機載環境下組合設備轉動慣量和慣性積計算方法

王 斌

（中國電子科學研究院，北京 100041）

機載環境下組合設備轉動慣量和慣性積計算方法

王 斌

（中國電子科學研究院，北京 100041）

在機載環境下，由多個設備組合而成的大型組合設備的轉動慣量和慣性積測量困難。比較簡單的方法是得到其中每個設備的轉動慣量和慣性積后，利用公式計算得出組合設備的轉動慣量和慣性積。對設備旋轉和平移時慣性張量的轉換矩陣進行了完善和推導,使其適應機載三維環境。此外，對幾個特例進行了說明，為計算組合設備的轉動慣量和慣性積提供了公式依據。

機載環境；轉動慣量；慣性積

引言

轉動慣量和慣性積是物體做轉動時其慣性的度量。對于飛機來說，飛機的轉動慣量和慣性積是載荷計算、操穩特性分析和氣動彈性分析不可缺少的數據。飛機轉動慣量和慣性積的大小取決于機身及機載設備的質量分布和轉動時所對應的轉動軸位置。

大型組合設備經常由多個小設備組成，組合設備一般形狀不規則、質量分布不均勻。在工程上，對于組合設備，其轉動慣量和慣性積通常采用實驗的方法得出。例如使用扭擺法、落體法、三線擺法和復擺法等測量轉動慣量。對于慣性積直接測量有困難，但也可以通過對不同角度下轉動慣量進行實驗的方式推導出[1]。

以上方法需要做實驗，周期長，費用大，并且有時不具備實驗條件。通過對組合設備中各個小設備轉動慣量和慣性積進行計算得出組合設備的轉動慣量和慣性積更加方便使用。本文對使用公式計算組合設備轉動慣量和慣性積的公式進行推導和完善。

1 轉動慣量和慣性積

機載環境下組合設備設計時，需要的轉動慣量參數通常有：以全機坐標系（或本體坐標系）三個坐標軸的轉動慣量Ix、Iy、Iz和慣性積Ixy、Iyz、Ixz，其單位為kg·m2。

飛機總體設計人員收集各個承制廠家設備的慣性積和慣性積，進而計算出全機或者大型組合設備的轉動慣量和慣性積。

2 需要使用公式的推導

2.1 慣性張量的引入

對于質點系組成的剛體，其對某點O的動量矩為：

其中：

L為動量矩；

mi為每個質量單元的質量；

ri為每個質量單元距離；

ω為剛體的角速度。

式 （1）用矩陣形式表示為：

其中：

I為慣性張量，其為一個由9個分量構成，表示剛體定點轉動慣性的量值。

如令：

則I可以表示為：

其中，Ix、Iy和Iz稱為轉動慣量，Ixy、Iyx和Ixz稱為慣性積。

2.2 坐標系的平移對轉動慣量和慣性積的影響

一般地，相對于設備自身上某個點的慣性張量很容易得到，但多個設備組合安裝在一起時，經常會需要計算某個設備相對于另一個設備所在坐標系的慣性張量。一般地，兩個設備間坐標軸方向相同，區別在于原點不同，此時相當于求解坐標系的平移對慣性張量的影響。

如圖 1所示，假設質點系組成的剛體位于參考坐標系Ox1y1z1，此時坐標系平移(x0y0z0)，形成新的坐標系為Ox2y2z2。

則此時在Ox1y1z1坐標系內，慣性張量矩陣I2表示為：

將式（6）中I2x分項展開：

以此類推可得I2y和I2z的表達式。

將式（6）中I2xy分項展開：

注意式（9）中，I1xy=-∑mixiyi，同時如果將O點選擇在質心位置，則有∑mixi=0和∑miyz=0，則式（9）變為：

以此類推可得I2y2和I2x2的表達式。

則式（7）得：

圖 1 坐標系平移

其中m為剛體總質量，注意上式成立的條件是原坐標系原點O選擇在質心位置。可以得到以下結論：剛體所在坐標系平移時，新坐標系下的慣性張量可以通過剛體在以質心為原點的參考系下的慣性張量求得。

2.3 坐標系的旋轉對轉動慣量和慣性積的影響

同樣，設備在飛機上安裝時經常需要旋轉一個角度安裝，會需要計算某個設備相對于一個旋轉的坐標系的慣性張量，一般地，兩個坐標系之間共原點，坐標軸之間相差某個角度，此時相當于求解坐標系的旋轉對慣性張量的影響。

對此情況，文獻[2]中給出了轉換矩陣。

如圖 2對于任意兩個共原點的直角坐標系Ox1y1z1和Ox2y2z2。可以證明，Ox1y1z1可以通過三次繞其坐標軸的旋轉變換得到Ox2y2z2，每次轉過的角稱為歐拉角。例如，Ox1y1z1首先繞1z軸轉動角ψ形成新的坐標系Ox1yaza，再沿著ay軸轉動角θ形成新的坐標系Ox2yazb，再沿著x2軸轉動角φ形成新的坐標系Ox2y2z2。

由舊坐標系Ox1y1z1到新坐標系Ox2y2z2的轉換矩陣見式（12）。

注意上式與旋轉順序有關，上式中旋轉順序是z-y-x，實際上旋轉順序共有12種。盡管最終的狀態一樣，但是不同的轉動順序對應不同的的歐拉角和不同的轉換矩陣。

而慣性張量的轉換關系為：

2.4 物體對任意軸的轉動慣量和慣性積

兩個坐標系之間的關系均可以表達為其中一個坐標系先平移至于另一個坐標系共原點，然后再旋轉至與另一個坐標系同軸。則在一個坐標系下的物體相對于另一個坐標系的慣性張量也可以通過先平移再旋轉的轉換矩陣得出。

3 特例

3.1 參考系坐標軸方向變化

3.1.1 改變單個坐標軸方向

實際應用中，有時設計軟件參考系與全機參考系不一致，需要改變參考系中單軸方向。如圖 3所示，假設需要將x軸方向反轉。

則轉動慣量和慣性積關系見式（14）。

圖 2 坐標系旋轉

圖 3 改變單個坐標軸方向

3.1.2 交換坐標軸方向

實際應用中，有時設計軟件參考系與全機參考系不一致，需要交換兩個坐標軸方向。如圖 4所示，假設需要將y軸和z軸互換方向。

則轉動慣量和慣性積關系見式（15）。

3.2 相對坐標軸位置變化

3.2.1 平面對稱安裝

設備實際安裝中，有時需要平面對稱安裝。如圖 5所示，假設對稱平面為xz平面。

則轉動慣量和慣性積關系見式（16）。

3.2.2 軸對稱安裝

設備實際安裝中，有時需要軸對稱安裝。如圖 6所示，假設對稱軸為z軸。

則轉動慣量和慣性積關系見式（17）。

3.2.3 點對稱安裝

設備實際安裝中，有時需要軸對稱安裝。如圖 7所示，假設對稱點為O點。

圖4 交換坐標軸方向

圖5 平面對稱安裝

圖6 軸對稱安裝

圖7 點對稱安裝

則轉動慣量和慣性積關系見式（18）。

4 轉動慣量和慣性積的疊加

實際中經常遇到的情況是多個子設備組合為一個組合設備，其中每個子設備在各自參考系下可以得出各自的重心位置、轉動慣量和慣性積，此時可以要求每個子設備給出各自重量、重心位置、轉動慣量和慣性積，再通過公式求得組合設備的轉動慣量和慣性積。如式（19）所示，文獻[3]給出了一個求解組合設備轉動慣量和慣性積的公式，但是其中各項物理含義和參考系關系不太明確，在此予以明確。

其中：Ix、Iy和Iz為組合設備的轉動慣量，參考系原點位于組合設備的重心，單位為kg·m2；

Ixy、Iyx、Ixz為組合設備的慣性積，參考系原點位于組合設備的重心，單位為kg·m2；

Ixi、Iyi和Izi為子設備i的轉動慣量，參考系原點位于子設備i的重心，單位為kg·m2；

Ixyi、Iyxi、Ixzi為子設備i的慣性積，參考系原點位于子設備i的重心，單位為kg·m2；

Wi為子設備i的重量，單位為kg；

Xi、Yi、Zi為子設備i的重心坐標；

X、Y、Z為組合設備的重心坐標。

注意計算時各子設備的轉動慣量和慣性積的參考系原點為各自重心，各子設備的坐標系軸的指向應調整為一致，組合設備的轉動慣量和慣性積的參考系原點為組合設備重心，坐標系軸的指向與各子設備的坐標系軸的指向相同。

組合設備的重心的計算通過式（20）得出。

注意計算時各單元的重心位置坐標系需要統一，組合設備的重心位置結果在同一坐標系下。

5 結束語

綜上所述，組合設備的轉動慣量和慣性積，可以根據本文中推導的公式，以子設備的重量、重心位置、重心轉動慣量和重心慣性積作為輸入計算給出。

[1]吳斌,楊全潔.用扭擺法測量導彈慣性積的誤差分析[J].彈箭與制導學報, 2005,25(4):153-155

[2]肖業倫.航空航天器運動的建模——飛行動力學的理論基礎[M].北京: 北京航空航天大學出版社, 2003.

[3]飛機設計手冊總編委會.飛機設計手冊第8冊:重量平衡與控制[M].北京: 航空工業出版社, 1999.

王斌，男，（1982-），北京，工程碩士，工程師，飛行器設計專業，主要從事電子設備裝機適配性相關技術研究工作。

Method for Calculating Moments and Products of Inertia of Large Assembly Under Airborne Circumstance

WANG Bin
(China Academy of Electronics and Information Technology, Beijing 100041)

It is difficult to measure the moments and products of inertia of large assembly, which is consist of several parts, under airborne circumstance. The simple way is to calculate the moments and products of inertia of large assembly to obtain the moments and products of inertia of every part. Previous expressions of transformation matrix of matrix of inertia, under parallel moving and rotation moving, are extended to improve the compatibility with airborne circumstance. Furthermore, certain transformation matrices were developed under special cases. This paper provides equation basis for calculating moments and products of inertia of large assembly.

airborne circumstance; moments of inertia; products of inertia

V219

A

1004-7204（2017）03-0026-05