多輸出量測量模型的不確定度評定方法

諶 貝龔鵬偉謝 文姜 河馬紅梅楊春濤，2

（1.北京無線電計(jì)量測試研究所；2.計(jì)量與校準(zhǔn)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100039）

多輸出量測量模型的不確定度評定方法

諶 貝1龔鵬偉1謝 文1姜 河1馬紅梅1楊春濤1，2

（1.北京無線電計(jì)量測試研究所；2.計(jì)量與校準(zhǔn)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100039）

本論文基于GUM不確定度評定方法，提出了多輸出量測量模型的測量不確定度評定方法，并對如何獲得多輸出量測量模型的包含范圍進(jìn)行了舉例說明。

GUM 多輸出量 不確定度 包含范圍

AbstractA method based on GUM uncertainty framework is proposed for measurement uncertainty evaluation of multivariate measurement models.The way of specifying the coverage region of multivariate measurement models is also illustrated.

Key wordsGUM Multivariate Uncertainty Coverage Region

1 引言

測量不確定度表示指南中推薦的評定方法（簡稱GUM）[1]是最為常用的測量不確定度評定方法，經(jīng)過幾十年的發(fā)展和完善，已經(jīng)為國際上廣泛使用，涉及到標(biāo)準(zhǔn)建立、量值比對、技術(shù)文件編制、計(jì)量服務(wù)等諸多領(lǐng)域。GUM方法所針對的測量模型是單輸出量測量模型，即測量模型包含若干實(shí)數(shù)輸入量X1,X2,...,XN和一個(gè)實(shí)數(shù)輸出量Y，表示為：

式中：X——實(shí)數(shù)的輸入量矢量，X=(X1,X2,...,XN)T。

然而在日常評定中，其測量模型可能是包含多個(gè)輸出量的，GUM方法并不適用于該類測量模型。例如測量反射系數(shù)的過程中，校準(zhǔn)后的復(fù)反射系數(shù)Γ和未修正的復(fù)反射系數(shù)W之間的關(guān)系表示為

式中：a，b，c——復(fù)校準(zhǔn)系數(shù)[2，3]。

復(fù)數(shù)量Γ可視為雙輸出量（ΓR，ΓI），使用GUM方法進(jìn)行不確定度評定時(shí)，需要首先根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部將該測量模型分解為兩個(gè)實(shí)數(shù)模型。

若該測量過程最終是為了獲得校準(zhǔn)系數(shù)，那么式（2）轉(zhuǎn)化為隱函數(shù)：

此時(shí)，三個(gè)校準(zhǔn)系數(shù)a，b，c就是測量模型的輸出量。當(dāng)考慮到校準(zhǔn)系數(shù)為復(fù)數(shù)時(shí)，該模型的輸出量個(gè)數(shù)為6。此時(shí)利用GUM方法對每個(gè)輸出量進(jìn)行不確定度評定是無法實(shí)現(xiàn)的。

雖然GUM的相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)文件中并沒有直接考慮多輸出量測量模型，但是從GUM的評定原理和不確定度傳播律中，并未發(fā)現(xiàn)該方法的應(yīng)用會受到輸出量數(shù)量的限制。利用矩陣的表示方法，能夠?qū)⒍噍敵隽亢投噍斎肓客瑫r(shí)納入至單次計(jì)算過程中，使GUM方法能夠適用于多輸出量測量模型。本文中將對GUM如何應(yīng)用于多輸出量測量模型的不確定度評定進(jìn)行討論。

2 不確定度評定步驟

無論針對何種測量模型，使用何種不確定度評定方法，其評定步驟是基本一致的，包括建模、傳播和總結(jié)三部分。

建模部分是不確定度評定中最基礎(chǔ)的環(huán)節(jié)，其中的主要步驟包括定義被測的輸出量Y（被測量矢量），確定與Y相關(guān)的輸入量X，定義與X和Y相關(guān)的測量模型，以及根據(jù)X中各個(gè)量的已知信息來給出各自的概率密度函數(shù)（PDF）。常用的概率密度函數(shù)包括高斯（正態(tài)）分布、矩形（均勻）分布等，但是當(dāng)X中的兩個(gè)量之間不獨(dú)立時(shí)需要給出聯(lián)合PDF。

傳播部分是指根據(jù)測量模型，由X中每個(gè)量的PDF獲得Y的（聯(lián)合）PDF。

根據(jù)Y的PDF，將Y的期望值作為Y的估計(jì)值y，將Y的協(xié)定差矩陣作為y的協(xié)方差矩陣Uy，并根據(jù)給定的包含概率p獲得包含范圍。

2.1 建模

1）定義被測的輸出量Y（被測量矢量）；

2）確定與Y相關(guān)的輸入量X；

3）定義與X和Y相關(guān)的測量模型；

4）根據(jù)X中各個(gè)量的已知信息來給出各自的概率密度函數(shù)（PDF），例如高斯（正態(tài)）分布、矩形（均勻）分布等；或者當(dāng)X中的兩個(gè)量之間不獨(dú)立時(shí)給出聯(lián)合PDF。

2.2 傳播

根據(jù)測量模型，由X中每個(gè)量的PDF獲得Y的（聯(lián)合）PDF。

2.3 總結(jié)

利用Y的PDF，可以獲得：

1）Y的期望值作為Y的估計(jì)值y；

2）Y的協(xié)方差矩陣作為y的協(xié)方差矩陣Uy；

3）根據(jù)給定的包含概率p獲得Y的包含范圍。其中，包含范圍是指基于可獲得的信息確定的包含被測量矢量的一組值的范圍，被測量矢量的值以一定概率落在該范圍中。該定義與“包含區(qū)間”的定義類似，不同的是，包含區(qū)間在數(shù)學(xué)上只是一維的概念，而包含范圍不再局限在一維空間中。

3 多變量的概率分布

在JJF1059.2—2012《用蒙特卡洛法評定測量不確定度》[4]中，給出了在不確定度評定的建模過程中一些常用的輸入量PDF類型，其中涉及的多變量分布只有多變量正態(tài)分布。除了多變量正態(tài)分布，本文中還會介紹另一種常用的多變量分布——多變量t分布。

3.1 多變量正態(tài)分布（多元正態(tài)分布）

如果僅知N維量X=(X1,X2,...,XN)T的最佳估計(jì)值x=(x1,x2,...,xN)T及嚴(yán)格正定不確定度矩陣，那么X的分布為多變量正態(tài)分布，表示為

式中：μ——期望；V——X的正定協(xié)方差矩陣。

3.2 多變量t分布

假設(shè)有n組示值x1,x2,...,xn，每組示值都為N×1維，其中n＞N，它們都由多變量高斯分布 N(μ,Σ)獨(dú)立獲得，但期望μ和N×N維協(xié)方差Σ未知。假設(shè)N×1維的輸入量X等于μ，那么基于聯(lián)合先驗(yàn)分布和貝葉斯原理，X的邊緣（聯(lián)合）分布為多變量t分布tν(xˉ,S/n)，自由度為 ν=n-N ，其中：

此時(shí)，X的期望和方差分別為：

4 基于GUM的多輸出量測量模型的不確定度評定

測量模型根據(jù)其表達(dá)式形式可分為顯函數(shù)和隱函數(shù)兩種，不同形式模型的不確定度評定過程會有一定差異，但原理基本相同。

4.1 顯函數(shù)模型

如果測量模型中具有多個(gè)輸出量Y1,Y2,...,Ym，且測量模型可表示為

其中Y=(Y1,Y2,...,Ym)T，則該模型為顯函數(shù)形式，f代表了測量函數(shù)。任意具體的函數(shù) fj(X)只與X的某個(gè)子集相關(guān)，而每個(gè)輸入量分量Xi出現(xiàn)在至少一個(gè)函數(shù)中。

當(dāng)X的估計(jì)值為x時(shí)，則Y的估計(jì)值為y=f(x)。y的協(xié)方差矩陣表示為

式中：Cx——X=x時(shí)的m×N維靈敏系數(shù)矩陣。靈敏系數(shù)矩陣表示為

以式（2）所表示的測量過程對本方法進(jìn)行舉例說明。當(dāng)使用上文的符號進(jìn)行相關(guān)表示時(shí)，有N=8，m=2，以及

其中的下標(biāo)R和I分別表示實(shí)部和虛部。那么反射系數(shù)的估計(jì)值可根據(jù)式（2）計(jì)算獲得。當(dāng) X=x，Ux為x的8×8維協(xié)方差矩陣時(shí)，y的2×2維的協(xié)方差矩陣Uy可由式（5）計(jì)算，其中2×8維的靈敏系數(shù)Cx由下式給出

代入具體數(shù)據(jù)后，就能夠獲得所有輸出量的不確定度。

4.2 隱函數(shù)模型

某些情況下，測量模型只能以隱函數(shù)形式表示

h=(h1,h2,…,hm)T代表了若干測量表達(dá)式。當(dāng)X的估計(jì)值為x，Y的估計(jì)值為y時(shí)，有

通常式（8）的解很難直接獲得，需要利用例如牛頓法[5]或牛頓法的衍生方法，通過迭代獲得最終解。

y的m ×m維協(xié)方差矩陣Uy可由式（9）獲得

Cy是m ×m維靈敏系數(shù)矩陣，其中包括偏導(dǎo)數(shù)?hl/?Yj，l=1,2,…,m ，j=1,2,…,m ；Cx是m×N維靈敏系數(shù)矩陣，其中包括偏導(dǎo)數(shù)?hl/?Xi，l=1,2,…,m ，i=1,2,…,N。所有導(dǎo)數(shù)都在X=x和Y=y時(shí)獲得。

為了形式上與式（4）相比較，式（9）可進(jìn)行變形，得到

將式（3）的例子用上文的符號進(jìn)行表示。因?yàn)橐@得三個(gè)復(fù)校準(zhǔn)系數(shù)的解必須具有至少三次測量過程，所以有N=12，m=6，以及

令h2j-1(Y,X)=0和h2j(Y,X)=0分別代表式（3）中涉及實(shí)部或虛部計(jì)算的隱函數(shù)形式方程，其中有j=1,2,3。將由此得到的6個(gè)方程聯(lián)立，Wj和Гj的估計(jì)值代入后計(jì)算得到校準(zhǔn)系數(shù)的估計(jì)值

在 X=x，Y=y時(shí)，根據(jù)式（9）計(jì)算得到y(tǒng)的6×6維協(xié)方差矩陣Uy，其中Cy是包含 ?hl/?Yk的6×6維靈敏系數(shù)矩陣，Cx是包含 ?hl/?Xi的6×12維靈敏系數(shù)矩陣，l=1，2，…，6，k=1，2，…，6，i=1,2,…,12 ，Ux是x的12×12維協(xié)方差矩陣。

在本示例中，雖然有12個(gè)輸入量，但是由測量過程可以分析得出，6個(gè)方程的任意一個(gè)只涉及4個(gè)輸入量Wj,R,Wj,I,Γj,R,Γj,I，這會使原計(jì)算變得更為簡單。

5 矢量輸出量的包含范圍

包含范圍是不確定度的重要評價(jià)指標(biāo)。對多輸出量測量模型而言，輸出量Y=(Y1,Y2,...,Ym)T的估計(jì)值為y，其協(xié)方差矩陣為Uy。當(dāng)要求的包含概率為p時(shí)，則需要在m維空間中確定一個(gè)包含范圍RY，使Y以概率p落在該范圍中。通常，當(dāng)Y的PDF確定后，無論是某個(gè)具體包含范圍的包含概率，還是具有某個(gè)包含概率的包含范圍，都是已經(jīng)確定的。

當(dāng)測量模型中包含多輸出量時(shí)，對其直觀地表示將很困難。而雙輸出量測量模型是最簡單的多輸出量測量模型，足以說明多輸出量的包含范圍與單輸出量的包含區(qū)間之間的區(qū)別。本文將利用雙輸出量測量模型對包含范圍進(jìn)行闡述。

假設(shè)如下情況：在直角坐標(biāo)系中，Y=(Y1,Y2)T分別對應(yīng)坐標(biāo)軸Y1（橫坐標(biāo)）和Y2（縱坐標(biāo)）。Y的已知信息包括估計(jì)值y1和y2，對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（y1）和u（y2），以及由相同儀器獲得估計(jì)值所產(chǎn)生的協(xié)方差u（y1，y2）。在GUM不確定度框架中，由于沒有其它信息，表征Y的聯(lián)合PDFgY1,Y2(η1,η2)為雙變量高斯PDFN(y,Uy)，其中：

當(dāng)y1=y2=0，u2（y1）=2.0，u2(y2)=1.0，u(y1,y2)=u(y2,y1)=0.0時(shí)，在該分布下進(jìn)行1000次隨機(jī)抽樣，如圖1（a）所示。圖中矩形表示的是95%包含概率的包含范圍，面積27.9。矩形包含范圍是通過分別計(jì)算每個(gè)輸出量的邊緣PDF獲得的

當(dāng)y1=y2=0，u2(y1)=u2(y2)=2.0，u(y1,y2)=u(y2,y1)=1.9時(shí)，1000次隨機(jī)抽樣如圖1（b）所示，95%包含概率的矩形的包含范圍，面積35.6。

需要指出，矩形包含范圍只是包含范圍眾多表示形式中的一種。另一種常用的包含范圍是橢圓形式[6]：

式中：kp——已知的常數(shù)；p——取該P(yáng)DF時(shí)橢圓范圍中的概率。

該形式能夠更好地表現(xiàn)輸出量之間的關(guān)系。例如對于圖1（b）中的隨機(jī)分布來說，兩個(gè)輸出量是相關(guān)的，當(dāng)矩形的邊長與坐標(biāo)軸平行時(shí)，其表示的包含范圍中大部分區(qū)域中并無數(shù)據(jù)，無法很好地反映數(shù)據(jù)分布，而相同包含概率下，橢圓形式的包含范圍會小得多，所以更加合理。

若輸出量多于兩個(gè)，那么該測量模型很難通過直觀的圖形方式進(jìn)行分析，但尋找包含范圍的原理及計(jì)算方法與雙輸出量模型中是相同的，只不過將其中的矩形、橢圓等二維圖形換為超矩形、超橢球體等多維體。

6 結(jié)束語

根據(jù)GUM不確定度評定方法，提出了針對顯函數(shù)和隱函數(shù)類型的多輸出量測量模型的測量不確定度評定方法，并利用雙輸出量測量模型，舉例說明了如何獲得給定概率的矩形或橢圓包含范圍。利用本論文的結(jié)果，能夠?qū)UM方法的應(yīng)用拓展到多輸出量測量模型領(lǐng)域，為測量不確定度的評定提供新的思路。

[1]國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局.JJF 1059.1-2012，測量不確定度評定與表示[S].北京：中國質(zhì)檢出版社，2012.

[2]Engen G F.Microwave circuit theory and foundations of microwave metrology[M].London：Peter Peregrinus，1992.

[3]Kerns D M，Beatty R W.Basic theory of waveguide Junctions and introductory microwave network analysis[M].London：Pergamon Press，1967.

[4]國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局.JJF 1059.2-2012，用蒙特卡洛法評定測量不確定度[S].北京：中國質(zhì)檢出版社，2012.

[5]Gill P E，Murray W，Wright M H.Practical Optimization[M].London：Academic Press，1981.

[6]Mardia K V，Kent J T，Bibby J M.Multivariate Analysis[M].London：Academic Press，1979.

A Method of Measurement Uncertainty Evaluation for Multivariate Measurement Models

CHEN Bei1GONG Peng-wei1XIE Wen1JIANG He1MA Hong-mei1YANG Chun-tao1，2
（1.Beijing Institute of Radio Metrology and Measurement；2.National Key Laboratory of Metrology and Calibration Technology，Beijing，100039，China）

TB9

A

10.12060/j.issn.1000-7202.2017.03.01

2017-03-01，

2017-06-14

諶貝（1985.12-），男，高級工程師，主要研究方向：無線電計(jì)量技術(shù)。

1000-7202（2017）03-0001-04