以點帶面 精彩紛呈

劉媚

【摘要】用“待定系數法”求二次函數解析式，用“數形結合”“分類討論”的思想復習二次函數的性質，這種以點帶面的數學復習，能切實提高復習效率。

【關鍵詞】 二次函數；知識發散；綜合運用

二次函數部分的知識在中考中占相當重要的位置。學生學時覺得吃力，教師教時覺得費勁。我在聽了一位老教師的“二次函數復習課”后深受啟發，借鑒這位老師的復習過程，用學案的形式貫穿課堂，學生學得輕松，步步深入，效果甚佳。現我把這些略加梳理編輯成文，供數學同仁們參閱，能提出更完善的建議。

一、導入階段

問題一：已知二次函數的圖像經過點A（-1，0）、B（3，0）、C（2，-3），求此二次函數的解析式，并畫出它的圖像。

【點評】用待定系數法求二次函數解析式是必須掌握的基礎題。解決方法有三種：（1）一般式y=ax?+bx+c（a≠0）、（2）頂點式y=a（x+h）?+k（a≠0）、（3）兩根式y=a（x-x1）（x-x?）（a≠0）。選擇哪一種方法必須根據問題的要求而定，而對于本題來說運用兩根式更便捷。

【解】設所求二次函數為y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）

y=a（x+1）（x-3）

又過點c： -3=a（2+1）（2-3）

解之： a=1

∴ 所求二次函數解析式為y=（x+1）（x-3）

即 y=x?-2x-3

圖像略，但在后面將在此圖像上不斷探究。

二、回顧性質

問題二：針對所求的 y=x?-2x-3回顧思考下列問題 ①開口方向； ②對稱軸方程； ③頂點坐標； ④最大（小）值； ⑤增減性。

【點評】此處可以師生互動給出二次函數的性質，同時說明其性質取決于兩個方面，一方面是頂點坐標，把上述二次函數配方得y=（x-1）?-4聯想到頂點式y=a（x+h）?+k（a≠0）能得到對稱軸方程，頂點坐標。另一方面由a決定開口方向，最大（小）值和增減性，同時采用“數形結合”“分類討論”的思想解決問題將能使學生更能理解。

【解】把y=x?-2x-3配方成y=（x-1）?-4

① ∵a=1>0 ∴拋物線開口向上

②對稱軸方程為x=1

③頂點坐標（1，-4）

④當x=1時，有最小值為-4

⑤∵a>0 ∴當x>1時，y隨著x的增大而增大

當x<1時，y隨著x的增大而減小

三、知識發散

問題三：由y=x?-2x-3的圖像，設拋物線與y軸的交點為D，頂點坐標為P，①求直線BD的解析式；②△APB是等腰三角形嗎？說明理由；③△BDP是何形狀的特殊三角形？④△AOD和△BDP相似嗎？說明理由；⑤試求四邊形ABPD的面積。

【點評】二次函數知識難在把幾何圖形鑲嵌到直角坐標系中，與二次函數圖像巧妙地結合在一起。教師必須有層次地把直角三角形、等腰（等邊）三角形、特殊的四邊形、圓等分別量入進行分析，能解決基礎性的綜合題。而本題③中還將與勾股定理相結合，④中相似三角形相結合，⑤中學生討論最為熱烈，方法也最多，老師要小結出最好方法。

【解】①由圖形信息可得點B（3，0） 和D（0，-3）

設BD的解析式為y=kx+b

∴直線BD解析式為：y=x-3

②∵拋物線是關于直線x=1成軸對稱圖形

∴ AP=BP

∴△APB是等腰三角形

③由勾股定理易得：BD?=18 PD?=2 PB?=20

∴BD?+PD?=PB?

∴△BDP是以PB為斜邊的直角三角形

④∵= ==

∴=

∵∠AOD=∠BDP=90?

∴△AOD∽△PBD

⑤S四邊形ABPD=S△OBP+S△ODP+S△AOD

==9

四、綜合運用

問題四：根據y=x?-2x-3的圖像，作直線x=a（0

【點評】針對本題中求線段EF的最大值，實際上就是確定點E和F的坐標，用縱坐標“上減下”的方法就可。

【解】當x=a時，點E（a，a-3）點F（a，a?-2a-3）

EF=（a-3）-（a?-2a-3）=-a?+3a=-（a-）?+

∴當a=時，線段EF最大值為

而△BDF的面積的最大值也迎刃而解

S△BDF=

=

如果學生學有余力或可供學生在課外思考，還可有備用題，如：①在拋物線上取點Q，解使S△ABQ= S△ABD ；②求經過點A、B、P 三點的圓的圓心坐標。

不妨請你試一下定能有所收獲。