)向盤(pán)轉(zhuǎn)角變化的梯度，（°）/（°）；

Cγi1，Cγi2——車輪外傾角隨縱向力及側(cè)向力變化梯度，（°）/N；

Cγi3——車輪的外傾角隨回正力矩變化的梯度，（°）/N·mm；

Cδi1，Cδi2——車輪轉(zhuǎn)角隨縱向力、側(cè)向力變化梯度，（°）/N；

Cδi3——車輪的轉(zhuǎn)角隨回正力矩變化的梯度，（°）/N·mm；

Ftxi，F(xiàn)tyi——輪胎接地點(diǎn)位置的縱向力、側(cè)向力，N；

Mtzi——輪胎接地點(diǎn)回正力矩，N·mm。

參考式（1），可得坐標(biāo)系A(chǔ)與坐標(biāo)系N之間的方向余弦矩陣，定義為矩陣K。

為了便于描述車輪姿態(tài)，分別引入車身坐標(biāo)系中的車輪單位法矢量（ωna1（i），ωna2（i），ωna3（i））和慣性坐標(biāo)系中的車輪單位徑矢量（ωrn1（i），ωrn2（i），ωrn3（i）），因中間坐標(biāo)系的Yb軸與車輪單位法矢量共線，所以有：

將（ωna1（i），ωna2（i），ωna3（i））在坐標(biāo)系 N 中表示為：

將（ωrn1（i），ωrn2（i），ωrn3（i））在標(biāo)系 A 中表示為：

1.2 輪胎模型

輪胎力學(xué)特性對(duì)整車操縱穩(wěn)定性分析至關(guān)重要，垂直載荷、車輪側(cè)偏角、外傾角及縱向滑移率共同決定了輪胎的力學(xué)特性。

1.2.1 %輪胎垂直載荷計(jì)算

輪胎垂直載荷由其徑向剛度和變形量決定，可表示為：

式中：Fri——輪胎垂直載荷，N；

Kt——輪胎徑向剛度，N/mm；

Rmax——輪胎自由半徑，mm；ri——徑向滾動(dòng)半徑，mm。

1.2.2 %車輪側(cè)偏角計(jì)算

側(cè)偏角是指車輪中心線與速度方向的夾角，將車輪在慣性坐標(biāo)系中的縱向速度（uni）和側(cè)向速度（vni）沿車輪中心線分解（如圖2所示），可得輪胎沿其中心線速度（uti）和垂直于中心線速度（vti）的關(guān)系式，如式（7）所示。

式中：αi——輪胎側(cè)偏角，（°）；

uti——輪胎沿其中心線的速度，m/s；

vti——輪胎垂直于其中心線的速度，m/s；

cvi——車輪的合速度，m/s。

圖2 輪胎接地點(diǎn)速度分解圖

1.2.3 %車輪外傾角計(jì)算

外傾角是指車輪縱向平面與地面垂線所成的夾角，根據(jù)1.1節(jié)對(duì)單位矢量的定義，可將其表示為：

式中：γ'i——車輪外傾角，（°）。

1.2.4 %縱向滑移率計(jì)算

縱向滑移率對(duì)輪胎縱向力產(chǎn)生至關(guān)重要的影響，它是指車輪運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，滑動(dòng)成分所占的比例，即：

式中：κ——縱向滑移率，%；

Ωi——車輪轉(zhuǎn)速，rad/s。

文章采用MF模型對(duì)輪胎6個(gè)分力進(jìn)行計(jì)算，詳細(xì)計(jì)算過(guò)程參照文獻(xiàn)[4]。

1.3 懸架模型

懸架系統(tǒng)是汽車的車架與車橋或車輪之間的一切傳力連接裝置的總稱，本節(jié)假設(shè)除確定輪胎姿態(tài)角及其受力分析之外，車輪只有相對(duì)于車身垂直跳動(dòng)以及自身旋轉(zhuǎn)2個(gè)自由度，其余4個(gè)自由度均不予考慮，簡(jiǎn)化懸架模型，如圖3所示。

圖3 汽車懸架簡(jiǎn)化模型圖

1.3.1 懸架垂直力分析

懸架的垂直力主要有懸架預(yù)壓力、彈簧力（F1）、阻尼力（F2）、抗縱傾力（F3）以及抗側(cè)傾力（F4）。

1.3.1.1 懸架預(yù)壓力

懸架預(yù)壓力表示汽車處于靜平衡狀態(tài)下，簧上質(zhì)量作用于輪心處的等效垂直載荷，可表示為：

式中：F0i——懸架預(yù)壓力，N；

L1，L2——質(zhì)心到前后軸的距離，mm；

Ms——車身質(zhì)量，kg；

g——重力加速度，取9.8 m/s2。

1.3.1.2 彈簧力

彈簧力由懸架動(dòng)撓度和剛度決定，可表示為：

式中：F1i——彈簧力，N；

Csi——懸架剛度，N/mm。

1.3.1.3 阻尼力

減振器的阻尼力是由減振器阻尼和動(dòng)撓度速度共同決定的，可表示為：

式中：F2i——減振器阻尼力，N；

Cdi——減振器阻尼，N·s/mm；

Di——輪跳速度，mm/s。

1.3.1.4 抗縱傾力

抗縱傾力是由縱傾中心在向車體傳遞力矩時(shí)產(chǎn)生的等效在懸架與車體連接點(diǎn)的垂向力[5]2-5，其表達(dá)式可表示為：

式中：F3i——抗縱傾力，N；

Fxi——車輪縱向力，N；

Fx0i——汽車靜平衡時(shí)車輪縱向力，N。

1.3.1.5 抗側(cè)傾力

抗側(cè)傾力是由側(cè)傾中心在向車體傳遞力矩時(shí)產(chǎn)生的等效在懸架與車身連接點(diǎn)的垂向力[5]2-5。抗側(cè)傾力與輪胎側(cè)向力的合力指向側(cè)傾中心[6]，而側(cè)傾中心的位置可通過(guò)車輪的側(cè)向位移和垂向位移表示[7]，所以，抗側(cè)傾力可表示為：

式中：F4i——抗側(cè)傾力，N；

Δyi，Δzi——車輪側(cè)向和垂向位移，mm；

Fyi——輪胎側(cè)向力，N。

因此，總的懸架垂直力可表示為：

1.3.2 懸架垂直運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

假設(shè)車輪在坐標(biāo)系A(chǔ)中的速度矢量（UA）和坐標(biāo)系A(chǔ)相對(duì)于坐標(biāo)系N的角速度矢量（ΩA）分別為：

式中：ui，vi，wi——輪心在縱向、側(cè)向及垂向速度，m/s；

p，q，r——車輪繞縱向、側(cè)向及垂向轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，rad/s。

則坐標(biāo)系A(chǔ)中車輪的加速度可表示為[8]60-62：

式中：axi，ayi，azi——車輪在x，y，z向的加速度，m/s2。

根據(jù)達(dá)朗貝爾原理[9]，列出坐標(biāo)系A(chǔ)中各車輪垂向動(dòng)力學(xué)方程為：

式中：mi——車輪質(zhì)量，kg；

Fzswi——懸架系統(tǒng)作用于輪心處的垂直力，N；

gz——車輪在坐標(biāo)系A(chǔ)中z方向的重力加速度，取9.8 m/s2；

Pzi——地面作用于輪心處的反作用力，N。

1.3.3 %車輪自旋運(yùn)動(dòng)分析

以驅(qū)動(dòng)輪為例，在坐標(biāo)系A(chǔ)中對(duì)車輪進(jìn)行力學(xué)及運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，如圖4所示。

圖4 車輪自旋模型圖

根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，建立力矩平衡方程式，如式（19）所示。

式中：Iwi——第i輪自旋轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·mm2；

Iwri——第i根半軸的自旋轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·mm2。

1.4 車身模型

汽車運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，車身、車輪及懸架系統(tǒng)之間是相互耦合的，為了簡(jiǎn)化建模過(guò)程，對(duì)車身和4個(gè)車輪的垂向動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行單獨(dú)建立，而縱向、側(cè)向、橫擺、側(cè)傾及俯仰的動(dòng)力學(xué)方程則以整車作為研究對(duì)象。

1.4.1 車輛運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

根據(jù)式（17）可得坐標(biāo)A下車身質(zhì)心的加速度為：

式中：ax，ay，az——車身質(zhì)心沿x，y，z向加速度，m/s2；

u，v，w——車身在縱向、側(cè)向及垂向速度，m/s。

此外，根據(jù)牛頓-歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[8]68可得作用在車身上的外力對(duì)車身質(zhì)心的主矩為：

式中：Mx，My，Mz——車身上的外力對(duì)車身質(zhì)心在x，y，z向的主矩，N·m；

ω——車身側(cè)傾、俯仰及橫擺的角速度，rad/s；

Ixz，Ixx，Iyy，Izx,Izz——車身轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·mm2。

1.4.2 車輛受力分析

將整車視為研究對(duì)象，在坐標(biāo)系A(chǔ)中對(duì)其進(jìn)行受力分析，建立力（力矩）平衡方程式，如式（22）所示。

式中：xwci，ywci，zwci——車身坐標(biāo)系下輪心坐標(biāo)，mm；

xcpi，ycpi，zcpi——車身坐標(biāo)系下輪胎接地點(diǎn)坐標(biāo)，mm；

gx，gy，gz——重力加速度在坐標(biāo)系A(chǔ)下x，y，z向的分量，m/s2；

FX，F(xiàn)Y，F(xiàn)Z——車輛在X，Y，Z向的合力，N；

Pxi，Pyi，Pzi——輪胎接地點(diǎn)x，y，z向的受力，N；

Mxi，Myi，Mzi——輪胎接地點(diǎn)繞x，y，z向的力矩，N·mm。

根據(jù)以上對(duì)車輛的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析和受力分析，可列出車輛在車身坐標(biāo)系中動(dòng)力學(xué)方程，如式（23）所示。

因此，式（18）、（19）及（23）組成整車動(dòng)力學(xué)微分方程組。

1.5 動(dòng)力學(xué)模型求解計(jì)算

上述動(dòng)力學(xué)微分方程組是由14個(gè)微分方程組成的，方程與方程之間存在復(fù)雜耦合關(guān)系，利用常見(jiàn)的數(shù)值方法進(jìn)行求解并不能滿足實(shí)時(shí)仿真的要求。本節(jié)在迭代思想的基礎(chǔ)上，采用歐拉法[10]對(duì)微分方程組進(jìn)行求解，即：

式中：x0——自變量初始值；

h——步長(zhǎng)；

xn，yn——第n個(gè)自變量和因變量。

首先將微分方程組化解，把每個(gè)方程中的狀態(tài)變量分為含二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的狀態(tài)變量、含一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的狀態(tài)變量及不含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的狀態(tài)變量，其中將含二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的狀態(tài)變量放置方程的左邊，其余狀態(tài)變量以及力向量放置方程的右邊，此時(shí)，微分方程組可表示為：

N——除二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)之外的狀態(tài)變量和力向量組成的10×1向量；

D1，D2，D3，D4——4個(gè)車輪跳動(dòng)速度，mm/s。

通過(guò)求解M-1，得到含二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的狀態(tài)變量，即：=M-1·N，根據(jù)初始條件（X0）和 h 對(duì)方程組進(jìn)行求解，并按照歐拉公式進(jìn)行迭代計(jì)算，從而得到坐標(biāo)系A(chǔ)下描述車輛運(yùn)動(dòng)的各狀態(tài)變量，如位移、速度、側(cè)傾角及橫擺角速度。

2 仿真驗(yàn)證

本節(jié)以穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)工況為例，結(jié)合相應(yīng)的ADAMS整車模型以及客觀試驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用所建的14自由度車輛動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型對(duì)整車進(jìn)行仿真計(jì)算，從仿真結(jié)果與運(yùn)行效率兩方面進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性與高效性。樣車的主要參數(shù)，如表1所示。

表1 樣車主要參數(shù)

2.1 穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)

穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)試驗(yàn)包括定半徑和定轉(zhuǎn)向盤(pán)轉(zhuǎn)角2種試驗(yàn)方法，主要用于評(píng)價(jià)汽車達(dá)到穩(wěn)定行駛狀態(tài)時(shí)的穩(wěn)態(tài)橫擺響應(yīng)，本節(jié)利用數(shù)學(xué)模型對(duì)車輛進(jìn)行30 m定半徑穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)試驗(yàn)工況進(jìn)行仿真計(jì)算，通過(guò)對(duì)比分析行駛過(guò)程中車輛側(cè)向加速度與轉(zhuǎn)向盤(pán)轉(zhuǎn)角、橫擺角速度及車身側(cè)傾角的仿真曲線，驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性，如圖5所示。

圖5 汽車30 m定半徑穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)試驗(yàn)工況對(duì)比

通過(guò)對(duì)比分析穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)試驗(yàn)工況下，橫擺角速度、車身側(cè)傾角及轉(zhuǎn)向盤(pán)轉(zhuǎn)角隨側(cè)向加速度的變化曲線可知，試驗(yàn)數(shù)據(jù)與計(jì)算結(jié)果的吻合情況良好，從而證明，數(shù)學(xué)模型能夠準(zhǔn)確描述車輛穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)工況下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

2.2 仿真速度對(duì)比

分別利用數(shù)學(xué)模型和相應(yīng)的ADAMS模型，以相同的仿真時(shí)間及仿真步長(zhǎng)對(duì)直線制動(dòng)、轉(zhuǎn)向盤(pán)角階躍輸入、穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)工況進(jìn)行仿真，并記錄各自CPU運(yùn)行時(shí)間，如表2所示。

表2 動(dòng)力學(xué)模型的仿真速度對(duì)比 s

由表2可知，在仿真時(shí)間與仿真步長(zhǎng)相同的情況下，二者仿真工況設(shè)定時(shí)間與CUP完成計(jì)算所需運(yùn)行時(shí)間之間的比值大概分別是1∶0.89和1∶2.03，數(shù)學(xué)模型的運(yùn)算速度比ADAMS模型提高了56.2%左右。

3 結(jié)論

1）基于懸架KC特性建立的參數(shù)化車輛動(dòng)力學(xué)模型不受懸架結(jié)構(gòu)的限制，具有較強(qiáng)的通用性，且可以在保證較高的仿真精度的同時(shí)，有效提高計(jì)算速度；

2）模型的建立依托于懸架KC特性曲線，與懸架硬點(diǎn)無(wú)關(guān)，可以研究單一KC特性對(duì)整車性能的影響，便于整車性能目標(biāo)分解；

3）在迭代思想的基礎(chǔ)上，采用歐拉法對(duì)微分方程組進(jìn)行求解，將求解結(jié)果與客觀試驗(yàn)數(shù)據(jù)及ADAMS進(jìn)行對(duì)比分析，從而驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的仿真精度與運(yùn)算速度，為車輛動(dòng)力學(xué)開(kāi)發(fā)提供了指導(dǎo)價(jià)值。