新型負模量聲學超結構的低頻寬帶機理研究

張永燕 吳九匯 鐘宏民

1)(西安交通大學機械工程學院,機械結構強度與振動國家重點實驗室,西安 710049)2)(四川理工學院機械工程學院,自貢 643000)

新型負模量聲學超結構的低頻寬帶機理研究

張永燕1)2)吳九匯1)?鐘宏民2)

1)(西安交通大學機械工程學院,機械結構強度與振動國家重點實驗室,西安 710049)2)(四川理工學院機械工程學院,自貢 643000)

(2016年12月12日收到;2017年2月13日收到修改稿)

提出了一種具有負模量特性的新型聲學超結構,并揭示了其低頻帶隙的形成及拓寬機理.通過理論推導給出了該新型結構的歸一化有效模量表達式,由于有效模量的零值點與系統參數密切相關,可以調節合適的參數使得零值點降低或帶隙下界降低,進一步實現低頻帶隙.理論結果表明,在一定的頻率范圍內,系統的彈性模量為負且負模量區域進一步拓寬,從而通過負模量區域的放大而拓寬帶隙.這種新的實現低頻帶隙的方法克服了傳統局域共振附加質量過大及慣性放大結構帶隙較窄的缺點.同時,通過有限元法得到的周期結構的傳輸率隨著結構參數的變化趨勢與理論分析的變化趨勢基本一致,并得到了約40—180 Hz的低頻寬帶.這種實現低頻帶隙的新思路對低頻聲波的控制具有很重要的理論指導意義.

負模量,聲學超材料,低頻寬帶

1 引 言

在許多工程問題中,低頻聲波抑制一直是個難題.在這方面,已有很多研究工作［1?7],但是對低頻聲波的抑制仍然沒有較好的方法.近年來,隨著聲子晶體和聲學超材料的發展,很多學者在這方面進行了研究.最初從聲子晶體Bragg散射機理來抑制聲波傳輸,但是Bragg散射只能抑制高頻,對低頻聲波的抑制沒有較好的辦法.后來,很多學者試圖找到相應的左手聲學超材料,即同時具有負質量密度和負彈性模量的材料.然而,并沒有天然材料具有負質量密度或負模量特性.因此,一些學者采用人造微結構來實現負質量密度的表觀效應［8?14]或者使用機械共振器“微結構”來形成聲學超材料,并基于此提出了局域共振聲子晶體的機理［15].為了控制低頻聲波,我們課題組基于局域共振聲學超材料也做了不少工作,如張思文和吳九匯［16]提出了螺旋局域共振梁,但是對低頻聲波抑制效果仍然不理想.盡管對局域共振聲學超材料的研究很多,并且聲學超材料可以較好地控制聲波傳輸,但是傳統局域共振超材料仍存在一系列問題［17,18]:一方面,低頻帶隙較窄,為了拓寬低頻帶隙,一些學者通過對聲學超材料結構進行梯度設計［19],在低頻段實現了帶隙拓寬;另一方面,傳統局域共振結構往往存在附加質量過大的問題,針對這一問題,文獻[20—22]提出了一種質量放大結構,并對其能帶特性進行了分析,結果表明質量放大結構可以通過較小的附加質量實現低頻帶隙.總之,上述研究在某種程度上對實現低頻帶隙有一定的效果,但是利用梯度法拓寬低頻帶隙往往結構較大.同時,質量放大結構盡管可以實現共振頻率降低,但低頻帶隙非常窄.如何很好地實現并進一步拓寬低頻帶隙,這個問題在以往的研究中并沒能夠很好地解決,仍然是個難題,也是迫切需要解決的問題.故探討新的實現低頻寬帶的方法以及新的聲學超材料結構是非常必要的.

因此,基于實現低頻寬帶這一難題,本文借鑒慣性放大結構提出了一種新型聲學超材料結構,通過結構參數的設計使該系統在一定的頻率范圍內彈性模量為負,且負模量區域隨著控制參數的變化而被拓寬,帶隙的起始位置隨著降低,這種實現、拓寬低頻帶隙的方法克服了通過慣性放大或者傳統方法增加附加質量來降低共振頻率的不足之處.與此同時,本文對低頻帶隙的形成及拓寬機理進行了深入分析.研究內容安排如下:第2部分探討具有負模量特性的新型聲學超結構及寬帶機理;第3部分是數值仿真及討論;第4部分是結論.

2 具有負模量特性的新型聲學超結構及寬帶隙機理

2.1新型結構單元負模量特性及寬帶機理分析

為了更好地解決實現低頻寬帶這一難題,借鑒質量放大結構［20?22],本文提出了如圖1所示的新型聲學超材料結構,三角形三邊視為無質量彈簧,三個端點為集中質量.其中,水平方向兩端點質量設為m,垂直方向上點質量設為m2,水平邊彈簧剛度為k.這里假設斜邊彈簧為剛性,當兩個水平質點m產生相向位移u時,本文只考慮位移很小的情況.

圖1 具有負模量特性的新型結構單元Fig.1.A new type of structural element with negative modulus.

根據x方向上由諧振力F作用引起的應力-應變關系,則系統在x方向上的運動方程為

在上述方程中,考慮諧波激振力F=Aeiωt,其中A諧波激振力的振幅,ω是激振頻率.假設位移很小時,則有

如圖1所示的橫截面積為A的一維連續彈性固體,則應力應變關系定義為

從方程(6)可以看出,該系統的歸一化有效模量與該系統的結構參數密切相關:1)當驅動頻率等于局部諧振頻率時,即η=1時,有效模量的值達到無窮大,且是無界的,即當時,有效模量的值接近無窮大;2)當有效模量的值等于零,這時其對應頻率

由此可見,對于η＜1時,在ω0和ω?之間的任意一個頻率值對應的有效模量值都為負.眾所周知,負模量區域即對應帶隙的頻率范圍,那么帶隙的頻率范圍即在ω0和ω?之間.也就是說,等效模量零值點與系統共振點(Eeff/E0→ ∞或者ω/ω0=1)之間的距離即為帶隙的寬度,且等效模量的零值點為帶隙起始點,即帶隙下界頻率起始點為ω?.從方程(7)我們可以看到帶隙下界的起始點ω?與這個新型聲學超結構的剛度比δ成正比關系,與結構參數D(μ=L/D)成反比關系.為了達到低頻效果,我們可以調節這兩個參數使得等效模量的零值點降低即帶隙下界降低,這樣等效模量的零值點與共振點之間的距離也增大了,進而實現并拓寬了低頻帶隙.

根據我們得出的結論:1)負模量區域即對應帶隙的頻率范圍,即在ω0和ω?之間;2)等效模量的零值點與共振點(ω/ω0=1或Eeff/E0→ ∞)之間的距離即為帶隙的寬度;3)等效模量的零點值ω?即帶隙起始點,其與剛度比δ成正比關系,而與結構參數D(μ=L/D)成反比關系.圖2和圖3描述了方程(6)所示的新型結構單元的負模量區域隨著這兩個控制參數的變化趨勢.如圖2所示,當D=6 mm時,帶隙起始點ω?約為0.8,負模量區域對應的無綱量頻率范圍為0.8—1;當D=15 mm時,帶隙起始點ω?約為0.6,負模量區域對應的無綱量頻率范圍約為0.6—1.顯然,隨著參數D從6 mm增加到15 mm時,負模量零值點由0.8降到了0.6,即帶隙的下界降低了,系統的負模量區域被放大了兩倍多.也就是說系統的有效模量零值點(ω?)與共振點(ω/ω0=1)之間的距離被放大了兩倍多,即帶隙被拓寬了兩倍多.與此同時,如圖3所示,當剛度比δ=0.8時,帶隙起始點ω?約為0.6,負模量區域為0.6—1;當δ=3時,帶隙起始點ω?約為0.85,負模量區域為0.85—1.很顯然,在圖2和圖3中,隨著控制參數的變化,帶隙的下界都降低了,負模量區域都被拓寬了,即系統有效模量的零值點(ω?)與共振點(ω/ω0=1)之間的距離都增大了,也就是低頻帶隙被拓寬了.

因此,這種新的拓寬低頻帶隙的方法,即通過系統結構參數的設計實現該系統的負模量區域放大及帶隙起始位置的降低,從而實現和拓寬低頻帶隙,其克服了傳統梯度法［17]擴大帶隙及慣性放大結構［18?20]等實現低頻帶隙的不足之處.

圖2 (網刊彩色)當剛度比δ=1時,負模量區域隨控制參數D的變化Fig.2.(color online)The variation of the region of negative modulus with the control parameter D for the sti ff ness ratio δ of 1.

圖3 (網刊彩色)當D=12 mm時,負模量區域隨系統剛度比的變化Fig.3.(color online)The variation of the region of negative modulus with the sti ff ness ratio δ for the control parameter D of 12 mm.

2.2新型超材料周期結構的色散關系分析

基于上述分析得出的理論思想:系統共振點(Eeff/E0→∞)與系統等效模量零值點(Eeff/E0=0)之間的距離為帶隙的寬度,且等效模量的零值點(Eeff/E0=0)為帶隙的起始位置,其與系統剛度比δ成正比關系,而與結構參D成反比關系.針對如圖1所示的新型單元結構,構建新型聲學超材料周期結構如圖4所示.該一維模型中的基體由m1表示,則第j個單元的運動方程

圖4 新型結構單元的周期結構Fig.4.Periodic structure of new-type structure unit.

將諧波運動方程代入方程(8)和(9)中,可得該周期結構的色散方程如下:

其中,θ=m2/m1為質量比,ξ=qL為無量綱波數.

圖5描述了方程(10)的色散曲線.從圖5(a)可以清晰地看到,D=20 mm時的帶隙下界較D=8 mm的帶隙下界下降了很多,這與我們2.1節得出的結論(帶隙下界位置與參數D成反比關系)相符合,同時帶寬被拓寬了兩倍多.與此同時,從圖5(b)可以很清楚地看到剛度比為1時的帶隙下界較剛度比為3時的帶隙下界也降低了,并且帶寬也被拓寬了兩倍多.總之,隨著控制參數的變化,帶隙下界都降低了,低頻帶隙都被拓寬了,這與上述分析結果一致.

圖5 由方程(10)得到的新型周期結構的色散關系(a)色散關系隨著參數D的變化;(b)色散關系隨著剛度比δ的變化Fig.5.The dispersion relation of the novel periodic structure obtained by Eq.(10):(a)The variation of the dispersion relation with the parameter D;(b)the variation of the dispersion relation with the sti ff ness ratio with δ.

3 數值仿真與討論

我們設計了如圖6所示的具有負楊氏模量的聲學超材料,該設計采用嵌入如圖1所示的微結構的主體材料形式,彈簧k1在此表示基體材料的剛度.定義x及y方向上均為周期性邊界,選取如表1所列的數據,利用有限元法得到了如圖7所示的無限周期結構的色散曲線.很顯然,數值仿真結果和理論結果基本符合.

為了進一步分析聲波在有限周期結構中的傳輸率,我們構建了如圖8所示的具有負楊氏模量的有限周期聲學超材料,針對x方向上5個新型單元超材料周期結構,在左端施加x方向諧波激勵力,x方向的位移分別在點A和B處測量.選取如表1所列的數據,并用COMSOL 4.3b對5個新型超材料周期結構的透射率進行了計算.如圖9所示,當D=8 mm時,聲波在0—20 Hz的頻率范圍內基本都形成了透射峰A,只有在約40—100 Hz頻率及100—180 Hz段各形成一條帶隙;當D=20 mm時,很顯然,低頻的透射峰A下降變為帶隙,形成了20—200 Hz整個頻段的寬帶隙,這說明帶隙隨著參數D的增大,帶隙邊界逐漸下降且被拓寬了.同時,圖10描述了這個新型超材料有限周期結構的透射率隨著系統剛度比的變化趨勢.隨著系統剛度比的減小,在約90—140 Hz頻段內的透射峰都大幅度下降而形成帶隙,并在40 Hz以下及40—200 Hz的頻率范圍內產生了低頻帶隙.很顯然,通過有限元方法計算的周期結構的透射率變化趨勢和第2部分的理論分析結果高度符合,即帶隙的寬度隨著剛度比的減小或者隨著系統參數D的增大而被拓寬.

表1 材料參數Table 1.The parameters of materials.

圖6 具有負楊氏模量的新型超材料無限周期結構Fig.6.In fi nite periodic structure of novel metamaterials with negative modulus.

圖7 理論結果和有限元結果的比較Fig.7.Comparison of theoretical results and fi nite element results.

圖8 具有負楊氏模量的新型超材料有限周期結構Fig.8.Finite periodic structure of novel metamaterial with negative modulus.

圖9 (網刊彩色)5個周期結構的透射率,其中,實心圓點線段為D=8 mm,空心圓點線段為D=20 mmFig.9.(color online)The transmittance of the fi ve periodic structures:the solid dotted line for D=8 mm and the hollow dotted line for D=20 mm.

圖10 (網刊彩色)5個周期結構的透射率,其中,空心圓點線段對應剛度比大于1,實心圓點線段對應剛度比為1 Fig.10.(color online)The transmittance of the fi ve periodic structures:the hollow dotted line for the sti ffness ratio greater than 1 and the solid dotted line for the sti ff ness ratio of 1.

4 結 論

本文對一類新型聲學超結構進行了深入分析,該結構可以實現并拓寬低頻帶隙,并得出了一些新結論.

1)該結構的歸一化有效模量與結構參數密切相關,通過設計結構參數可以使系統的彈性模量在一定的頻率范圍內為負且負模量區域與帶隙的形成直接相關聯:a)負模量區域即對應帶隙的頻率范圍,即在ω0和ω?之間;b)等效模量的零值點或Eeff/E0=0)與共振點(ω/ω0=1或Eeff/E0→ ∞)之間的距離即為帶隙的寬度;c)等效模量的零點值ω?即帶隙起始點與剛度比δ成正比關系,而與D(μ=L/D)成反比關系.這樣,我們只要調節合適的參數使得負模量的零值點降低,便可以實現低頻帶隙的拓寬,達到低頻效果.

2)數值仿真結果表明,當D從8 mm增大到20 mm時,帶隙被拓寬兩倍且帶隙下界降低了許多,產生了低頻大寬帶;當剛度比減小時,帶隙同樣被拓寬了,并且帶隙下界下降了許多,實現了低頻帶隙.另外,通過有限元方法計算周期結構的傳輸率與理論分析結果高度符合,并在40 Hz以下的頻率段形成了較低頻帶隙及在40—180 Hz頻率范圍內形成了低頻大寬帶.

這種實現低頻寬帶的機理為低頻聲波控制奠定了一定的理論基礎,且所提出的新型聲學超材料結構,為獲得低頻、超低頻帶隙提供了一種有效的方法,在低頻減振降噪方面有潛在的應用前景.

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PACS:43.20.+g,43.40.+s,62.25.JkDOI:10.7498/aps.66.094301

Low-frequency wide-band mechanism of a new type acoustic metamaterial with negative modulus

Zhang Yong-Yan1)2)Wu Jiu-Hui1)?Zhong Hong-Min2)

1)(School of Mechanical Engineering and State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures,Xi’an Jiaotong University,Xi’an 710049,China)2)(School of Mechanical Engineering,Sichuan University of Science and Engineering,Zigong 643000,China)

12 December 2016;revised manuscript

13 February 2017)

In this paper,a new type of acoustic metamaterial with negative modulus is proposed,and the formation and broadening mechanism of the low frequency bandgap are revealed.The expression of the normalized e ff ective modulus of the structure is derived theoretically.Since the zero value of the e ff ective modulus is closely related to the system parameters,the appropriate parameters can be adjusted to reduce the zero point,and the lower bound of the bandgap is reduced,thus the low-frequency bandgap is realized.The theoretical results show that the elastic modulus of the system is negative and the region of the negative modulus is widened in a certain frequency range,therefore,the widening of the bandgap can be realized through the enlargement of the negative modulus region.This new mechanism for achieving low-frequency bandgap overcomes the shortcomings both in the traditional local resonance with too large additional mass,and in the inertial ampli fi cation structures with narrow bandgaps.At the same time,the transmission of this periodic structure obtained by the fi nite element method is highly consistent with that by the theoretical analysis,with a low-frequency band of 40–180 Hz,from which the new mechanism presented here is veri fi ed.This new idea of achieving low-frequency bandgap is of great theoretical signi fi cance for controlling low-frequency sound waves.

negative modulus,acoustic metamaterial,low-frequency broadband

10.7498/aps.66.094301

?通信作者.E-mail:ejhwu@mail.xjtu.edu.cn

?Corresponding author.E-mail:ejhwu@mail.xjtu.edu.cn