關于一次不定方程x1+x2+…+xm=n正整數解的新解法

李 高

(山西大同大學數學與計算機科學學院，山西 大同 037009)

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關于一次不定方程x1+x2+…+xm=n正整數解的新解法

李 高

(山西大同大學數學與計算機科學學院，山西 大同 037009)

目的 從不定方程x1+x2+…+xm=n的傳統與高等解法入手，探索尋覓新解法。方法 把不定方程的常數項n拆成n個1排成一列，在排成1列的空檔中巧妙利用組合及組合數的方法。結果 依據不定方程的自身特點，應用初等數學組合的基礎知識即可尋得方程x1+x2+…+xm=n的正整數解以及解的個數的解法，與傳統列表枚舉法或高等的解法相比較，得到了獨特新穎解法。結論 不定方程獨特的新穎解法只用了組合數即可把問題解決，它不僅打破了沿用至今的不定方程的煩瑣的傳統解法，避讓了高深的高等解法，而且在學習和應用中給出了解決問題的新思路。

不定方程;枚舉法;正整數解;獨特的新方法

1 不定方程正整數解的存在性

定理 當n

特別地，當n=m時，不定方程x1+x2+…+xm=n有且僅有一組正整數解，即

x1=x2=…=xm=1

2 求不定方程正整數解的常用方法

2.1 傳統解法

當n>m，且n與m都不太大時，不定方程x1+x2+…+xm=n的正整數解一般采用列表枚舉法進行求解。

例1 求x+y+z=5的正整數解。

表1 x+y+z=5的正整數解表

由表1的列表枚舉知，方程有6組正整數解。

當n與m較大時，采用列表枚舉法顯得舉步維艱，難以求解。

2.2 高等解法

依據不定方程解的存在性定理可知，當n≥m時，不定方程x1+x2+…+xm=n有正整數解[6-8]。

方程x1+x2+…+xm=0變形為xm=-x1-x2-…-xm-1

取x1=1,x2=x3=…=xm-1=0得xm=-1

取x2=1,x1=x3=x4=…=xm-1=0得xm=-1

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