電偶極子的各向異性輻射特性

李瑾，馮曉毅，王明軍

（1.陜西學前師范學院計算機與電子信息系，西安710100；2.西北工業大學電子工程學院，西安710072；3.咸陽師范學院電子工程學院，陜西咸陽712000）

電偶極子的各向異性輻射特性

李瑾1,2，馮曉毅2，王明軍3

（1.陜西學前師范學院計算機與電子信息系，西安710100；2.西北工業大學電子工程學院，西安710072；3.咸陽師范學院電子工程學院，陜西咸陽712000）

目的研究均勻各向異性介質中電磁源的輻射特性及其規律。方法基于電磁場的方向多長度標準理論，建立各向異性介質中標量勢的達朗伯方程，求解微分方程得到推遲形式的標量勢和矢量勢的解析表達式，通過與現有文獻比較驗證該表達式正確性。結果得到了電各向異性介質中電偶極子的輻射電磁場，當介質為各向同性介質時，所得輻射場與現有文獻完全一致，數值仿真了電偶極的輻射特性和結果的物理機制。結論在各向異性介質中，電偶極的輻射特性具有各向異性特性，在某一方向觀測時，與該方向垂直方向的介電常數越大，輻射越強。為各向異性介質如磁化等離子體等介質中雷達、天線的工程優化設計提供了理論基礎。

電磁輻射；電偶極子；多尺度理論

隨著電子科技應用的不斷進步，各向異性介質中如磁化等離子體、晶體以及復合介質等越來越多的光電磁問題受到國內外學者及國防等的普遍關注，得出這些介質中電磁源的解析表達式顯得尤為重要。這一表達式的獲得不僅是完善電磁場理論本身發展的需要，而且在各向異性介質中目標識別、雷達天線等領域有著重要的應用前景。在這一研究領域，N.P.Zhuck在四維空間得到獨立于坐標的格林函數[1]，各向異性介質中的并矢格林函數十分有用，提供了獲得該介質中電磁場的簡便方法[2]。在某些各向異性介質的空間域上，人們對精確封閉形式的格林函數進行了較為詳細的研究[3]。同時，旋光雙軸各向異性介質、具有仿射變換的單軸雙各向異性介質以及軸向雙各向異性介質中的格林函數已被詳細地描述[4—8]。實際上，基于國際單位制，國內外學者在各向異性介質中電磁波的輻射、傳播等方面做了許多有意義的探索。一種創新性的理念——多長度在不同的方向進行不同的伸縮提出以后，被證實可以將均勻各向異性介質變換為均勻的各向同性介質，可以進行目標整形，如將橢圓柱體整形為圓柱體。在將這一多長度標準應用與研究各向異性介質時，必須研究電磁場理論的多長度標準變換及其應用[9]。以文獻[10]為基礎，當等離子體球的半徑遠小于入射電磁波的波長時，人們獲得了等離子體球內外的電磁場表達式[11]。基于電磁場的多長度標準變換理論，位于平面電磁波照射和波束照射下，一個各向異性均勻介質球內外的電磁場得到了詳細的研究[12—13]，進而人們獲得了均勻各向異性介質球的瑞麗散射特性，并做了仿真與分析[13]。因此，各向異性介質中電磁波的傳播、目標散射及其電磁源的輻射受到國內外學者的普遍關注。

文中所討論的內容是文獻[10—14]中各向異性電磁問題的擴展與延伸，主要貢獻有以下幾點：獲得了電各向異性介質中的d′Alembert方程；提出了各向異性介質中的洛倫茲規范；利用電磁場的多長度標準理論將各向異性介質中的非齊次波動方程重構為各向同性介質空間的非齊次波動方程；獲得了各向異性介質中矢量磁位和標量電位的推遲勢表達式。整篇文章中電磁場的時間因子采用ejωt且予以忽略，矢量用黑斜體表示，矢形式的介電常數設為ε=ε0(ε11e1e1+ε22e2e2+ε33e3e3)，其中ei(i=1,2,3)為笛卡爾坐標系中的單位矢量。

1 各向異性均勻介質中的光電輻射場

1.1 電各向異性介質中標量勢的達朗伯方程

在一般坐標系中，無耗均勻各向異性介質的電磁參數如果用矩陣描述將是一個對稱矩陣，例如介電常數張量可以表示為：

利用矩陣知識可以獲得上式的三個特征矢量和三個特征值λ1，λ2，λ3，選擇該三個特征矢量作為新坐標系的單位矢量。為方便起見，稱這一新的坐標系為主坐標系。在主坐標系中，上式變為：

主坐標系中的電磁量和一般坐標系中的電磁量可用特征矢量加以轉換，因此只需研究主坐標系中的達朗伯方程。為了習慣上的方便，仍將λ1，λ2，λ3表示為λ1→ε11，λ2→ε22，λ3→ε33。設主坐標系中電磁參數的并矢為：

介質中電磁源和電磁場所滿足的微分方程，具體為：

上述方程是研究各向異性介質中輻射場的基礎。由于▽·B=0，所以，可以令：

式中：A稱為矢量磁位，一般情況下是空間位置和時間的函數。將式（2）代入式（1）的第二式可得：

由于式（3）的獲得未涉及介質的電磁參數，所以對各向異性介質有效，具有規范不變性。其中φ稱為標量電位或標量勢。將式（2）、（3）的電場強度與電位移矢量的關系代入式（1）的第一式可得：

其中εr=ε11e1e1+ε22e2e2+ε33e3e3，稱為并矢形式的相對介電常數。式（4）為標量電位和矢量磁位耦合的微分方程，求解十分困難，幸運的是矢量磁位A的旋度已確定，但其散度沒有給定，為簡化式（4）提供了可能，只要提出合理的散度規范，就可以進行簡化。各向同性介質空間，由于麥克斯韋方程僅給出了矢量勢A的旋度，沒有確定該矢量勢的散度。洛倫茲基于此提出了各向同性介質空間的規范已經被證明在簡化達朗貝爾方程方面很有用，并具有明顯的物理意義，但該規范不適應于各向異性介質空間。在各向異性介質空間，矢量勢的散度與標量勢的關系必須滿足：等式兩端在量綱上相等；包含了各向同性介質空間的洛倫茲規范。為此，提出以下各向異性介質空間的規范[15]，具體為：

方程（5）變為：

式（6）是各向同性介質空間的洛倫茲規范，也表明了提出的各向異性介質空間規范式（5）的有效性。利用式（5）和（4）可得：

1.2 標量勢和矢量勢的時諧解

將式（7）和各向同性介質中的非齊次微分方程進行比較，不難發現，求解式（7）的困難在于空間導數前面的系數εii的存在。為此，可引入方向長度多標準坐標系'∑，令其長度關系為：

方程（7）將變為：

應注意的是式（9）中的標量勢和電荷分布是在主坐標系中給出的。為了簡單起見，研究時諧場，設時間因子為ejωt，ω為角頻率。由文獻[10—11]可得：

將式（10）、（11）代入式（9），得到：

利用格林公式和Sommerfeld輻射條件，可得方向長度多標準坐標系中標量勢的解為：

利用方向長度多標準坐標系和主坐標系電磁參量的變換關系可得主坐標系中標量勢的表達式：

利用式（5）和麥克斯韋方程可得矢量磁位表達式：

由此可以看出，相對磁導率僅對標量勢的相位有貢獻，對幅度大小沒有貢獻。除此之外，矢量磁位的大小正比于相對磁導率，且是介電常數并矢的復雜函數。如果所得各向異性介質中結果正確，應包含各向同性均勻介質中矢量磁位和標量電位的解析表達式。當εii=εr(i=1,2,3)，介質將變為各向同性電介質，將其代入式（14）、（15）可得：

顯然，上述結果與現有電磁場理論所得各向同性介質空間矢量磁位和標量電勢的時諧表達式完全一致，說明了式（14）、（15）的正確性。

1.3 電偶極子輻射場

前面得出了電各向異性、磁各向同性介質中電磁源的矢量磁位A和標量電勢φ，因此，由麥克斯韋方程可以得出該介質中的輻射場，也可稱為時諧電磁源的推遲場，具體為：

由式（15）可得分量表達式：式中：

代入式（17），可得輻射磁場為：

其中：

代入（17）可得：

式（21）、（22）是各向異性介質中電偶極子的輻射場。當介質為各向同性介質，即ε33=ε22=ε11=ε，式（21）、（22）變為：

其中m，k的具體表達式見式（19）。以典型各向異性介質石膏為例，觀測點距電偶極的距離為10 km，其相對介電常數為εr=9.9e1e1+5.1e2e2+4.6e3e3。式（24）的部分仿真結果如圖1—4所示，在垂直于電偶極的方向，輻射最強，這一點和各向同性介質中的電偶極輻射相同。當φ從0增加到0.5π的過程中，輻射不斷增強。當觀測點位于（0.5π，0），與電偶極子垂直方向的相對介電常數為5.1；當觀測點位于（0.5π，0.5π），與電偶極子垂直方向的相對介電常數為9.9。由于在笛卡爾坐標系中三個坐標軸方向的介電常數具有相同的地位，因此圖1表明，在各向異性介質中，電偶極的輻射特性具有各向異性特性。也就是說，在某一方向觀測時，與該方向垂直方向的介電常數越大，輻射越強，反之亦然。圖2為輻射隨角度φ的變化，徑向輻射的變化特點與圖1相同。圖3表明，在電偶極子方向上的介電常數越大，徑向輻射越小，圖4為介電常數張量對徑向輻射的影響，可以看出，隨著介電常數的增大，徑向輻射增強，與圖1具有相同的變化規律。各向異性介質中電偶極子輻射的各向異性特性為涂覆各向異性介質目標的識別與隱身設計提供了理論參考。

圖1 能流密度隨θ的變化

圖2 能流密度隨φ的變化

圖3 能流密度隨ε3的變化

圖4 能流密度隨ε1，ε2的變化

2 結語

基于電磁場的方向長度多標準理論，研究了各向異性介質中的光電輻射問題。首先提出了各向異性介質中的洛倫茲規范，得到了電各向異性介質中的d'Alembert方程。以此為基礎獲得了各向異性介質中時諧場的推遲勢表達式，與各向同性介質空間的推遲勢進行比較，驗證了該表達式的正確性。以電偶極子為例，對各向異性介質中的輻射電磁場特性進行了仿真與分析，給出了各向異性介質中電偶極子輻射場的表達式。當介質為各向同性介質時，所得結果與現有文獻結果完全一致，表明了結果的正確性。文中所得結果為各向異性介質如降雨、等離子體中的雷達、天線等工程設計以及各向異性介質天線、各向異性介質波導和各向異性目標檢測等領域研究提供了理論基礎和有益探索。

[1]ZHUCK N P,OMAR A S.Radiation and Low-Frequency Scattering of EM Waves in a General Anisotropic Homogeneous Medium[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation,1999,47(8):1864—1873.

[2]TAI C T.Dyadic Green’s Function in Electromagnetic Theory[M].2nd Edition.New York:IEEE Press,1994.

[3]WEIGLHOFER W S.Analytic Methods and Free-space Dyadic Green’s Function[J].Radio Science,1993,28(5): 847—857.

[4]PRZEZDZIECKI S,LAPRUS W.On the Representation of Electromagnetic Fields in Gyrotropic Media in Terms of Scalar Potential[J].J Math Phys,1982,23(9): 1708—1712.

[5]KAKLAMANI D I,UZUNOGLU N K.Radiation of Dipole in an Infinite Triaxial Anisotropic Medium[J]. Electromagn,1992,12(3):231—245.

[6]LAKHTAKIA A,WEIGLHOFER W S.Source-region Electromagnetic Field in an Affinely Transformable AUBM[J].International Journal of Infrared Millimeter Waves,1998,19(1):95—106.

[7]OLYSLAGER F,LINDELL I V.Closed form Dreen’s Dyadic for a Class of Bi-anisotropic Media with Axial bi-anisotropy[J].IEEE Transactions on Antennas& Propagation,1998,46(12):1888—1890.

[8]ZHUCK N P,OMAR A S.EM Wave Excitation and Propagation in a Generally Anisotropic Homogeneous Medium[J].IEEE Antennas and Propagation Soc Int Symp,Newport Beach,1995,CA,1(1):756—759.

[9]李瑾,各向異性介質中的庫侖定律—多長度標準的應用[J].激光與電磁子學進展.2015,52(1):062601-1-062601-5.

[10]LI Y L,HUANG J Y.The Scales Transformation of Electromagnetic Theory and Its Application[J].Chinese Physics,2005,14(4):646—651.

[11]LI Y L,WANG M J,DONG Q F.Investigation of Electric Fields Inside and Outside a Magnetized Cold Plasma Sphere[J].Chinese Physics B,2010,19(11):115204-1-4.

[12]LI Y L,WANG M J.Electric Fields Inside and Outside an Anisotropic Dielectric Sphere[J],Chinese Physics B, 2009,18(6):2420—2425.

[13]LI Y L,LI J,DONG Q.F,et al.Internal and External Electric Fields for An Anisotropic Dielectric Particle in Electromagnetic Beams[J].IEEE Transaction on Antennas and Propagation,2013,61(9):4754—4758.

[14]LI Y L,LI J,DONG Q.F,et al.Investigation of Scattering for Uniformly Anisotropic Sphere[J].Acta Optica Sinica,2012,32(4):0429002-1.

[15]陳燊年.介質為各向異性的電磁場[M].北京:科學出版社,2012.

[16]WILLIAM H.HAYT.J,John A B.Engineering Electromagnetics[M].New York:Mc Graw Hill,2010.

Anisotropic Radiation Characteristics of Electric Dipole

LI Jin1,2,FENG Xiao-yi2,WANG Min g-jun3
(1.Department of Computer and Electronic Information,Shaanxi Xueqian Normal University,Xi′an 710100,China; 2.College of Electronic Information,Northwestern Polytechnical University,Xi′an 710072,China; 3.College of Electronic Information,Xianyang Normal University,Xianyang 712000,China)

ObjectiveTo study radiation property and radiation law of electromagnetic sources in homogeneous anisotropic medium.MethodsBased on the direction multi length standard theory of EM waves,the non-homogeneous differential equation of scalar potential was established.By solving this equation,explicit exact representations of scalar potential and magnetic vector potential were developed respectively;and their validity were demonstrated through comparing them with the available literatures.ResultsThe radiating field of an electric dipole was acquired in the presence of anisotropic medium,and this obtained radiating field was in agreement with that in the available reference as the material being the isotropic one.The radiation characteristics of the electric dipole were simulated and analyzed physically.ConclusionIn the anisotropic medium, the radiation of an electric dipole has the anisotropic property.When radiation is observed in one direction,the larger the dielectric constant in the direction vertical to the observing direction is,the more intensified the radiation is.It provides a theoretical basis for engineering optimization design of radar and antenna in anisotropic media such as magnetized plasma.

electromagnetic radiation;electric dipole;scales theory.

10.7643/issn.1672-9242.2017.07.004

TJ760.6+1；O451

A

1672-9242(2017)07-0018-06

2017-04-19；

2017-05-15

國家自然科學基金資助項目（60971079）；陜西省教育廳自然科學基金資助項目（16JK1185）

李瑾（1986—），女，碩士，主要研究方向為電磁波傳播與散射。