運用改進的無單元Galerkin方法分析機場道面斷裂力學問題?

鄒詩瑩 席偉成 彭妙娟 程玉民?

1)(上海大學上海市應用數學和力學研究所,上海 200072)

2)(上海大學土木工程系,上海 200444)

運用改進的無單元Galerkin方法分析機場道面斷裂力學問題?

鄒詩瑩1)席偉成2)彭妙娟2)程玉民1)?

1)(上海大學上海市應用數學和力學研究所,上海 200072)

2)(上海大學土木工程系,上海 200444)

(2017年2月26日收到;2017年3月26日收到修改稿)

在改進的無單元Galerkin方法的基礎上,將能反映裂紋尖端附近應力奇異性的特征項引入改進的移動最小二乘法的基函數中,將斷裂力學和改進的無單元Galerkin方法結合,研究了線彈性斷裂力學的改進的無單元Galerkin方法,并對含反射裂縫的機場復合道面層狀體系結構進行了數值分析.本文的理論為機場復合道面斷裂力學分析提供了一種新方法.

改進的無單元Galerkin方法,機場復合道面,層狀體系,反射裂縫

1 引 言

無網格方法的研究已有二十多年的歷史,國際上目前將基于點的近似構造試函數、不需要考慮節點與單元間關聯條件的各種數值方法稱為無網格方法[1,2].

程玉民等[3,4]在移動最小二乘法的基礎上,建立了改進的移動最小二乘法. 引入復變量理論,程玉民等建立了復變量移動最小二乘法[5,6]、改進的復變量移動最小二乘法[7]和復變量重構核粒子法[8].在此基礎上,提出了改進的無單元Galerkin方法[9,10]、插值型無單元Galerkin方法[11?14]、邊界無單元法[15?18]、復變量無單元Galerkin方法[19?23]、改進的復變量無單元Galerkin方法[7,24?26]和復變量重構核粒子法[8,27?29].

由于改進的移動最小二乘法形成的方程組易于求解并且不形成病態方程組,因而改進的無單元Galerkin方法可以提高無單元Galerkin方法的計算精度和計算效率.

機場復合道面兼顧了剛性路面和柔性路面的優點.水泥混凝土板提供了一個穩定、堅實的基礎,瀝青混凝土則作為表面功能特性優良的磨耗層.然而,在水泥混凝土板間各種形式的接縫或裂縫使得加鋪的瀝青面層易產生反射裂縫.在瀝青混凝土加鋪層出現反射裂縫后,會使地表水進入瀝青混合料內部,從而降低集料與瀝青之間的黏結性能,形成松散、剝落等病害.特別是在飛機輪載的作用下容易導致應力集中現象,反射裂縫周邊道面又會形成新的交叉次生裂縫,發展到一定程度后將使道面出現大面積剝落,嚴重影響飛機的運行安全.反射裂縫是機場復合道面破壞的主要表現形式之一.

關于機場復合道面反射裂縫,Garzon等[30,31]利用三維廣義有限元法對荷載作用下機場道面的反射裂縫進行了研究;李淑明等[32]采用有限元法分析了土工布、玻璃纖維網對舊水泥混凝土路面加鋪瀝青混凝土層復合路面結構的內力影響;凌建明等基于彈性層狀體系理論,利用有限元法對飛機荷載作用下機場道面地基附加應力進行了分析[33],提出了機場復合道面剩余壽命預估方法[34];馬翔等以B777-200飛機荷載為計算荷載,利用有限元法分析了復合機場道面荷載應力[35],提出了以荷載與溫度綜合疲勞彎拉應力和瀝青面層反射裂縫疲勞壽命為設計指標的復合機場道面結構設計方法[36].

綜上研究進展,目前關于機場復合道面反射裂縫的計算均采用有限元法,尚未見到采用無網格方法分析機場復合道面反射裂縫,而無網格方法在求解斷裂問題方面優于有限元法.因而,對機場復合道面來說,研究應用于反射裂縫分析的斷裂力學的無網格方法是非常必要的.

2 改進的移動最小二乘法

在移動最小二乘法中,取函數u(x)的逼近函數為

其中m是基函數的個數,pi(x)是基函數,ai(x)是相應的系數.

對應于(1)式的整體逼近,在點x鄰域內的局部逼近定義為

其中xI為影響域覆蓋點x的節點,n是影響域覆蓋點x的節點數,uI=u(xI).

對J取極值,即得

可得

即

對于點集{xi}和權函數{wi},若一組函數φ1(x),φ2(x),···,φm(x)滿足

則稱φ1(x),φ2(x),···,φm(x)是關于點集{xi}帶權{wi}的正交函數族(k,j=1,2,···,m).

若{pi(x)},i=1,2,···,m,為Hilbert空間span(p)上的關于點集{xi}的帶權的正交基函數族,即

則方程(6)可寫成

這樣,我們可以直接得到系數ai(x),即

寫成矩陣形式

其中

將(10)式代入(2)式可得

其中Φ?(x)為形函數,

這樣,系數ai(x)可以簡單、直接地得到,不需要求矩陣A(x)的逆,避免了求解病態或奇異的方程組,既提高了效率,又提高了精度.

對如下基函數

利用Schmidt正交化方法得到的正交基函數為

3 裂紋尖端試函數

基函數擴展法是通過在基函數中加入擴展函數項,來達到對試函數擴展的目的.對于斷裂力學的改進的無單元Galerkin方法,基函數中必須加入裂紋尖端位移場表達式中的一些重要項和一些重要的梯度項.基函數擴展的項數決定了數值解的精度,當基函數中加入了能反映包含裂紋尖端位移場中的所有項,即完全基函數擴展時,取如下形式:

類似于改進的移動最小二乘法的推導,可得

類似(13)式可得裂紋尖端試函數為

由此可以看出基函數擴展法沒有增加新的節點未知變量.但是由于基函數的項數增加了,形函數的計算量也會相應地增加.為了提高計算效率,本文采用局部基函數擴展法,即在基函數中加入即

這樣,可以得到裂紋尖端的試函數為

可得裂紋尖端節點的形函數

4 斷裂力學的改進的無單元Galerkin方法

假設二維彈性體的求解域為?,邊界為Γ,彈性力學問題的平衡方程為

其中σij為應力分量,bi是單位體積上的體力分量,i,j=1,2.

幾何方程為

其中εij是應變分量,ui是位移分量.

本構方程為

式中D=(Dijkl)是彈性矩陣,對于平面應力問題,

對于平面應變問題,

其中E為材料的彈性模量.

對應的邊界條件為

本節采用罰函數法施加本質邊界條件,則彈性力學問題對應的泛函為

如果位移邊界條件是沿xi方向的,則si為0,否則為1.

將求解域離散為有限個節點,節點總數為M.利用改進的移動最小二乘法建立逼近函數,可得位移的逼近函數為

對非裂紋尖端節點,形函數如(14)式所示;裂紋尖端節點的形函數見(24)式.

將(37)式代入(32)式,可得

矩陣Kα是根據節點信息得到的全局罰函數矩陣,

向量Fα由本質邊界條件得到,

裂縫尖端的應力強度因子采用以下方法進行計算.對裂紋尖端選取適當的|OC|=L得點C,|OB|=L/4得點B.由點O,B,C即構成二維問題裂紋尖端的虛擬奇異二次元,裂紋尖端局部坐標如圖1所示,應力強度因子表達式為

其中a為裂紋長度的一半,vB和vC分別為點B和點C豎直方向的位移.

圖1 裂紋尖端虛擬奇異元Fig.1.The virtual singular element at the tip of a crack.

5 機場道面反射裂縫的數值分析

5.1 機場復合道面反射裂縫的計算模型

為了進行反射裂縫影響因素分析,將復合機場道面結構簡化為平面應變問題的層狀體系,采用二維模型進行數值計算.將荷載簡化為二維平面應變問題下的條形均布荷載,采用B777-200B,輪壓為1.45 MPa,輪距為1.40 m.此外假定各結構層都由線彈性的各向同性、均質材料組成,地基由彈性半空間地基假設,在模型中采用有限尺寸.模型的邊界條件為:地基底部完全約束,各結構層兩側鉸接,具體幾何參數如圖2,各層的物理參數見表1,反射裂縫起裂位置如圖3,裂縫寬度取0.5 cm.

圖2 機場復合道面模型幾何參數(mm)Fig.2.The geometric parameters of the airport composite pavement(mm).

表1 結構的物理參數Table 1.The physical parameters of the structure.

圖3 反射裂縫的位置Fig.3.The position of the re fl ective crack.

5.2 機場復合道面反射裂縫力學分析

首先考慮起裂位置處于接縫處的裂縫計算模型.無網格方法的節點布置采用5370個節點,輪載下方區域節點進行加密,并對起裂位置進行局部加密,沿水泥板接縫位置布置2×27個加密節點,具體節點分布和局部加密如圖4和圖5.

圖4 模型節點布置Fig.4.The node distribution of the model.

圖5 裂縫附近節點加密分布(2×27)Fig.5.The node re fi nement distribution at the tip of the crack(2×27).

計算結束后,選取裂紋尖端適當計算點,采用(47)式計算,得到此處應力強度因子KI為9.42 MPa·mm1/2,裂縫尖端位于混凝土板層,回彈模量為30000 MPa.

在此基礎上,進一步考慮裂縫反射到瀝青加鋪層的反射裂縫模型,如圖6取反射至瀝青面層的裂縫長度為4 cm,并在裂紋區域進行節點加密(3×31個加密節點),其節點布置局部如圖7所示.

通過計算得到的KI為0.36 MPa·mm1/2,裂縫尖端位于瀝青層,回彈模量為2000 MPa.

圖6 反射至瀝青層的裂縫Fig.6.The re fl ective crack in the asphalt layer.

圖7 反射裂縫附近節點加密分布(3×31)Fig.7.The node re fi nement distribution at the tip of the re fl ective crack(3×31).

圖8 瀝青層計算點豎向位移Fig.8.The vertical displacement at the points in the asphalt layer.

選取計算點后對模型的位移和應力進行計算,計算結果如圖8—圖10所示.從圖8可以看出,在荷載作用位置附近,豎向位移較大,與路面實際情況符合.從圖9可以看出,當混泥土板開裂后,在荷載作用下裂縫正上方面層的正應力具有奇異性,從而使得路面反射裂縫繼續向上發展,以致最后貫通整個路面.可見,當基層出現裂縫后,由于裂縫尖端存在一定的應力集中,這種應力集中對于路面正常工作是不利的.所以,路面工程施工中要盡可能減少混凝土板的收縮裂縫,以防止反射裂縫發生.

從圖9和圖10可以看出,在對稱荷載作用下,裂縫尖端正應力遠大于剪應力,裂縫為張開型,即裂縫的擴展受正應力或KI的控制.

圖9 輪載下各層計算點正應力σ11Fig.9.The normal stress σ11at the points in layers under the wheel load.

圖10 輪載下各層計算點剪應力τ21Fig.10.The shear stress τ21at the points in layers under the wheel load.

6 結 論

本文針對機場復合道面的反射裂縫問題,建立了斷裂力學改進的無單元Galerkin方法.數值算例表明,該方法通過對試函數的擴展能有效地反映裂紋尖端應力場的奇異性,提高了無網格方法的求解精度.

在對試函數進行改進時,采用基函數的局部擴展法,不僅能有效地提高對裂紋尖端應力場的計算精度,也比試函數外部擴展法以及基函數完全擴展法具有更好的求解效率.

使用改進無單元Galerkin方法對機場復合道面模型進行計算,在布置節點時,在裂紋局部進行加密布置.對于計算裂紋擴展的模型時,可以在擴展路徑的區域內增加布置相應的節點,而無需進行有限元法的網格重構.

本文的理論為機場復合道面反射裂縫的分析提供了一種新的方法.

[1]Cheng Y M 2015 Meshless Methods(Beijing:Science Press)pp1–13(in Chinese)[程玉民2015無網格方法 (北京:科學出版社)第1—13頁]

[2]Cheng Y M,Ji X,He P F 2004 Acta Mech.Sin.36 43(in Chinese)[程玉民,嵇醒,賀鵬飛 2004力學學報 36 43]

[3]Cheng Y M,Chen M J 2003 Acta Mech.Sin.35 181(in Chinese)[程玉民,陳美娟 2003力學學報 35 181]

[4]Cheng Y M,Liew K M,Kitipornchai S 2009 Int.J.Numer.Meth.Eng.78 1258

[5]Cheng Y M,Peng M J,Li J H 2005 Chin.J.Theor.Appl.Mech.37 719(in Chinese)[程玉民,彭妙娟,李九紅2005應用力學學報37 719]

[6]Cheng Y M,Li J H 2005 Acta Phys.Sin.54 4463(in Chinese)[程玉民,李九紅 2005物理學報 54 4463]

[7]Bai F N,Li D M,Wang J F,Cheng Y M 2012 Chin.Phys.B 21 020204

[8]Chen L,Cheng Y M 2008 Acta Phys.Sin.57 1(in Chinese)[陳麗,程玉民 2008物理學報 57 1]

[9]Peng M J,Li R X,Cheng Y M 2014 Eng.Anal.Bound.Elem.40 104

[10]Cheng R J,Cheng Y M 2016 Chin.Phys.B 25 020203

[11]Sun F X,Wang J F,Cheng Y M 2013 Chin.Phys.B 22 120203

[12]Cheng Y M,Bai F N,Peng M J 2014 Appl.Math.Modell.38 5187

[13]Cheng Y M,Bai F N,Liu C,Peng M J 2016 Int.J.Comput.Mater.Sci.Eng.5 1650023

[14]Sun F X,Wang J F,Cheng Y M 2016 Int.J.Appl.Mech.8 1650096

[15]Cheng Y M,Peng M J 2005 Sci.China Ser.G 48 641

[16]Peng M J,Cheng Y M 2009 Eng.Anal.Bound.Elem.33 77

[17]Ren H P,Cheng Y M,Zhang W 2009 Chin.Phys.B 18 4065

[18]Wang J F,Wang J F,Sun F X,Cheng Y M 2013 Int.J.Comput.Meth.10 1350043

[19]Cheng Y M,Li J H 2006 Sci.China Ser.G 49 46

[20]Peng M J,Li D M,Cheng Y M 2011 Eng.Struct.33 127

[21]Li D M,Peng M J,Cheng Y M 2011 Sci.Sin.:Phys.Mech.Astron.41 1003(in Chinese)[李冬明,彭妙娟,程玉民2011中國科學:物理學力學 天文學41 1003]

[22]Cheng Y M,Li R X,Peng M J 2012 Chin.Phys.B 21 090205

[23]Cheng Y M,Wang J F,Li R X 2012 Int.J.Appl.Mech.4 1250042

[24]Cheng Y M,Wang J F,Bai F N 2012 Chin.Phys.B 21 090203

[25]Deng Y J,Liu C,Peng M J,Cheng Y M 2015 Int.J.Appl.Mech.7 1550017

[26]Cheng Y M,Liu C,Bai F N,Peng M J 2015 Chin.Phys.B 24 100202

[27]Chen L,Ma H P,Cheng Y M 2013 Chin.Phys.B 22 050202

[28]Weng Y J,Cheng Y M 2013 Chin.Phys.B 22 090204

[29]Chen L,Cheng Y M,Ma H P 2015 Comput.Mech.55 591

[30]Garzon J,Duarte C A,Buttlar W 2010 Road Mater.Pavement Design 11 459

[31]Garzon J,Kim D,Duarte C A 2013 Int.J.Comput.Meth.10 1350045

[32]Li S M,Cai X M,Xu Z H 2005 J.Tongji Univ.(Nat.Sci.)33 1616(in Chinese)[李淑明,蔡喜棉,許志鴻 2005同濟大學學報(自然科學版)33 1616]

[33]Wo R H,Ling J M 2001 J.Tongji Univ.29 288(in Chinese)[咼潤華,凌建明2001同濟大學學報29 288]

[34]Zhou Z F,Ling J M,Yuan J 2007 J.Traffic Transport.Eng.7 50(in Chinese)[周正峰,凌建明,袁捷 2007交通運輸工程學報7 50]

[35]Ma X,Ni F J,Chen R S 2010 J.Changan Univ.(Nat.Sci.)30 23(in Chinese)[馬翔,倪富健,陳榮生2010長安大學學報(自然科學版)30 23]

[36]Ma X,Ni F J,Gu X Y 2010 J.Traffic Transport.Eng.10 36(in Chinese)[馬翔,倪富健,顧興宇2010交通運輸工程學報10 36]

PACS:02.60.Cb,02.60.Lj,46.50.+aDOI:10.7498/aps.66.120204

Analysis of fracture problems of airport pavement by improved element-free Galerkin method?

Zou Shi-Ying1)Xi Wei-Cheng2)Peng Miao-Juan2)Cheng Yu-Min1)?

1)(Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics,Shanghai University,Shanghai 200072,China)
2)(Department of Civil Engineering,Shanghai University,Shanghai 200444,China)

26 February 2017;revised manuscript

26 March 2017)

Using the improved element-free Galerkin(IEFG)method,in this paper we introduce the characteristic parameterwhich can re fl ect the singular stress near the crack tip into the basic function of the improved moving least-squares(IMLS)approximation.Combining fracture theory with the IEFG method,we present an IEFG method of treating the elastic fracture problems,and analyze a numerical example of two-dimensional layered system of airport composite pavement with re fl ective crack.

In the IEFG method,the IMLS approximation is used to form the shape function.The IMLS approximation is presented from the moving least-squares(MLS)approximation,which is the basis of the element-free Galerkin(EFG)method.Compared with the MLS approximation,the IMLS approximation uses the orthonormal basis functions to obtain the shape function,which leads to the fact that the matrices for obtaining the undetermined coefficients are diagonal.Then the IMLS approximation can obtain the solutions of the undetermined coefficients directly without the inverse matrices.The IMLS approximation can overcome the disadvantages of the MLS approximation,in which the ill-conditional or singular matrices are formed sometimes.And it can also improve the computational efficiency of the MLS approximation.

Because of the advantages of the IMLS approximation,the IEFG method has greater computational efficiency than the EFG method which is based on the MLS approximation,and can obtain the solution for arbitrary node distribution,even though the EFG method cannot obtain the solution due to the ill-conditional or singular matrices in the MLS approximation.

Paving the asphalt concrete layer on the cement concrete pavement is an e ff ective approach to improving the structure and service performance of an airport pavement,which is called airport composite pavement.The airport composite pavement has the advantages of rigid pavement and fl exible pavement,but there are various forms of joints or cracks of cement concrete slab,which makes the crack re fl ect into the asphalt overlay easily under the plane load and environmental factors.Re fl ective crack is one of the main failure forms of the airport composite pavement.Therefore,it is of great theoretical signi fi cance and engineering application to study the generation and development mechanism of re fl ective crack of the airport composite pavement.

For the numerical methods of solving the fracture problems,introducing the characteristic parameterwhich can re fl ect the singular stress near the crack tip into the basic function is a general approach.In this paper,we use this approach to obtain the IEFG method for fracture problems,and the layered system of airport composite pavement with re fl ective crack is considered.The numerical results of the displacements and stresses in the airport composite pavement are given.And at the tip of the crack,the stress is singular,which makes the crack of the airport composite pavement grow.

This paper provides a new method for solving the re fl ective crack problem of airport composite pavement.

improved element-free Galerkin method,airport composite pavement,layered system,re fl ective crack

10.7498/aps.66.120204

?國家自然科學基金委員會-中國民航局民航聯合研究基金(批準號:U1433104)資助的課題.

?通信作者.E-mail:ymcheng@shu.edu.cn

?2017中國物理學會Chinese Physical Society

http://wulixb.iphy.ac.cn

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.U1433104).

?Corresponding author.E-mail:ymcheng@shu.edu.cn