混沌光場光子統計分布及二階相干度的分析與測量?

蘭豆豆1)2) 郭曉敏1)2) 彭春生1)2) 姬玉林1)2) 劉香蓮1)2)李璞1)2) 郭龑強1)2)?

1)(太原理工大學,新型傳感器與智能控制教育部重點實驗室,太原 030024)

2)(太原理工大學物理與光電工程學院,光電工程研究所,太原 030024)

混沌光場光子統計分布及二階相干度的分析與測量?

蘭豆豆1)2) 郭曉敏1)2) 彭春生1)2) 姬玉林1)2) 劉香蓮1)2)李璞1)2) 郭龑強1)2)?

1)(太原理工大學,新型傳感器與智能控制教育部重點實驗室,太原 030024)

2)(太原理工大學物理與光電工程學院,光電工程研究所,太原 030024)

(2017年1月24日收到;2017年3月27日收到修改稿)

利用通信波段雙通道單光子探測器,采用Hanbury Brown-Twiss關聯測量方案,理論分析并實驗測量了光反饋半導體激光器產生的混沌光場的光子統計分布及不同混沌狀態光場的二階相干度.通過對混沌光場二階相干度g(2)(τ)的理論分析,得出隨著延遲時間和相干時間的變化,其與相干光、熱光及單光子態的二階相干度可明顯區分并呈現出不同分布.同時實驗上產生了頻譜寬度6.7 GHz的混沌光場,測量了不同光子數分布的結果,并用高斯隨機分布、泊松分布、玻色-愛因斯坦分布對光子數分布進行理論擬合,發現隨著入射平均光子數的增加,光子數分布從玻色-愛因斯坦分布過渡到泊松分布,但整個過程都與高斯隨機分布符合較好,且光場的二階相干度g(2)(0)由2降至1.通過改變偏置電流(I=1.0Ith?2.0Ith)和反饋強度(0—10%),實驗上研究了混沌光場由低頻起伏到相干塌陷的過程中不同狀態宏觀動力學特性與二階相干度的對應關系.結果表明:混沌光場在此過程中始終呈現出明顯的聚束效應,并在頻譜寬度最大時達到最強;同時給出了光子計數測量中聚束效應減弱的物理原因.實驗表明該系統及方法能很好地揭示不同狀態混沌光場的光子統計特性.

混沌激光,二階相干度,單光子計數,半導體激光器

1 引 言

探索光場的高階相干性及量子統計特性已成為量子光學研究的重要內容之一[1],而對其的深刻認識可追溯到20世紀50年代Hanbury-Brown和Twiss(HBT)的不同時空點的強度關聯測量[2]以及1963年Glauber提出的光場相干性理論[3,4].之后不久利用光電倍增技術,Arecchi等完成了相干光及熱光場光子統計分布的測量[5],并在閾值附近獲得上述光場的相干特性[6].與此同時,Morgan和Mandel[7]利用單探測器測得熱光場的聚束效應.隨后HBT關聯測量被應用于揭示光場反聚束效應[8]及光子亞泊松分布[9]等非經典特性.隨著光電探測技術的迅速發展,人們已經可以從單光子水平上對光場進行分析和測量.單光子探測技術作為最靈敏的光學探測手段以及它在量子光學和量子信息方面的重要作用[10],已被廣泛應用于量子保密通信[11]及光場精密測量[12]等方面.至此結合單光子探測技術的HBT關聯測量,可精確反映光場的光子統計特性及光源的動力學產生過程,利用HBT關聯測量所得到的光場的二階相干度g(2)(τ),不僅可以評估輻射場的強度關聯起伏和量子特性,而且還可用來區分不同光場,如熱光場零延時的二階相干度g(2)(0)>1,光場呈現出明顯的聚束效應[13];相干光的g(2)(0)=1,光子數分布呈現隨機的Poissonian分布;而亞泊松分布的量子輻射光源g(2)(0)<1,輻射光場呈現出顯著的反聚束效應[14].近期基于單光子計數的HBT關聯測量已被廣泛應用于光場空間相干特性的分析[15,16]、鬼成像[17,18]、不同軌道角動量組分和角位置的方位角HBT(azimuthal HBT)干涉效應[19]、單光子源輻射光場的統計特性分析[20,21]等方面.

混沌激光場由于其寬頻譜、類噪聲、對初值敏感、長期不可預測、復雜度大等方面的特性滿足信息安全及密碼學的基本要求,在當今信息科學技術高速發展的趨勢下,已引起了人們的廣泛關注且進行了深入的研究[22],并被應用到高速遠程混沌保密通信[23,24]、快速物理隨機數產生[25,26]、基于公共信道的混沌密鑰分發[27]等諸多領域.在20世紀90年代,基于混沌同步和混沌控制的方法,美國的Roy小組[28]首次利用兩個光纖激光器實現了混沌光通信.之后的十多年間,相關混沌光場的產生及應用方面得到迅速發展.2005年,歐洲七個國家共八個研究組織在商用的光通信網絡中完成了基于半導體激光器傳輸距離120 km,速率1 Gb/s,誤碼率10?7的混沌保密通信[24].2008年,日本的Uchida小組[29]用寬帶大幅度混沌激光實現了1.7 Gb/s的物理隨機數實時輸出,相繼以色列的Kanter[30]以及我國西南大學吳正茂研究組[31]利用混沌激光在實驗上產生了更高速率的物理隨機數.之后在光通信高速發展的推動下,有關混沌激光保密通信的研究一直十分活躍[22].但相關混沌光場的研究主要集中在時域和頻域等宏觀動力學特性[32],而判別分析混沌光場的方法主要是通過觀測時域強度起伏、頻譜寬度,分析系統的李雅普諾夫指數(Lyapunov exponent)、分叉圖等來確定分岔點、普適費根鮑姆常數(universal Feigenbaum constant)及周期性等多方面的信息,最終確定混沌狀態并與噪聲進行區分,但是并不能得到光場的高階相干性及光子統計分布等方面的更多信息.針對混沌激光光場量子統計特性的研究還并不深入,目前物理參數的測量已經達到量子水平,人們正努力尋求克服量子漲落,實現亞量子噪聲測量的新方法[12].相關方法初步被應用到量子點反饋混沌激光場[33]和納米激光器自反饋產生的混沌光場的量子統計特性[34]的分析研究,但上述特定光源的結構相對復雜,成本較高,所產生的混沌頻譜寬度有限.能否在典型的混沌帶寬較寬、初始光場參數可控的條件下,利用HBT方案在單光子水平上測量分析混沌光場的光子統計分布及二階相干度,并與其他光場進行區分,就成為本文研究的重點.

本文利用工作在通信波段的雙通道單光子探測器,利用HBT關聯測量方法,首先對光反饋半導體激光器產生的混沌光場二階相干度及光子數分布進行了理論分析,同時判別分析了不同光場的二階相干度.在此基礎上實驗測量了寬帶混沌光場的光子數統計分布及其二階相干度,隨后測量了不同反饋強度和偏置電流條件下混沌光場的二階相干度.研究表明,混沌光場由低頻起伏(low freque-ncy fl uctuation,LFF)進入相干塌陷(coherence collapse,CC)過程中,光場呈明顯的聚束效應.我們通過對不同狀態下混沌光場的光子統計分布和二階相干度的理論分析和實驗測量,表明通過該方案可準確地得到混沌光場的量子統計特性,進一步可用于混沌光場微觀隨機性及噪聲特性的測量.

2 理論分析

混沌光場的產生可被認為N個激發態原子或是偶極子獨立自發地輻射光子,N個隨機輻射方向電磁場的矢量疊加.而其時域瞬時起伏的本質主要決定于碰撞展寬的機制,輻射和多普勒展寬在此時可被忽略,同時碰撞所引起的彈性隨機相位改變不會影響原子的能態.故其隨機輻射電場為[1,34]

其中ω為載波頻率,θk為隨機相位.同時隨機起伏的噪聲頻率˙θk滿足如下關系:

式中δkj代表克羅內克乘積,δ(τ)代表狄拉克δ函數.根據(1)式可得如下強度關聯函數:

其中τc表示光場的相干時間.由此可推得混沌光場一階相干度

進而可推導得出混沌光場的二階相干度為

同理,利用上述類似的分析過程,可得到不同光場的二階相干度,如熱光場 (g(2)(τ)=1+exp(?τ2/τ2c),τc是熱光場的相干時間)、相干光(g(2)(τ)=1)和單光子態

其中?R表示Rabi頻率,Γ表示原子的自然線寬,如銫原子Γ=2π×4.57 MHz[21]的結果.由圖1(a)可知,時間延遲在1.5 ns以內,根據混沌光場的相干長度,選取相干時間τc=0.6 ns[35],混沌光場和熱光場隨延遲時間的變化結果在零延遲附近二階相干度大于1,呈現出明顯的聚束效應;連續相干光的二階相干度恒為1,不隨延遲時間發生改變;而當?R/Γ=2時,單光子態的二階相干度在零延遲附近呈現出Rabi振蕩的反聚束效應.

根據Glauber-Sudarshan的P表象的理論,所有的光場都滿足一定的光場或光子數分布[4],同時對隨機變量及其統計特性的研究表明,真正理想的隨機變量是高斯隨機變量.故混沌光場的隨機性可用高斯隨機變量U來判別[36]:

對隨機變量U進行傅里葉變換得到其概率密度函數,即光子數分布:

圖1 (網刊彩色)不同光場的二階相干度及光子數分布(a)相干時間τc=0.6 ns時,混沌光、相干光、熱光場、單光子態的二階相干度隨延遲時間τ的變化;(b)平均光子數〈n〉=1.8時,服從高斯隨機分布(藍色實線)、泊松分布(綠色點劃線)、玻色-愛因斯坦分布的(黑色短劃線)光子統計分布曲線Fig.1.(color online)Second-order degree of coherence and photon number distribution of di ff erent optical fi eld:(a)Second-order degree of coherence of chaotic laser,coherent light,thermal light and single photon state versus delay time with 0.6 ns coherence time;(b)photon number distribution of Gaussian random(blue solid curve),Poisson(green dot-dashed curve)and BoseEinstein(black dashed curve)for 〈n〉=1.8.

其中〈n〉表示入射的平均光子數,m表示光子數.當入射光是單模熱光場時,光子數分布服從玻色-愛因斯坦分布:

其中〈n〉表示入射的平均光子數.隨著入射平均光子數〈n〉和光子數m的增大,上述分布可近似為

3 實驗系統與結果分析

混沌光場二階相干度及光子統計分布測量的實驗裝置如圖2所示,混沌光源主要由一臺分布式反饋半導體激光器DFB-LD(WTD LDM5S752)利用一個外腔光反饋系統構成.通過溫度及電流控制將激光器DFB-LD中心波長穩定在1554 nm,其閾值電流為Ith=10.6 mA.激光器發出的光經過偏振控制器(polarization controller,PC)和環形器(optical circulator,OC)之后進入80:20的光纖耦合器( fi ber coupler,FC),80%的部分經過可變衰減器(variable attenuator,VA1)之后反饋回OC形成外腔延遲時間為125 ns的光反饋回路.

上述光反饋系統產生的混沌光場進入可編程光衰減器VA2(JW3301A),VA2可用來調節入射混沌光場的強度.從VA2輸出的混沌光進入50:50的非偏振分束器(beam splitter,BS1)分成強度相等的兩束:其中一束經過帶寬為12 GHz的光電探測器(photodetector,PD,NEW FOCUS Model1554-B)轉化為電信號,之后進入36 GHz帶寬的實時示波器(oscilloscope,OSC,Lecroy LabMaster10-36Zi)或者26.5 GHz的頻譜分析儀(RF spectrum analyzer,Agilent N9020 A,3 MHz RBW,3 kHz VBW)進行時序和頻譜的動力學特性的分析;另一束進入分束器BS2分成50:50的兩束.從BS2輸出的兩路光場,通過耦合透鏡分別進入雙通道單光子探測器(single photon detector,SPD,Aurea Technology LYNXEA.NTR.M2)的SPD1和SPD2,一路做start,另一路經過τ延時做stop.通過VA2控制入射進入單光子探測器的光強,測得對應光場的計數結果.隨后兩路信號進入數據采集系統,數據采集系統的最小分辨時間為65 ps,最大計數率為0.4 Mcounts/s,探測器的量子效率為25%.之后由數據采集系統對信號進行記錄和相關處理,得到混沌光場的二階相干度.

圖2 (網刊彩色)混沌光場動力學特性及二階相干度測量的實驗裝置圖(DFB-LD,分布式反饋激光器;PC,偏振控制器;OC,環形器;FC,光纖耦合器;VA1,VA2,光衰減器;BS1,BS2,分束器;PD,光電探測器;OSC,示波器;Spectrum analyzer,頻譜分析儀;SPD,單光子探測器;DAS,數據采集系統)Fig.2.(color online)Schematic of the experimental setup for measuring dynamics and second-order degree of coherence of a chaotic laser(DFB-LD,distributed feedback laser diode;PC,polarization controller;OC,optical circulator;FC, fi ber coupler;VA1,VA2,variable attenuators;BS1,BS2,beam splitters;PD,a photodetector;OSC,oscilloscope;SPD,single photon detector;DAS,data acquisition system).

圖3 (網刊彩色)混沌光場不同的光子數分布與g(2)(0)的測量結果,其中,紅色直方圖是實驗結果;藍色實線、綠色點劃線、黑色短劃線分別為對混沌光光子數分布進行高斯隨機、泊松、玻色-愛因斯坦擬合的結果Fig.3.(color online)Di ff erent photon number distributions and g(2)(0)of chaotic laser.Red histograms represent experimental results.Blue solid,green dot-dashed and black dashed lines represent Gaussian random,Poissonian and Bose-Einstein fi tting respectively.

通過分別控制激光器的偏置電流(I=1.0Ith?2.0Ith)和反饋強度(0—10%),產生混沌光場,同時觀測光場的頻譜和時序,測量其對應的二階相干度g(2)(0).根據上述測量結果,不同的反饋強度和偏置電流得到不同混沌光場的動力學特性.當偏置電流I=1.5Ith,反饋強度(feedback strength)γ=1.1%時,根據80%的帶寬定義可得產生的混沌頻譜寬度約為6.7 GHz.在此條件下,通過改變入射光強,測量了不同光子數分布的混沌光場及對應的零延時二階相干度g(2)(0),測量結果如圖3所示.圖中紅色直方圖是去除背景噪聲后實驗測得的不同光子數分布的結果,藍色實線、綠色點劃線、黑色短劃線分別為采用高斯隨機分布、泊松分布、玻色-愛因斯坦分布對實驗進行理論擬合的結果.在入射平均光子數較小(〈n〉=0.88,1.24,1.64)時,如圖3(a)—(c)所示,采用高斯隨機分布理論擬合得到的平均光子數分別為〈n〉=0.81,1.23,1.54,采用玻色-愛因斯坦分布理論擬合得到的平均光子數分別為〈n〉=1.01,1.40,1.82,而采用泊松分布理論擬合的結果與實驗結果偏差較大.隨著入射平均光子數的逐漸增大(〈n〉=2.0,2.54,2.9),如圖3(d)—(f)所示,采用高斯隨機分布擬合的平均光子數分別為〈n〉=1.80,2.35,2.67,采用泊松分布理論擬合的平均光子數為〈n〉=2.46,2.67,3.17,而采用玻色-愛因斯坦分布理論擬合結果已經偏離實驗結果.綜合上述結果,在入射平均光子數較小時,采用高斯隨機分布和玻色-愛因斯坦分布得到的擬合結果與實驗結果符合較好,而當平均光子數較大時,采用高斯隨機分布和泊松分布得到的擬合結果與實驗結果符合較好.隨著平均光子數的逐漸增大,多光子概率相對于單光子概率增加更快,即多光子在探測時間中所占權重增加.同時由于探測多光子的響應時間小于單光子響應時間,所以探測器的響應時間會隨著光子數的增加而減小,從另外一角度說明,隨響應時間的縮短,同樣探測條件下一定程度上增大了探測器的取樣時間,當取樣時間遠大于光場的相干時間時,混沌光場逐步過渡到一種平穩的相干光場,因此出現隨著平均光子數的增大,光子數分布由玻色-愛因斯坦分布逐漸過渡到泊松分布.而在整個過程中高斯隨機分布的擬合與實驗結果最為接近.同時平均光子數從〈n〉=0.88到〈n〉=2.9的變化過程中,測量得到的g(2)(0)由2附近減小,逐漸趨于1,而從圖1(a)的理論分析可知理想混沌光場的g(2)(0)為2.這一結果主要是由于入射光增強時,探測器對多光子的響應能力有限,隨著光場的平均光子數增大,更多的雙光子或多光子在同一時刻進入探測器的概率增大,多光子響應時間影響增大,而探測器不能同時響應多個光子,測量得到的多光子信息就會降低,而這些多光子信息反映光子的聚束效應,因此測量得到的混沌光場的二階相干度會隨著平均光子數的增加而降低.

圖4 (網刊彩色)不同反饋強度下混沌光場的(a)—(c)頻譜圖和(d)—(f)二階相干度g(2)(0)的結果Fig.4.(color online)(a)–(c)Measured power spectra and(d)–(f)second-order degree of coherence g(2)(0)of chaotic laser in di ff erent feedback strengths.

在不同的偏置電流和反饋強度下,混沌光場呈現出不同的動力學特性,其對應的二階相干度也有所不同.故根據上述測量結果,首先將偏置電流固定在I=1.5Ith,通過改變反饋強度來觀測不同混沌態的動力學及光子統計特性.圖4為反饋強度分別為0.2%,1%以及10%時,光場的頻譜和二階相干度的實驗結果.圖4(a)—(c)分別為三種反饋強度下對應的頻譜.圖4(a)為激光器的輸出進入準周期狀態;圖4(b)為激光器的輸出進入混沌狀態,激光器的光譜線寬急劇展寬;圖4(c)為反饋強度增至10%,此時激光器的線寬變窄,混沌減弱.激光器按80%能量帶寬定義計算,其頻譜寬度分別5.3,6.7和7.8 GHz.激光器的輸出進入混沌狀態,且線寬展寬的情況下,其帶寬為6.7 GHz.圖4(d)—(f)分別為三種反饋強度下二階相干度隨平均光子數的變化情況,可以看到:反饋強度較弱(0.2%)時,頻譜會出現多個尖峰,并未進入完全的混沌狀態,在平均光子數為0.53時二階相干度g(2)(0)=1.943±0.097,隨著平均光子數的增大g(2)(0)逐漸趨于1,當平均光子數為1.76時g(2)(0)=1.083±0.054;隨著反饋強度增強至1%,頻譜變得平滑,并且混沌的帶寬展寬至6.7 GHz,在平均光子數為0.56時二階相干度g(2)(0)=2.276±0.114,并隨著平均光子數的增大g(2)(0)逐漸降低,在平均光子數為1.89時g(2)(0)=1.070±0.053;當反饋強度繼續增強,達到10%時,在平均光子數為0.52的二階相干度g(2)(0)=1.885±0.094,同樣g(2)(0)逐漸趨于1,在平均光子數為1.78時g(2)(0)=1.057±0.052.出現上述現象一方面是由于前述的單光子探測器對多光子信息響應的降低或缺失,另一方面隨著光強的增加,光場及光路中的雜散光和額外噪聲隨之增大,進而會減小光場的聚束效應,使二階相干度逐漸趨于1.

圖5 (網刊彩色)不同偏置電流且反饋強度為24%時,(a)—(c)混沌光場的時序和(d)—(f)二階相干度g(2)(0)的結果Fig.5.(color online)(a)–(c)Temporal waveformand and(d)–(f)second-order degree of coherence g(2)(0)of chaotic laser with γ=24%and diferent injection currents.

在之前研究的基礎上,為了更清楚地觀測混沌快速時域動力學演化過程及對應的光子統計特性,當偏置電流接近于閾值電流,反饋強度在5.6%到66.0%范圍內,激光器的輸出呈現LFF狀態.我們測量了偏置電流在閾值附近(I=1.07Ith?1.2Ith),反饋強度在24%,不同狀態混沌光場的時序及對應的g(2)(0).圖5所示為三種不同偏置電流(I=1.07Ith,1.12Ith,1.2Ith)下混沌光場的時序(圖5(a)—(c)),以及與之對應的二階相干度(圖5(d)—(f))的結果.從圖5可知,光場的時序變化從圖5(a)的LFF和穩態(stable emission)共存狀態,到圖5(b)的持續LFF狀態,最后進入圖5(c)的CC狀態.在光場由LFF進入CC狀態時,振蕩加快并且光譜明顯展寬,同時測量了該過程中光場的二階相干度.從圖5(d)—(f)可以看出,在平均光子數為0.5左右時,三種狀態下光場均呈現明顯的聚束效應.同樣由于多光子信息的缺失和額外雜散光的影響,隨著平均光子數的增大,光場的聚束效應逐漸減弱,二階相干度趨于1.由此可知,要準確地測量光場的光子統計特性及聚束效應,需要將入射的平均光子數控制在合適的區間并盡量降低背景和其他雜散光的影響.

4 結 論

基于HBT測量方案,對光反饋半導體激光器產生的混沌光場的光子統計分布和二階相干度進行了理論和實驗研究.測量了混沌光場不同入射平均光子數下的光子數分布和二階相干度,并對光場的光子數分布進行了理論擬合對比分析,發現光場的光子數分布隨著平均光子數的增加,會從玻色-愛因斯坦分布逐漸過渡到泊松分布,但在整個過程中始終滿足高斯隨機分布并符合較好.在此基礎上,通過控制偏置電流和反饋強度,分析對比了不同狀態的混沌光場的動力學特性及其二階相干度的變化情況.結果表明,當平均光子數處在0.5—1區間,可以觀察到不同狀態混沌光場顯著的聚束效應,隨著光強增大至2.0附近,光場的二階相干度逐漸趨于1.并對此結果給出了相應的物理解釋.該實驗表明,通過降低背景噪聲和其他雜散光的影響,同時選擇合適的實驗條件,利用該實驗方案可以準確測量混沌光場的二階相干度和光子統計分布.該研究方法為判別混沌光場提供了新的研究視角,并且為混沌光場在隨機數和保密通信等方面的應用以及下一步深入探究混沌光場的應用價值奠定了研究基礎.

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PACS:05.45.Gg,42.55.Px,42.50.ArDOI:10.7498/aps.66.120502

Photon number distribution and second-order degree of coherence of a chaotic laser:analysis and experimental investigation?

Lan Dou-Dou1)2)Guo Xiao-Min1)2)Peng Chun-Sheng1)2)Ji Yu-Lin1)2)Liu Xiang-Lian1)2)Li Pu1)2)Guo Yan-Qiang1)2)?

1)(Key Laboratory of Advanced Transducers and Intelligent Control System,Ministry of Eduction,Taiyuan University of Technology,Taiyuan 030024,China)
2)(Institute of Optoelectronic Engineering,College of Physics and Optoelectronics,Taiyuan University of Technology,Taiyuan 030024,China)

24 January 2017;revised manuscript

27 March 2017)

The researches on higher-order coherence and quantum statistics of light fi eld are the important researching issues in quantum optics.In 1956,Hanbury-Brown and Twiss(HBT)(Hanbury-Brown R,Twiss R Q 1956 Nature 177 27)revolutionized optical coherence and demonstrated a new form of photon correlation.The landmark experiment has far-reaching in fl uenced and even inspired the quantum theory of optical coherence that Glauber developed to account for the conclusive observation by HBT.Ever since then,the HBT e ff ect has motivated extensive studies of higher-order coherence and quantum statistics in quantum optics,as well as in quantum information science and cryptography.Based on the HBT scheme,the degree of coherence and photon number distribution of light fi eld can be derived from correlation measurement and photon counting technique.With the rapid development of the photoelectric detection technology,single-photon detection,which is the most sensitive and very widespread method of optical measurement,is used to characterize the natures of light sources and indicate their di ff erences.More recently,HBT scheme combined with single-photon detection was used to study spatial interference,ghost imaging,azimuthal interference e ff ect,deterministic manipulation and detection of single-photon source,etc.

Due to broadband RF spectrum,noiselike feature,hypersensitivity to the initial conditions and long-term unpredictability,chaotic laser meets the essential requirements for information security and cryptography,and has been developed in many applications such as chaos-based secure communications and physical random number generation,as well as public-channel secure key distribution.But the research mainly focused on macroscopic dynamics of the chaotic laser.Moreover,the precision of measurement has reached a quantum level at present.Quantum statistcs of light fi eld can also uncover profoundly the physical nature of the light.Thus,it is important to exploit the higher-order degree of coherence and photon statistics of chaotic fi eld,which contribute to characterizing the fi eld and distinguishing it from others.

In this paper,photon number distribution and second-order degree of coherence of a chaotic laser are analyzed and measured based on HBT scheme.The chaotic laser is composed of a distributed feedback laser diode with optical feedback in fi ber external cavity con fi guration.The bandwidth of the chaotic laser that we obtain experimentally is 6.7 GHz.The photon number distribution of chaotic laser is fi tted by Gaussian random distribution,Possionian distribution andBose-Einstein distribution.With the increase of the mean photon number,the photon number distribution changes from Bose-Einstein distribution into Poissonian distribution and always accords with Gaussian random distribution well.The second-order coherence g(2)(0)drops gradually from 2 to 1.By changing the bias current(I=1.0Ith?2.0Ith)and feedback strength(0–10%),we compare and illustrate di ff erent chaotic dynamics and g(2)(0).From low frequency fl uctuation to coherence collapse,the chaotic laser shows bunching e ff ect and fully chaotic fi eld can be obtained at the broadest bandwidth.Furthermore,the physical explanation for sub-chaotic or weakening of bunching e ff ect is provided.It is concluded that this method can well reveal photon statistics of chaotic laser and will open up an avenue to the research of chaos with quantum optics,which merges two important fi elds of modern physics and is extremely helpful for the high-speed remote chaotic communication.

chaotic laser,second-order degree of coherence,single photon counting,semiconductor laser

10.7498/aps.66.120502

?國家自然科學基金(批準號:61405138,61505136,61505137,61671316)、國家國際科技合作專項(批準號:2014DFA50870)和山西省自然科學基金(批準號:201601D011015,201601D021021)資助的課題.

?通信作者.E-mail:guoyanqiang@tyut.edu.cn

?2017中國物理學會Chinese Physical Society

http://wulixb.iphy.ac.cn

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.61405138,61505136,61505137,61671316),the Funds for International Science and Technology Cooperation Program of China(Grant No.2014DFA50870),and the Shanxi Nature Science Foundation of China(Grant Nos.201601D011015,201601D021021).

?Corresponding author.E-mail:guoyanqiang@tyut.edu.cn