四端雙量子點系統中的自旋和電荷能斯特效應?

鄭軍 李春雷 楊曦 郭永4)

1)(渤海大學新能源學院,錦州 121013)2)(首都師范大學初等教育學院,北京 100048)3)(清華大學物理系,北京 100084)4)(量子物質科學協同創新中心,北京 100084)

四端雙量子點系統中的自旋和電荷能斯特效應?

鄭軍1)?李春雷2)楊曦3)郭永3)4)

1)(渤海大學新能源學院,錦州 121013)2)(首都師范大學初等教育學院,北京 100048)3)(清華大學物理系,北京 100084)4)(量子物質科學協同創新中心,北京 100084)

(2016年12月20日收到;2017年1月20日收到修改稿)

基于非平衡態格林函數方法,理論研究了與四個電極耦合的雙量子點系統中的自旋和電荷能斯特效應,考慮了不同電極的磁動量結構和量子點內以及量子點間電子的庫侖相互作用對熱電效應的影響.結果表明鐵磁端口中的磁化方向能夠有效地調節能斯特效應:當電極1和電極3中的磁化方向反平行排列時,通過施加橫向的溫度梯度,系統中將會出現純的自旋能斯特效應;當電極4從普通金屬端口轉變為鐵磁金屬端口時,將同時觀測到電荷和自旋能斯特效應.研究發現,能斯特效應對于鐵磁電極極化強度的依賴程度較弱,但對庫侖排斥作用十分敏感.在量子點內和點間庫侖排斥作用的影響下,自旋及電荷能斯特系數有望提高兩個數量級.

量子點,能斯特效應,庫侖相互作用

1 引 言

隨著電子元件集成度的提高,功耗及其相關的散熱問題對器件性能的影響愈發明顯.如何控制和再利用微型結構中的熱能,對包括自旋電子學在內的電子科技有著重要意義［1].隨著過去二十年間微細加工技術和低溫測量技術的發展,低維結構中的熱電測量變得更加靈活有效,器件的熱輸運過程也得到了越來越多的關注［2,3].近期,科研人員在高溫超導體［4]、鐵磁金屬［5]、半金屬［6]、單勢壘碳納米管［7]及量子點［8]等材料或結構中觀測到了能斯特(Nernst)效應和賽貝克(Seebeck)效應.

電子具有電荷和自旋兩個自由度.在思考半導體工業發展方向和新出路時,科研人員發現幾乎所有的電子產品都只利用了電子作為電荷載體的屬性來傳輸能量和信息,作為電子內稟性質的自旋,除了材料磁性和簡單的能級簡并外,幾乎被完全忽略.這使研究人員在探索未來半導體工業發展時有了新的契機和可能的研究方向［9].基于電子自旋傳輸與調控的元件在工作時不嚴格依賴于靜電勢壘的升降,因而在一定程度上可以避免傳統器件會遇到的尺寸效應,以實現更大規模的集成.此外,利用自旋電流在半導體材料中進行自旋傳輸,還可能降低傳統器件帶來的信息耗散.在固態材料中產生和控制自旋流,已經成為自旋電子學的主要研究課題［10,11].到目前為止,對納米結構中電子自旋的電學、磁學和光學的調制技術已經日益成熟.

近期基于四端鐵磁材料系統的實驗中發現了一種新的熱電現象,被稱為自旋能斯特效應(spin Nernst e ff ect)［12]或橫向自旋塞貝克效應(spin transverse Seebeck e ff ect).具體地,在水平方向的兩個端口施加溫度梯度,能夠在垂直于溫度梯度的端口觀測到自旋壓或自旋流.與兩端系統相比,多端系統能夠在其他溫度相同的端口生成自旋壓或自旋流.此外,就納米電路而言,多端連接是必要的.自旋能斯特效應引入了一種通過調節熱偏壓產生和控制電流的方法,由于其潛在的應用價值,逐漸成為理論和實驗研究的熱點,科研人員在多種材料中研究了這一效應.例如,Checkelsky和Ong［13]通過實驗研究了磁場下石墨烯中的能斯特效應,發現能斯特系數在磁場條件下隨著門電壓的變化出現強烈的量子振蕩,這一現象在狄拉克點附近將得到極大的增強.Cyr-Choiniere等［14]在高溫超導體中開展了針對能斯特效應的理論研究,并發現金屬材料中的能斯特效應對超導相變和密度波相變高度敏感.Tauber等［15]理論計算了理想晶體中雜質對電子自旋散射引起的能斯特效應的影響,發現自旋電流的流向依賴于雜質,可以通過改變雜質的類型來調制自旋電流的極化方向和大小.Cheng等［16]理論研究了存在自旋軌道耦合的二維交叉(cross bar)結構中的電荷和自旋能斯特效應,研究發現自旋軌道耦合能夠導致能斯特峰發生劈裂,自旋能斯特系數隨著自旋軌道耦合強度的增大而增加,但是隨著磁場的增強而減弱.目前關于自旋能斯特效應在量子點系統中的研究仍然比較有限.基于格林函數方法,近期我們理論研究了量子點環系統中的自旋和電荷能斯特效應.研究發現在Rashba自旋軌道耦合輔助下,無需外加磁場即可在系統中產生純的自旋能斯特效應,并且自旋電流的大小和方向可以通過自旋軌道耦合相位和磁通調控.

圖1 (網刊彩色)平行排列雙量子點耦合四個端口的系統示意圖,其中,左、右兩鐵磁端口中的溫度分別為T1=T+ΔT/2和T3=T?ΔT/2,系統的平衡態溫度為T=0.01ΓFig.1. (color online)Schematic plot of two parallel quantum dots coupled to four leads.The temperatures of the left and the right ferromagnetic leads are individually T1=T+ΔT/2,T3=T?ΔT/2.The system equilibrium temperature is fi xed at T=0.01Γ.

本文主要研究四端雙量子點系統的熱電輸運特性.如圖1所示,雙量子點通過勢壘與四個端電極耦合,電極1和電極3的溫度分別維持在T+ΔT/2及T?ΔT/2,其中ΔT是兩個鐵磁電極間的橫向溫度梯度.討論了電極1和電極3的磁化方向位形、電極4的屬性以及量子點內和點間電子的庫侖相互作用對自旋(電荷)能斯特效應的影響.

2 研究方法

四電極雙量子點系統的哈密頓量可表示為［17,18]

利用Landauer-Büttiker公式,電極j中的平均電流可寫成［19,20]

其中線寬函數矩陣元Γ1(1,1)=2π|t11|2ρj(ω),Γ3(2,2)=2π|t22|2ρj(ω),Γ2(i,i)=2π|t2i|2ρj(ω),Γ4(i,i)=2π|t4i|2ρj(ω). 無耦合的推遲(超前)格林函數為對角化矩陣,其矩陣元為

其中{n－i}≡ n－i?[n－i],[ni]是 ni= ni↑+ni↓的整數部分;niσ是量子點內自旋為σ電子的占據數. 這一占據數能夠利用公式niσ=自洽求解,其中

(6)式中fj(ω)={1+exp[(ω?μi)/kBTi]}?1是化學勢為μi、溫度為Ti時電極j中電子的費米-狄拉克分布函數;其中T1=T+0.5ΔT,T3=T?0.5ΔT,T2=T4=T.在線性響應區域對ΔT和ΔV進行一階泰勒展開,自旋相關的能斯特系數Nσ=J2σ/ΔT可以寫成:

其中f0=[e(E?EF)/kBT+1]?1是零偏壓和零溫度梯度下的費米分布函數.自旋能斯特系數Ns和電荷能斯特系數Nc可以定義為:Ns=[N↑?N↓]和Nc=[N↑+N↓].

3 結果與討論

在計算中,我們假設量子點與電極之間的耦合強度滿足tji=0.4,且令作為能量單位. 我們固定系統的平衡溫度T=0.001Γ,并僅考慮1,2兩個量子點能級相同(ε1=ε2=εd)的情況.

3.1電極磁化方向對能斯特效應的調制

圖2給出了鐵磁電極1和電極3的磁化方向及強度對能斯特效應的影響.首先,我們討論兩個鎳電極(P=0.3)磁化方向平行排列(ρ1σ=ρ3σ)的情況.如圖2(a)所示,不同路徑中不同自旋取向電子的透射概率相同T21σ=T23σ,且在εd=0位置出現峰值.這種現象可以通過電極1(3)到電極2的等效耦合強度［21]來解釋:電子從電極1隧穿進入電極2的過程,包含三條干涉路徑:1)電極1→量子點1→電極2;2)電極1→量子點1→電極4→量子點2→電極2;3)電極1→量子點1→電極4→電極3→電極2.在僅考慮一階隧穿過程時,等效耦合強度T21為

類似地,我們可以得到電子從端口2到端口3之間的等效耦合強度T23σ:

當電極1與電極3中磁矩的磁化方向呈現反平行排列時,即ρ1↑=ρ3↓=(1+P),ρ1↓=ρ3↑=(1?P).如圖2(a)所示,當且僅當P ?=0時,自旋向上和自旋向下的透射概率互不相等且滿足T21↑ =T23↓,T21↓ =T23↑.此時T21↑?T23↑ =因此可以從(7)式得到Ns=N↑?N↓0,但是Nc=N↑+N↓=0.這表明,在橫向溫度梯度作用下,該系統中能夠觀測熱電效應激發的純自旋流.隨著P從0增大到1,自旋向上和自旋向下的能斯特系數之間的差距將會變大,因此自旋能斯特效應將有所增強(圖2(c)).對于半金屬鐵磁材料作為電極的系統(P1)中,此時自旋能斯特系數能夠達到Ns=0.002Γ/eT.

圖2 (網刊彩色)P1=P3=P=0.3時,電極1和電極3磁化方向平行(P)和反平行(AP)排列情況下,(a)透射概率Tσ和(b)自旋相關的能斯特系數Nσ隨著量子點內能級εd的變化;(c)自旋(電荷)能斯特系數Ns(c)在電極1和電極3磁化方向反平行排列且P取不同值時隨量子點內能級εd的變化Fig.2. (color online)(a)The transmission coefficient Tσand(b)the spin dependent Nernst coefficient Nσas a function of the dots’level εdfor parallel(P)and antiparallel(AP)con fi guration with P1=P3=P=0.3;(c)the spin(charge)Nernst coefficient Ns(c)versus the dots’level εdfor antiparallel con fi guration with di ff erent values of P.

3.2電極4的屬性對能斯特效應的影響

在圖3中,我們研究了電極4的屬性對能斯特效應的影響.當電極4從普通金屬(圖2中對應的情況)轉變為鐵磁金屬時,電極3(1)與電極2之間的等效耦合強度T21(3)σ可以改寫為:T21(3)σ=由此可得T21↑＜ T23↓,T21↓＜ T23↑(圖3(a)). 由(7)式我們可以得出N↑?=N↓,并且圖3(b)中自旋依賴的能斯特系數Nσ在電子-空穴平衡點εd=0附近呈現出不對稱的形狀.這是由于當鐵磁電極中的磁化方向反平行排列時,左電極中自旋向上和自旋向下電子的費米能滿足εk1↑＞εk1↓,而右電極中不同自旋方向電子的費米能滿足εk2↑＜ εk1↓.溫度相對較高的電極中有更多的自旋為σ的電子被激發到費米能εk1σ之上,費米能εk1σ之下的空穴數量相應地增加.電子和空穴對能斯特效應的貢獻是互相抵消的,當量子點內的能級εd＜0時,自旋向上的空穴(或自旋向下的電子)將成為主要載流子,此時的能斯特系數為正(負).當能級εd＞0時,自旋向上(或自旋向下)的載流子主要是電子(或空穴),此時N↑(N↓)為負(正).對εd=0的情況,量子點內能級二重簡并,此時電子和空穴對能斯特系數Nσ的貢獻大小相同、符號相反,因此有Nσ=0.當εd?=0時,自旋能斯特系數Ns=N↑?N↓以及電荷能斯特系數Nc=N↑+N↓同時存在有限值,如圖3(c)所示,此時由于電極4的輔助作用,在系統中將同時觀測到電荷和自旋能斯特效應.

圖3 (網刊彩色)P1=P3=P4=P=0.3時,電極1和電極3磁化方向反平行排列情況下,(a)透射概率Tσ、(b)自旋相關的能斯特系數Nσ和(c)自旋(電荷)能斯特系數Ns(c)隨著量子點內能級εd的變化Fig.3.(color online)(a)The transmission coefficient Tσ,(b)the spin dependent Nernst coefficient Nσ,and(c)the spin(charge)Nernst coefficient Ns(c)as a function of the dots’level εdfor antiparallel con fi guration with P1=P3=P4=P=0.3.

3.3庫侖相互作用對能斯特效應的影響

圖4中,我們討論了量子點間與量子點內的庫侖相互作用對熱電輸運的影響.首先,在圖4(a)中僅考慮了點內庫侖排斥作用的影響.對于多電極雙量子點系統很難定義共振通道和相干通道,但是在分子能級表象下,雙量子點系統可以改寫為雙分子態.透射系數在分子態εd=0和εd=?Uin時將出現兩個峰值.當量子點能級εd=?Uin/2時,電子能夠從左端高溫電極經過高分子態流向右電極,空穴則從左端口經過低分子態流向右電極,因此εd=?Uin/2附近,透射概率值較小.根據自旋相關的能斯特系數的定義可知,為了抵消作用于載流子的熱驅動以達到電流為零的條件,需要對電導值小的情況施加較大的偏壓,這就導致了更為顯著的能斯特效應.因此如圖4(a)所示的數值計算結果表明,自旋相關的能斯特系數Nσ在分子態的區域非常小,只有在中間區域能夠觀測到很大的Nσ值.

圖4(b)中給出了量子點間電子的庫侖排斥勢Uex對能斯特效應的影響.當量子點內電子的庫侖相互作用與量子點間電子的庫侖相互作用同時出現時,此時系統共出現四個分子態,因此在圖4(b)中自旋相關的能斯特系數Nσ呈現三個峰.與圖4(a)中討論過的原因類似,能斯特效應將會通過點間庫侖排斥作用得到進一步加強.如圖4(c)所示,在量子點間電子庫侖相互作用和點內庫侖相互作用的共同影響下,能斯特系數能達到0.6Γ/eT,相比不存在庫侖排斥作用的情況提高了兩個數量級.

圖4 (網刊彩色)電極1和電極3磁化方向反平行排列情況下,(a)Uin=10Γ,Uex=0和(b)Uin=10Γ,Uex=1Γ時自旋相關的能斯特系數Nσ隨著量子點內能級εd的變化;(c)Uin=10Γ,Uex=0和Uex=10Γ時自旋能斯特系數Ns隨著量子點內能級εd的變化;其他參數與圖2相同Fig.4.(color online)The spin dependent Nernst coefficient Nσas a function of the dots’level εdfor antiparallel con fi guration with(a)Uin=10Γ,Uex=0 and(b)Uin=10Γ,Uex=1Γ;(c)the spin Nernst coefficient Nsas a function of the dots’level εdwith Uin=10Γ,Uex=0,and Uex=10Γ.The other parameters are the same as those of Fig.2.

4 結 論

利用非平衡格林函數方法理論研究了與四個電極耦合的雙量子點系統中的自旋和電荷能斯特效應,考慮了不同電極的磁動量結構和量子點內以及量子點間電子的庫侖相互作用對熱電效應的影響.研究發現,當鐵磁電極1和電極3中的磁化方向反平行時,電極2和電極4兩端能夠出現純的自旋流或自旋偏壓(純自旋能斯特效應).把電極4從金屬態轉換到鐵磁態時,電荷能斯特效應與自旋能斯特效應將同時出現.此外研究發現,量子點間及量子點內電子的庫侖相互作用可以明顯地促進能斯特效應.當庫侖排斥作用存在時,自旋及電荷能斯特系數有望提高兩個數量級.這樣顯著的特性,表明該四端口雙量子點結構有望在新型熱電器件的設計中具有一定的應用價值.

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Spin and charge Nernst e ff ect in a four-terminal double quantum dot system?

Zheng Jun1)?Li Chun-Lei2)Yang Xi3)Guo Yong3)4)

1)(College of New Energy,Bohai University,Jinzhou 121013,China)2)(College of Elementary Education,Capital Normal University,Beijing 100048,China)3)(Department of Physics,Tsinghua University,Beijing 100084,China)4)(Collaborative Innovation Center of Quantum Matter,Beijing 100084,China)

20 December 2016;revised manuscript

20 January 2017)

With the increase of integration scale,heat dissipation becomes one of the major problems in high density electronic devices and circuits.Controlling and reusing the heat energy in such miniaturized structures are essential topics for current and future technologies.With the development of microfabrication technology and low-temperature measurement technology in the last two decades,the thermoelectric measurement in low-dimensional sample has been feasible,and the thermal transport has received more and more attention.For the multi-terminal device,there is a novel thermoelectric phenomenon,called the spin Nernst e ff ect,in which spin currents(or spin voltages)are generated perpendicularly to the temperature gradient.The spin Nernst e ff ect has been con fi rmed experimentally,and has been theoretically studied in a variety of materials.In this paper,the spin and charge Nernst e ff ect in a pair of vertically aligned quantum dots attached to four leads are studied in the Coulomb blockade regime based on the nonequilibrium Green’s function technique.We focus on the in fl uences of magnetic con fi guration and intra-dot(inter-dot)Coulomb interaction on the spin and charge Nernst e ff ect.It is found that the signs and the magnitudes of spin and charge Nernst e ff ect can be modulated by adjusting the magnetization directions of ferromagnetic electrodes.When the magnetic moments in the 1 and 3 electrodes are turned to antiparallel alignment,the pure spin Nernst(without charge Nernst)e ff ect can occur by applying a transverse temperature gradient.Conversely,the spin and charge Nernst e ff ect disappear if the magnetic moments of lead 1 and lead 3 are in the case of parallel con fi guration.Except for left and right thermal leads,we investigate the e ff ect of the middle lead(lead 4)on the property of the Nernst e ff ect.We fi nd that when the normal metal lead 4 is transferred to ferromagnetic metal,the spin and charge Nernst e ff ect both can be obtained simultaneously.In the end of the paper,we study the in fl uences of intra-dot and inter-dot Coulomb interaction on the spin dependent Nernst coefficient.Through numerical calculations,we demonstrate that the magnitude of the Nernst e ff ect is less dependent on the polarization strength of ferromagnetic electrodes,but can be remarkably enhanced by the Coulomb blockade.The spin Nernst coefficient is predicted to be more than two orders of magnitude larger than that of the case of zero Coulomb interaction.All the results indicate that the proposed four-terminal double quantum dot nano system is a promising candidate for spin caloritronic device.

quantum dot,Nernst e ff ect,Coulomb interaction

10.7498/aps.66.097302

?國家自然科學基金(批準號:11547209,11604021,11574173)、遼寧省博士科研啟動基金指導計劃(批準號:201601352)、低維量子物理國家重點實驗室開放課題(批準號:KF201613)和北京市教育委員會科技計劃一般項目(批準號:KM201410028021)資助的課題.

?通信作者.E-mail:zhengjun@bhu.edu.cn

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11547209,11604021,11574173),the Doctoral Scienti fi c Research Foundation of Liaoning Province,China(Grant No.201601352),the Open Project of State Key Laboratory of Low-Dimensional Quantum Physics,China(Grant No.KF201613),and the General Program of Science and Technology Development Project of Beijing Municipal Education Commission of China(Grant No.KM201410028021).

?Corresponding author.E-mail:zhengjun@bhu.edu.cn