關于電場中線性諧振子問題的求解

張小偉

(黔南民族師范學院物理與電子科學學院，貴州 都勻 558000)

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關于電場中線性諧振子問題的求解

張小偉

(黔南民族師范學院物理與電子科學學院，貴州 都勻 558000)

線性諧振子是量子力學中非常重要的一個模型，本文列舉了求解電場中線性諧振子能量和波函數的不同方法，并比較幾種方法的優缺點。

線性諧振子；微擾理論；費曼-海爾曼定理

量子力學中關于線性諧振子的研究很多，最主要是因為諧振子往往可作許多復雜運動的初步近似，所以諧振子的研究，無論在理論還是在應用方面都很重要。量子力學的各類教程中，最基本的是用薛定諤方程求解一維線性諧振子的能量和波函數。本文列舉幾種不同方法求解電場中的一維諧振子的能量和波函數，并對不同方法進行比較。

(1)

1 嚴格求解

一維自由線性諧振子的能量和波函數可以通過解定態薛定諤方程求得，能級為：

(2)

能級間隔為?ω，對應能量En的波函數為：

(3)

由歸一化條件可求得歸一化系數：

(4)

帶電諧振子因為受到電場的作用，其哈密頓算符中勢能項多了一個變量的一次項-qεx。用坐標平移法(1)式可變為：

(5)

(6)

所以帶電線性諧振子能級：

(7)

能級間隔為?ω，可見電場并沒有改變諧振子的能級間隔。

(8)

(9)

2 用定態微擾理論求解

針對帶電線性諧振子的問題，體系的哈密頓算符不是時間的顯函數，要用到定態微擾理論求解，微擾理論一般是從簡單問題的精確解出發求解復雜問題的近似解。

若電場為弱電場，則線性諧振子的哈密頓量可寫成：

(10)

(11)

一級近似的波函數為：

加了微擾的哈密頓量的能級近似值與嚴格求解一致，波函數則是在未加微擾時的波函數的基礎上，混進了其他的能級的波函數。

3 用變分法計算弱電場中諧振子的基態能量

微擾法求解問題時有個條件：哈密頓算符可以分為可以精確求解部分和微擾部分，如果條件不滿足，就不能使用微擾法，所以在上一種方法中需要強調的是電場為弱電場。量子力學中還有另一種近似方法——變分法，這種方法不需要上述條件的限制。用變分法求解系統基態能量時需要先選取試探波函數。

勢能的期望值為：

兩個期望值計算過程中用到廣義高斯積分。體系的哈密頓量的期望值為：

(12)

這是哈密頓量的期望值中最小的，也是最接近于基態的能量，可以認為是基態的能量：

這種方法求得的基態能量與用坐標變換法所求基態能量結果一致。

微擾法和變分法都是近似方法，微擾法使用時有一定的條件限制，但是可以求出體系的能量和波函數，并且一般可以得到相當精確的結果；變分法使用時不受條件限制，但是只能求出體系基態能量的近似值。

4 用費曼-海爾曼定理求解

(13)

根據海森堡運動方程和(1)式有:

(14)

設體系處在束縛態ψn下，對(14)式求平均值，

(15)

(16)

對上式積分可得：

(17)

(18)

這就是電場中諧振子的能級。費曼-海爾曼定理求解出的是體系哈密頓量的能量本征值，不涉及能量本征函數。

綜上所述，電場中一維線性諧振子可以通過坐標平移的方式嚴格求出體系的能量和波函數，若是電場為弱電場，還可以通過定態微擾理論求出近似解，這兩種方法是可以求解出各個能級的能量及對應的波函數；變分法和費曼-海爾曼定理只能求解體系的能量，并且變分法也只能求出基態的近似值。嘗試用不同的方法解決電場中諧振子問題，可以充分掌握這些方法的使用范圍及使用技巧，有利于更好地學習量子力學。

[1] 錢伯初，曾謹言.費曼—海爾曼定理在教學中的應用[J].大學物理，1986，5(3)：1-4.

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[3] 曾謹言.量子力學(卷I)[M].北京：科學出版社，2000.

[4] 蔣學華.一維諧振子能級的幾種求解方法[J].岳陽師范學院學報(自然科學版)，2002，(03)：56-58.

[5] 全宏俊，鄭立賢.量子力學中試探波函數的選擇[J].大學物理，2014，(02)：6-8.

Solution to the problem of linear harmonic oscillator in electric field

ZHANG Xiao-wei

(School of Physics and Electronics, Qiannan Normal College for Nationalities, Duyun 558000, China)

Linear harmonic oscillator is very important model in quantum mechanics, this paper enumerates several different measures for solving the energy and the wave function of linear harmonic oscillator in electric field, and compares the advantages and disadvantages of these measures.

Linear harmonic oscillator; Perturbation theory; Feynman-Herman theorem

2017-04-02

貴州省普通高等學校創新人才團隊項目(黔教合人才團隊字[2013]29)；貴州省科技廳聯合基金項目(黔教合J字LKQS[2013]16號)

張小偉(1980-)，女，碩士，副教授。

O413.1

A

1674-8646(2017)10-0178-03