解決數學抽象性的幾種思維策略

福建省三明市沙縣金沙高級中學 黃含笑

解決數學抽象性的幾種思維策略

福建省三明市沙縣金沙高級中學 黃含笑

高中數學學習相比初中數學學習，思維層次提高了不少。如何通過思維引導，幫助學生擺脫抽象思維的困擾，盡快適應高中數學學習呢？筆者認為，提升學生的思維能力，加強思維方法引導，幫助他們掌握一些特殊的思維策略是一條有效途徑。本文對于幫助學生擺脫數學抽象思維困擾有一定的指導意義。

系統化；具體化；幾何化；極限化；多樣化

帶著對高中學習的期待，伴著對高中生活的向往，初中的優秀學子們進入了高中數學課堂。隨著學習的深入，他們都感覺到了“理想很豐滿，現實很骨感”，相當多的同學出現了嚴重的學習障礙，甚至談數色變，影響了他們學習的積極性。為了幫助學生擺脫抽象思維的困擾，可以從如下幾個方面開展數學教學工作。

一、零散知識系統化

很多時候，大家往往都認為是學習內容多導致學生的學習困難。這是一個誤解，困擾學生的不是學習內容多，而是學習內容雜亂，沒有形成知識系統。單獨的知識點學習，學生只見樹木不見森林，因而學習的意義不夠明顯；系統化的學習通過把知識融會貫通，既見樹木也見森林，實現的不僅僅是簡單的知識積累，而且是一個數學能力的飛躍過程。學習的意義一下子得到彰顯，學生學習的動力也更加充足。

在函數學習中周期性與對稱性是學習的一個重點，但學生往往容易搞混淆，這時我們就要進行系統化的歸納，讓學生做學習筆記如下：

1.函數周期性的常見形式

2.函數的周期性與對稱性辨析

一般的，我們有奇函數關于原點中心對稱；偶函數關于y軸軸對稱。函數關于點的中心對稱，我們可以借助正弦函數來幫助理解，它的對稱中心是；函數關于直線軸對稱，我們也可以借助正弦函數來幫助理解，它的對稱軸為從正弦函數看，周期性和對稱性雖然不相同，但有一定的聯系。

函數的周期性與對稱性在表達式方面，學生很容易混淆，我們可以從下面的整理中幫助學生辨析清楚：

為了區分函數的周期性與對稱性，可以用口訣歸納為： 同號是周期， 異號變對稱。

3.周期性與對稱性之間的關系

利用函數周期性對稱性解題的例子比較多，這里舉一個例子。

當然，系統化整理好的筆記也是開放性的，要隨著學習與認識的深入進一步補充完善。學生通過對比、推理、總結等一系列思考過程，就能夠真正掌握這些知識要點。

二、抽象表達具體化

高中同學感到數學難學，主要是數學的抽象性太強，克服抽象性的對應辦法就是具體化。具體化在選擇填空題中常常表現為取特殊值。我們看下面一個例子。

由于這是一道選擇題，因此，我們也可以通過特殊值代入進行具體化處理。如，我們令則；再令，則有解得這與題中的矛盾，故排除C答案。再令則有：

如果不進行具體化的特殊值處理，很多學生就不知道從哪里入手解決問題。當然，在特殊值具體化的基礎上，還要慢慢引導學生抽象化地書寫解題過程。當學生真正理解了抽象性的表達，就能夠在具體與抽象之間自由地展開思維的翅膀。

在具體化的運用中，有個很典型的運用，就是抽象函數具體化。四種抽象函數：它們具體化后對應為一次函數、指數函數、對數函數、冪函數。這樣具體化后可以很容易地畫出抽象函數的草圖，對于解決抽象函數問題具有很大的幫助。

三、代數問題幾何化

數形結合是學好數學的基礎。如例1，通過對稱性使問題變得直觀可解。一般地，數軸、平面直角坐標系、集合中的韋恩圖、向量、對稱性、周期性，這些都是我們數學形象化的有效工具。

數形結合得以實現，往往是要賦予代數表達一個幾何的意義，如距離、斜率、面積等。

四、復雜對象極限化

有個數學游戲是這樣的：兩個人輪流往圓桌上放一元的硬幣，誰最后一個放上去恰好鋪滿圓桌，誰就算贏。如果你來參與游戲，你選擇先放還是選擇后放？極端化的思考是硬幣和圓桌一樣大小，先放的放上去，后放的沒有地方放，所以先放的贏！但桌子比硬幣大很多呀？這時，我們先放的可以放最中央，然后根據圓的對稱性，不論后放的放哪里，先放的都可以在對稱位置放，確保最后恰好鋪滿圓桌。

解數學問題時，我們經常要面對的是一個復雜的變化過程，這時我們往往需要了解其變化的趨勢，根據變化趨勢的極限值來判斷結果。如趨近于0的正數，其倒數就趨近于正無窮大，而趨近于0的負數，其倒數則趨近于負無窮大等等。

因為這是一個奇函數，所以首先可以排除選項A。接下來就需要有極限的思維了。當時，由于是有界的，分母趨近于無窮大，故函數值趨近于0，所以排除C。為了篩選B、D中的正確選項，我們取有從而排除了B，最后選出正確選項D。這里雖然是用了不太嚴格的極限化推理，但從變化趨勢看，是沒有問題的。

我們再來看一道例題。

極限化的思考對于填空、選擇等小題很有效。思考干脆利落，思路敏捷，節省了大量的解題時間，因此，我們要學會很好地利用這一思考工具。對于數學大題，我們很多時候也可以通過極限情況尋找到解題的最終結果，并啟發解題思路。

五、思考角度多樣化

解數學題時若能換個角度思考，常常會有一些新的發現，或者有一些巧妙的解法。很多同學看到選擇題都是先分析題干，再看選項。如果我們先分析選項，再回頭看題干，很多時候節約的不僅僅是閱讀題目的時間，還可以找到快捷的解法。

這是分段函數與不等式結合的選擇題。如果直接解不等式，就需要同時考慮定義域這一前提，而且容易出錯。如果我們從選項來思考，發現A、C選項的差別只是有沒有包含0，令代入符合題意，因此，是需要取值的。排除了不包含0的C、D。再令由也是符合題意的。因此排除B，選A。

所以解選擇題這種客觀題的時候，我們可以改變一下常規思路，不著急從題干到選項，而是直接先分析選項，這樣常常會有快捷的解答方法。

解數學問題時還有一種逆向思維，即從結果出發尋找原因，這也是換個角度思考，這在數學分析法解題中有大量的運用，這里不再贅述。

高中數學思維能力提升的途徑很多，本文無意追求面面俱到的論述，只是選取擺脫數學抽象化困擾中比較典型的幾個方面展開論述，提出一些應對思維抽象性的解決策略，以起到拋磚引玉的作用。

[1]徐月秀.淺談數學思維策略在解題中的運用[J].數理化學習，2016（01）：41-42.

[2]杜學文.淺談高中數學解題的思維策略[J].理科考試研究，2014（06）：32.

[3]盧浩慧.高中數學解題思維策略研究[D].河南師范大學，2015（04）：01.