一維自旋1鍵交替XXZ鏈中的量子糾纏和臨界指數(shù)?

蘇耀恒 陳愛民2) 王洪雷 相春環(huán)

1)(西安工程大學(xué)理學(xué)院,西安 710048)2)(西安交通大學(xué)理學(xué)院,西安 710049)

3)(重慶醫(yī)科大學(xué)醫(yī)學(xué)信息學(xué)院,重慶 400016)

4)(重慶醫(yī)科大學(xué)公共衛(wèi)生與管理學(xué)院,重慶 400016)

一維自旋1鍵交替XXZ鏈中的量子糾纏和臨界指數(shù)?

蘇耀恒1)陳愛民1)2)王洪雷3)相春環(huán)4)?

1)(西安工程大學(xué)理學(xué)院,西安 710048)2)(西安交通大學(xué)理學(xué)院,西安 710049)

3)(重慶醫(yī)科大學(xué)醫(yī)學(xué)信息學(xué)院,重慶 400016)

4)(重慶醫(yī)科大學(xué)公共衛(wèi)生與管理學(xué)院,重慶 400016)

(2017年1月3日收到;2017年3月28日收到修改稿)

利用基于張量網(wǎng)絡(luò)表示的矩陣乘積態(tài)算法以及無限虛時間演化塊抽取方法,本文研究了一維無限格點自旋1的鍵交替反鐵磁XXZ海森伯模型中的量子相變.分別計算了系統(tǒng)的von Neumann熵、單位格點保真度和序參量,從而得到了系統(tǒng)隨鍵交替強度的變化從拓撲有序Néel相到局域有序二聚化相的量子相變點.我們用矩陣乘積態(tài)方法擬合出了相變的中心荷c?0.5,表明此相變屬于二維經(jīng)典的Ising普適類.另外,通過對拓撲Néel序的數(shù)值擬合,我們得到了相變點處的特征臨界指數(shù)β′=0.236和γ′=0.838.

量子相變,量子糾纏,拓撲相,臨界指數(shù)

1 引 言

自從朗道引入二級相變理論以來,量子多體系統(tǒng)一直都是凝聚態(tài)物理學(xué)中一個非常重要的研究領(lǐng)域,尤其是對低維量子強關(guān)聯(lián)系統(tǒng)中量子相變的刻畫引起了相當(dāng)大的關(guān)注[1].為了揭示自然界中不同物質(zhì)的存在形式及性質(zhì),科學(xué)家們提出了各種不同的模型,特別是自旋為1的模型由于具有豐富的相圖及復(fù)雜的物理現(xiàn)象而受到人們的廣泛關(guān)注[2?5].在一維自旋為1的反鐵磁XXZ模型中,Haldane相和Néel相是有能隙的自旋固體相,此類物質(zhì)相突破了傳統(tǒng)的金茨堡朗道對稱破缺理論而被稱為拓撲有序相.在拓撲相中,因受到隱性的對稱性保護,雖然不具有局域序參量,但是有非局域的長程序參量存在[6?8].

在數(shù)值計算中,對于拓撲有序相的一般計算方法都是基于有限尺寸的系統(tǒng)做外推來得到長程序[9].這種方法的不足之處在于受到系統(tǒng)尺寸的限制,所得到的長程序精度不高.如果以這樣的精度來刻畫量子拓撲相變的臨界性質(zhì)就會遇到很大的困難.近年來,蘇耀恒等[10]基于張量網(wǎng)絡(luò)(tensor network,TN)表示的無限矩陣乘積態(tài)(in fi nite matrix product state,iMPS)算法[11]所發(fā)展的一種新的方法可以直接計算出大尺度體系下的長程序參量.隨后,人們利用這種算法對于含有拓撲相變的系統(tǒng)進行了大量的研究,并揭示了其更深層次的物理內(nèi)涵[12?14].為了研究量子相變的深層次含義就必須從理論上和數(shù)值上得到相變的臨界指數(shù).但是對于含有拓撲相的相變,由于不存在局域的序參量,有限算法外推來擬合臨界指數(shù)就面臨很大困難.因此,要想得到相變的臨界指數(shù)就必須從非局域序入手.

在自旋為1的反鐵磁XXZ模型中,當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)對稱性被打破時,系統(tǒng)就將從上面所提到的拓撲有序相最終轉(zhuǎn)變?yōu)榫钟蛴行虻亩刍郲15].就數(shù)值計算而言,還沒有有效的手段從非局域序擬合出相變的各種臨界指數(shù).我們提出的刻畫拓撲相的方法正好對此類相變的研究提供了一個非常有效的手段.怎樣將這一手段應(yīng)用到刻畫量子相變的性質(zhì)研究中是一個非常有意義的課題.基于此目的,本文利用iMPS算法研究在含有鍵交替效應(yīng)的一維無限尺寸下自旋為1的XXZ海森伯模型中的非局域關(guān)聯(lián)和量子相變.

2 模 型

為了研究結(jié)構(gòu)對稱性破缺體系的拓撲相中的非局域關(guān)聯(lián)和量子相變,本文選取鍵交替的一維反鐵磁自旋為1的XXZ海森伯模型[15],其哈密頓量可以表示為

其中Si為格點i處的自旋1算符;δ是鍵交替幅度參數(shù),其取值范圍為δ∈[0,1];J是反鐵磁的最近鄰自旋相互作用強度;?是z方向的各向異性參數(shù).從(1)式可以看出,當(dāng)δ=1時,系統(tǒng)達到完全的二聚化態(tài);而當(dāng)δ=0時,系統(tǒng)就約化為標準的XXZ海森伯模型.此時,隨著各向異性參數(shù)?的增大,系統(tǒng)依次出現(xiàn)鐵磁相(?6?1),XY相(?1< ? >0),Haldane相(0< ? 6 1.17)和Néel相(?>1.17).這些物相中,鐵磁相由局域的鐵磁序參量來描述;XY相是一個無能隙的自旋液體相,而且沒有任何的序參量;Haldane相和Néel相是有能隙的拓撲自旋固體相,具有長程的拓撲序參量.本文主要研究在含有鍵交替效應(yīng)情況下Néel相(?=2)的非局域關(guān)聯(lián)和量子相變.

3 iMPS數(shù)值算法

近年來,基于張量網(wǎng)絡(luò)表示的iMPS算法已經(jīng)被成功地應(yīng)用到計算一維無限格子系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù)中.此處將簡要介紹iMPS算法的關(guān)鍵步驟.如果一個系統(tǒng)的哈密頓量具有平移兩個格點不變性,則平移不變的iMPS態(tài)|ψ?就可以表示成如下形式:

其中對角矩陣λA(B)是兩半無限鏈的施密特分解系數(shù);ΓA(B)是奇(偶)格點對應(yīng)的三階張量;l(r)是左(右)鍵對應(yīng)的指標,其值可以取1,···,χ,χ是iMPS算法中截斷維數(shù);si值取為1,···,d,d是單個格點希爾伯特空間維度.對于給定的具有平移變換不變性的系統(tǒng)哈密頓量H和一個任意初始波函數(shù)可以利用虛時間演化方法在虛時間τ足夠大的條件下,就可以得到系統(tǒng)的最優(yōu)化數(shù)值基態(tài)波函數(shù).在算法的迭代更新過程中,最有效的方法是對虛時間演化算符進行Suzuki-Trotter分解,使之約化為一系列只作用于兩個近鄰點的兩點演化算符的乘積.一旦得到了無限系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù),我們就可以將之施加在相應(yīng)的物理算子上,從而計算出相應(yīng)的物理量.

4 數(shù)值模擬

4.1 量子糾纏

對于一個給定的系統(tǒng),量子糾纏是一種用來測量量子關(guān)聯(lián)的方法.在量子信息中,人們已經(jīng)采用各種不同的方式來度量系統(tǒng)的糾纏,包括von Neumann熵、concurrence、生成糾纏、Negativity和幾何糾纏等.近年來,基于量子信息的量子糾纏已經(jīng)被應(yīng)用于研究量子相變.而且大量的研究也證明了量子糾纏是一個能夠有效地探測系統(tǒng)量子相變點的普適方法[16?21].在張量網(wǎng)絡(luò)表示下,對于一個正則形式的iMPS波函數(shù),用來測量量子糾纏的von Neumann熵S能夠被表示為[10]

其 中λα是 兩 個 半 無 限 鏈 鏈L(?∞,···,i)和R(i,···,∞)間的Schmidt分解系數(shù),χ是iMPS算法中的截斷維數(shù).

圖1 (網(wǎng)刊彩色)截斷維數(shù)χ=8,16,32時von Neumann熵隨δ的變化 (a)奇鍵熵Sodd;(b)偶鍵熵SevenFig.1.(color online)von Neumann entropy as a function of δ for the truncation dimensions χ =8,16,and 32:(a)Odd-bond entropy Sodd;(b)even-bond entropy Seven.

作為對量子糾纏的測量,在圖1(a)和圖1(b)中,我們分別計算了系統(tǒng)的奇鍵熵Sodd和偶鍵熵Seven.數(shù)據(jù)表明,對于不同的截斷維數(shù)χ=8,16,32,奇鍵熵Sodd和偶鍵熵Seven都出現(xiàn)一個奇異點,而且奇鍵熵Sodd和偶鍵熵Seven所得到的奇異點的位置是相同的,這個奇異點就對應(yīng)著系統(tǒng)控制參量δ的改變所產(chǎn)生的相變點.隨著截斷維數(shù)χ的增加,相變點也隨之發(fā)生移動.實際上,如果我們想得到系統(tǒng)的真實相變點,截斷維數(shù)χ必須達到無窮大.但是從數(shù)據(jù)里可以看到,當(dāng)截斷維數(shù)增加到χ=32時,相比于χ=16的奇鍵熵Sodd和偶鍵熵Seven,所得到的相變點幾乎重合.因此,我們就判定χ=32所得到的相變點δc=0.638可以作為系統(tǒng)的相變點,而且這也能夠保證接下來的數(shù)據(jù)結(jié)果的精度是可靠的.同時,這也說明了度量量子糾纏的von Neumann熵能夠被用來探測此系統(tǒng)的量子相變.另外,從圖1我們也可以看出,奇鍵熵Sodd和偶鍵熵Seven在整個參數(shù)范圍內(nèi)的值是不同的.這表明在標準的XXZ模型中加入鍵交替效應(yīng)后,系統(tǒng)就被二聚化了.特別是在擁有長程拓撲關(guān)聯(lián)的Néel相(δ<0.638)中,這種二聚化效應(yīng)也是存在的.一旦鍵交替參數(shù)δ超過δc=0.638時,系統(tǒng)就過渡到典型的二聚化態(tài).當(dāng)鍵交替參數(shù)δ逐漸增大到1,偶鍵熵Seven的值逐漸降低到零,奇鍵熵Sodd逐漸飽和.最終系統(tǒng)出現(xiàn)完全的奇鍵二聚化.

4.2 量子單位格點保真度

和量子糾纏不同,量子信息理論中的保真度被用來測量兩個量子態(tài)的相似程度.從另一個方面來說,金茨堡-朗道理論中的序參量方法是和模型相關(guān)的,這是因為對于不同的模型必須找到相對應(yīng)形式的序參量才能明確地刻畫系統(tǒng)的相變.但是近幾年的研究表明,量子單位格點保真度是一個不依賴于模型的探測量子相變的方法[22?24].具體到iMPS算法的保真度計算,一旦得到了系統(tǒng)在不同的鍵交替參數(shù)δ下的基態(tài)波函數(shù),單位格點的基態(tài)保真度d(δ1,δ2)就可以定義為

圖2 χ =32時單位格點基態(tài)保真度d(δ1,δ2)隨δ1的變化(內(nèi)插圖為單位格點基態(tài)保真度的一階導(dǎo)數(shù))(a) δ2=0;(b) δ2=1Fig.2.Ground sate fi delity per lattice site d(δ1,δ2)as a function of δ1for the truncation dimension χ =32:(a) δ2=0;(b) δ2=1.Insert:the fi rst derivation of the Ground state fi delity per lattice site d(δ1,δ2).

其中基態(tài)保真度F(δ1,δ2)就是兩個不同基態(tài)和?間的相似程度,L表示系統(tǒng)的尺寸.

在圖2(a)和圖2(b)中,我們分別計算了截斷維數(shù)χ=32時參考態(tài)選為δ2=0和δ2=1的單位格點基態(tài)保真度d(δ1,δ2).兩個保真度數(shù)據(jù)都在δc=0.638時出現(xiàn)了劇烈的變化.為了能更準確地刻畫結(jié)果,我們另外在內(nèi)插圖中給出了保真度的一階導(dǎo)數(shù).保真度一階導(dǎo)數(shù)的奇異點δc=0.638就對應(yīng)著系統(tǒng)的量子相變點,這個變化位置和前面von Neumann熵的奇異點的位置是相同的.其結(jié)果也表明單位格點量子基態(tài)保真度能夠被用來刻畫系統(tǒng)的量子相變.

4.3 序參量

為了更深刻地理解系統(tǒng)的量子相變,需要找到各個相中的序參量.對于含有局域序的二聚化相,其序參量就是近鄰自旋關(guān)聯(lián)的長程交替,即二聚化序OD,其表達式為

其中i和j是自旋格點的位置,則格點間的距離就是|i?j|.

在圖3(a)中,基于(5)式算出了截斷維數(shù)χ=32時以鍵交替參數(shù)δ為變量的二聚化序OD.數(shù)據(jù)表明,在整個參數(shù)變化范圍內(nèi),系統(tǒng)中的二聚化序都是有限值.也就是說二聚化效應(yīng)存在于整個參數(shù)變化范圍.但是在相變點δc=0.638附近,序參量變化較劇烈.因此,我們在內(nèi)插圖中給出了二聚化序的一階導(dǎo)數(shù).從中可以看出二聚化序的一階導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)了一個峰,峰值的位置δ=0.638就是系統(tǒng)所對應(yīng)的相變點.該結(jié)果也符合von Neumann熵和單位格點基態(tài)保真度的結(jié)論.

在圖3(b)中,基于(6)式計算出了截斷維數(shù)χ=32時以鍵交替參數(shù)δ為變量的Néel序ON.數(shù)據(jù)表明在δ<0.638的范圍內(nèi),Néel序的值是有限的.當(dāng)δ>0.638時,Néel序的值都為零.這一結(jié)果表明,當(dāng)鍵交替參數(shù)δ改變時,Néel相存在于δ<0.638的范圍內(nèi).當(dāng)鍵交替參數(shù)δ增大到δc=0.638時,系統(tǒng)過渡到了局域序的二聚化相.以上結(jié)果說明了在標準的XXZ模型中加入了鍵交替效應(yīng)后,當(dāng)鍵交替強度達到δc時,系統(tǒng)中原有的長程拓撲行為就會被打破,從而過渡到局域的二聚化相.

圖3 截斷維數(shù)χ=32時的序參量隨δ的變化 (a)二聚化序OD(內(nèi)插圖為一階導(dǎo)數(shù));(b)Néel序ONFig.3.Order paremeters as a function of δ with the truncation dimension χ=32:(a)Dimer order parameter OD( fi rst derivation of ODin the insert);(b)Néel order parameter ON.

4.4 臨界指數(shù)

對于低維的自旋系統(tǒng)而言,基于共形場理論的中心荷是一個描述量子相變性質(zhì)的重要參數(shù).因此,要研究相變的臨界性質(zhì)就必須計算出相變點的中心荷以描述相變的類型.相較于其他的數(shù)值方法,iMPS法可以方便且有效地計算出相變點的中心荷,從而得到相變所屬的普適類.在iMPS法表示下,我們可以從相變點的von Neumann熵S和有限糾纏關(guān)聯(lián)長度ξ對于不同截斷維數(shù)χ的標度關(guān)系得到相變點的中心荷[26?28].其表達式為

以及

其中,c是共形場理論中的中心荷,κ是一個和有限糾纏相關(guān)的標度指數(shù),有限糾纏關(guān)聯(lián)長度ξ可以直接從iMPS表示的轉(zhuǎn)移矩陣中計算得到.

圖4 相變點δc=0.638處的有限標度擬合 (a)von Neumann熵S擬合;(b)有限糾纏關(guān)聯(lián)長度ξ擬合Fig.4.Finite scaling at the critical point δc=0.638:(a)Scaling of ground state von Neumann entropy S;(b)scaling of fi nite correlation length ξ.

為了研究此系統(tǒng)相變的所屬類型,在圖4中我們分別給出了在相變點δc=0.638處不同截斷維數(shù)χ的von Neumann熵S(圖4(a))和有限糾纏關(guān)聯(lián)長度圖4(b)),并對它們分別做了數(shù)值擬合.從圖4可以看出,von Neumann熵S和有限糾纏關(guān)聯(lián)長度ξ隨著截斷維數(shù)χ的增加是發(fā)散的.為了得到中心荷,我們選取數(shù)值擬合函數(shù)S=alogχ+b和ξ=Aχκ.對于von Neumann熵S的擬合所得到的擬合系數(shù)分別為a=0.150和b=0.286.對于有限糾纏關(guān)聯(lián)長度ξ的冪律擬合所得到的擬合系數(shù)分別為A=0.096和κ=1.811.由上面的擬合系數(shù)a和κ可以計算出此相變的中心荷為c=0.497.我們所擬合出的中心荷的值非常接近于二維經(jīng)典Ising普適類[10]的中心荷c=0.5.因此,此系統(tǒng)的相變屬于共形場理論中的二維經(jīng)典Ising普適類.

圖5 臨界指數(shù)β′和γ′的擬合 (a)β′;(b)γ′Fig.5.Critical exponents β′and γ′at the critical point:(a) β′;(b) γ′.

臨界指數(shù)是研究系統(tǒng)臨界性質(zhì)的重要參數(shù).近年來,人們也開發(fā)了不同的方法來刻畫相變的臨界指數(shù).例如,在文獻[20,21]中,作者利用量子重整化群方法分別計算了自旋1/2 XY模型和各向異性的鐵磁海森伯模型的concurrence和negativity,從而基于它們在系統(tǒng)尺寸上的標度關(guān)系擬合出了相變相應(yīng)的臨界指數(shù),從而揭示了相變的深層次物理性質(zhì).本文中,在拓撲有序相中,相變的某些臨界指數(shù)是和非局域序聯(lián)系在一起的.因此,為了更清楚地描述此系統(tǒng)相變的臨界行為,在圖5(a)中基于張量網(wǎng)絡(luò)表示的iMPS方法計算出了在相變點δc=0.638附近非局域的Néel序ON隨著|δ?δc|的變化.從圖5(a)可以看出,非局域的Néel序ON和|δ? δc|有著冪律關(guān)系, 即ON∝ |δ? δc|β′, 其中β′就是一個相變的特征指數(shù).圖中選取的擬合函數(shù)為logON=β′log|δ?δc|+β′0.通過數(shù)值擬合,得到相變的特征指數(shù)β′=0.236,常數(shù)β′0=0.324. 另外,我們也發(fā)現(xiàn)Néel序ON的一階導(dǎo)數(shù)隨著|δ?δc|的增大是呈冪律衰減的,即?ON/?δ∝ |δ? δc|?γ′. 因此,圖5(b)給出了Néel序的一階導(dǎo)數(shù)?ON/?δ隨著|δ?δc|的變化.同樣擬合函數(shù)被選為log?ON/?δ=?γ′log|δ?δc|+γ′0.通過數(shù)值擬合,得到相變的特征指數(shù)γ′=0.838,常數(shù)γ′0=?2.176.以上基于iMPS表示方法所得到的臨界指數(shù)對于量子自旋系統(tǒng)和相變的臨界性質(zhì)研究是具有指導(dǎo)意義的.

5 結(jié) 論

本文研究了含有鍵交替效應(yīng)的一維反鐵磁自旋為1的XXZ海森伯模型的量子相變.基于張量網(wǎng)絡(luò)表示下的iMPS算法,分別計算了系統(tǒng)基態(tài)von Neumann熵、單位格點保真度和序參量.結(jié)果表明,在標準的一維反鐵磁自旋為1的XXZ海森伯模型中加入鍵交替效應(yīng),整個鍵交替參數(shù)δ的變化范圍內(nèi)都存在局域的二聚化序.當(dāng)鍵交替強度超過δc=0.638后,系統(tǒng)中原有的長程拓撲性質(zhì)會被打破從而轉(zhuǎn)變?yōu)槎刍?利用iMPS方法,本文從相變點處的量子糾纏和有限關(guān)聯(lián)長度的標度關(guān)系擬合出了相變的中心荷c?0.5,得出此相變屬于經(jīng)典的二維Ising普適類.另外,我們發(fā)現(xiàn)Néel序及Néel的一階導(dǎo)數(shù)在相變點附近是冪律變化的.通過對Néel序及Néel一階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值擬合,我們得到了相變點處的特征臨界指數(shù)β′=0.236和γ′=0.838.我們基于iMPS表示方法所得到的臨界指數(shù)對于量子自旋系統(tǒng)和相變的臨界性質(zhì)研究是具有指導(dǎo)意義的.

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PACS:03.67.–a,03.65.Ud,03.67.HkDOI:10.7498/aps.66.120301

Quantum entanglement and critical exponents in one-dimensional spin-1 bond-alternating XXZ chains?

Su Yao-Heng1)Chen Ai-Min1)2)Wang Hong-Lei3)Xiang Chun-Huan4)?

1)(School of Science,Xi’an Polytechnic University,Xi’an 710048,China)
2)(School of Science,Xi’an Jiaotong University,Xi’an 710049,China)
3)(College of Medical Informatics,Chongqing Medical University,Chongqing 400016,China)
4)(School of Public Health and Management,Chongqing Medical University,Chongqing 400016,China)

3 January 2017;revised manuscript

28 March 2017)

The characterization of the quantum phase transition in a lowdimensional system has attracted a considerable amount of attention in quantum manybody systems.As one of the fundamental models in quantum magnetism,spin-1 models have richer phase diagrams and show more complex physical phenomena.In the spin-1 antiferromagnetic XXZ model,the Haldane phase and the Néel phase are the gapped topologic phases which cannot be characterized by the local order parameters.To characterize the nature in such phases,one has to calculate the non-local long range order parameters.

Normally,the non-local order parameter in the topological phase is obtained from the extrapolation of fi nite-sized system in numerical study.However,it is difficult to extract the critical exponents with such an extrapolated non-local order parameter due to the numerical accuracy.In a recently developed tensor network representation,i.e.,the in fi nite matrix product state(iMPS)algorithm,it was shown that the non-local order can be directly calculated from a very large lattice distance in an in fi nite-sized system rather than an extrapolated order parameter in a fi nite-sized system.Therefore,it is worthwhile using this convenient technique to study the non-local orders in the topological phases and characterize the quantum criticalities in the topological quantum phase transitions.

In this paper,by utilizing the in fi nite matrix product state algorithm based on the tensor network representation and in fi nite time evolving block decimation method,the quantum entanglement, fi delity,and critical exponents of the topological phase transition are investigated in the one-dimensional in fi nite spin-1 bond-alternating XXZ Heisenberg model.It is found that there is always a local dimerization order existing in the whole parameter range when the bond-alternative strength parameter changes from 0 to 1.Also,due to the e ff ect of the bond-alternating,there appears a quantum phase transition from the long-rang ordering topological Néel phase to the local ordering dimerization phase.The von Neumann entropy, fi delity per lattice site,and order parameters all give the same phase transition point at δc=0.638.

To identify the type of quantum phase transition,the central charge c?0.5 is extracted from the ground state von Neumann entropy and the fi nite correlation length,which indicates that the phase transition belongs to the twodimensional Ising universality class.Furthermore,it is found that the Néel order and the susceptibility of Néel order have power-law relations to|δ? δc|.From the numerical fi tting of the Néel order and its susceptibility,we obtain the characteristic critical exponents β′=0.236 and γ′=0.838.It indicates that such critical exponents from our method characterize the nature of the quantum phase transition.Our critical exponents from the iMPS method can provide guidance for studying the properties of the phase transition in quantum spin systems.

quantum phase transition,quantum entanglement,topological phase,critical exponent

10.7498/aps.66.120301

?國家自然科學(xué)基金(批準號:11504283)資助的課題.

?通信作者.E-mail:wanghl@cqmu.edu.cn

?2017中國物理學(xué)會Chinese Physical Society

http://wulixb.iphy.ac.cn

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.11504283).

?Corresponding author.E-mail:wanghl@cqmu.edu.cn