剛體轉動慣量和截面的慣性矩

梁擁成+劉小妹

摘 要：通過對理論力學中剛體對軸的轉動慣量和材料力學中截面對軸的慣性矩的比較，把理論力學和材料力學中相關的內容有機結合，不僅鞏固已學知識，也讓新的知識變得簡單易懂。在教學過程中，啟發學生自主學習，尋找規律，總結相似點，提高學生的學習主動性和積極性，取得了良好的教學效果。

關鍵詞：理論力學；轉動慣量；材料力學；慣性矩

中圖分類號：th113 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2017）13-0215-01

力學是工科專業一門難度較大的學科，在我校的教學培養計劃中，一般是上半學期的理論力學和下半學期的材料力學，這兩門課之間存在內在聯系，不僅僅停留在理論力學中的靜力學部分是材料力學的基礎，在教學過程中，作者還發現了一些參數之間的關系，如果不加以比較說明，會讓同學覺得知識凌亂。本文通過比較對理論力學中剛體對軸的轉動慣量和材料力學中截面對軸的慣性矩，讓學生做到知識的融會貫通，不僅能更加牢固掌握這些基本參數，而且使新知識變得簡單易懂。

1 剛體的轉動慣量

1.1 定義

剛體的轉動慣量是工程力學中一個重要知識，是剛體轉動慣性的度量，表現了剛體轉動狀態改變的難易程度。計算剛體及系統對固定軸的動量矩或是計算動能時，都必須要求對軸的轉動慣量。對軸的轉動慣量的定義為

（1）

若剛體的質量是連續分布，則： （2）

1.2 平行移軸定理

同一個剛體對不同軸的轉動慣量一般是不相同的，當轉軸與通過剛體質心的軸相互平行時，對該軸的轉動慣量等于剛體對通過質心軸的轉動慣量，加上剛體的質量與兩軸間距離的平方之乘積。

（3）

1.3 組合法

當物體由幾個規則幾何形狀的物體組成時，可先計算每一部分（物體）的轉動慣量，然后再加起來就是整個物體的轉動慣量。若物體有空心部分，要把此部分的轉動慣量視為負值來處理。

例如：如圖1所示。鐘擺：均質直桿m1，l；均質圓盤：m2，R。求整個鐘擺對O軸的轉動慣量。

解：

1.4 回轉半徑

定義，則剛體對z軸的回轉半徑為： （4）

2 截面的慣性矩

2.1 定義

在推導彎曲正應力公式時定義了： （5）

式中，即為截面對中性軸z軸的慣性矩，從定義可以看出慣性矩是反映梁的截面尺寸和形狀抵抗彎曲變形能力的一個物理量。

2.2 平行移軸定理

當坐標軸不過截面的形心，但和形心軸平行時，截面圖形對該軸的慣性矩與對形心軸的慣性矩有比較簡單的關系，即慣性矩平行移軸定理： （6）

2.3 組合法

組合截面對于坐標軸的慣性矩等于各部分對于該軸慣性矩之和。例如：空心圓對過圓心的軸的慣性矩可以看作大圓的的慣性矩減去小圓的慣性矩。

2.4 慣性半徑

定義，則慣性半徑為： （7）

通過以上四個方面對較剛體對軸的轉動慣量和截面對軸的慣性矩進行了比較和類比，不難發現轉動慣量和慣性矩有很多類似的地方，首先這兩個參數都是是對軸而言，都可以用平行移軸定理和組合法，都有一個相對應的定義半徑。不同的是定義，剛體的轉動慣量應用的是剛體的質量乘以到軸的距離的平方，而截面的慣性矩是應用的截面的面積乘以到軸的距離的平方，所以只需要把質量換成面積就可以輕松地學習材料力學的慣性矩。

3 結語

在力學教學過程中，把理論力學和材料力學中相關的內容有機結合，從四個方面對理論力學中剛體對軸的轉動慣量和材料力學中截面對軸的慣性矩進行了比較，尋找了它們之間的內在聯系和相似點，給學生提供了許多獨立思考的機會，激發學生的學習積極性，達到了事半功倍的效果。

參考文獻

[1]劉鴻文.材料力學[M].（第4版）.北京：高等教育出版社，2004.

[2]李培超，范志毅，劉小妹.簡明工程力學[M].（第2版）.北京：清華大學出版社，2016.