對2017年浙江選考卷中一個磁聚焦問題的釋疑

王金聚

（浙江省溫州中學，浙江溫州 325000）

對2017年浙江選考卷中一個磁聚焦問題的釋疑

王金聚

（浙江省溫州中學，浙江溫州 325000）

針對一個對磁聚焦前后帶電粒子的密度分布的錯誤認識，本文進行了深入的剖析.關鍵詞：磁聚焦；密度分布；錯誤認知；剖析

2017年浙江省高考物理選考試卷的最后一題是一道電磁學的大題，針對題中的第3個小問題，不少考生出現了一種典型的錯誤解法，甚至有的教師也存在同樣的錯誤認知，今單獨將其列出，給予詳細剖析，供大家參考.

原題.（2017年浙江選考卷第23題）如圖1所示，在xOy平面內，有一電子源持續不斷地沿x正方向每秒發射出N個速率均為v的電子，形成寬為2b，在y軸方向均勻分布且關于x軸對稱的電子流.電子流沿x方向射入一個半徑為R，中心位于原點O的圓形勻強磁場區域，磁場方向垂直xOy平面向里，電子經過磁場偏轉后均從P點射出，在磁場區域的正下方有一對平行于x軸的金屬平行板K和A，其中K板與P點的距離為d，中間開有寬度為2l且關于y軸對稱的小孔.K板接地，A與K兩板間加有正負、大小均可調的電壓UAK，穿過K板小孔到達A板的所有電子被收集且導出，從而形成電流.已知，d＝l，電子質量為m，電荷量為e，忽略電子間相互作用.

圖1

（1）求磁感應強度B的大小；

（2）求電子從P點射出時與負y軸方向的夾角θ的范圍；

（3）當UAK＝0時，每秒經過極板K上的小孔到達極板A的電子數；

（4）畫出電流i隨UAK變化的關系曲線（在答題紙上的方格紙上）.

（2）考慮最邊緣的電子，如圖2所示，設最上端的電子從P點射出時與負y軸的夾角為θm，由幾何關系可得

圖2

（3）如圖3所示，設P點與小孔的右邊緣的連線與豎直方向成φ角，因為d＝l，所以φ＝45°，所以

圖3

（4）略.

標準答案如下：

（2）如圖2所示，設上端電子從P點射出時與負y軸最大夾角為θm，由幾何關系得θm＝60°.同理，下端電子從P點射出時與－y軸最大夾角也為60°，范圍是－60°≤θ≤60°.

矛盾及釋疑：比較可以看出，兩種解法在解答第（3）問時采取了不同的思路，且得出了不同的答案，孰是孰非？問題出在哪里呢？

帶電粒子通過磁場匯聚到一點的現象稱之為磁聚焦，題中的帶電粒子均聚焦于P點，過P點后再呈輻射狀離開磁場.從上面的解答可以看出，從P點射出時粒子的運動方向在與－y軸成60°角的左右范圍內.第一種解法的出發點是從粒子出場的角度比值來求解，這就有了一個“默認”作為前提——即認為既然粒子進場時在y軸方向上是均勻分布的，那么出場時在輻射的120°角范圍內各向的分布也應該是均勻的，這種看法對不對呢？

任取一粒子來分析，如圖4所示，設粒子從E點射入、P點射出，其軌道半徑為r，軌道的圓心為O′，連接OO′，由于O′E＝OP＝R，O′E＝O′P＝r，所以△OO′E △OO′P，所以有∠OO′E＝∠OO′P，由于O′E平行于y軸，所以∠OO′E＝∠O′OP，故有∠OO′P＝∠O′OP，所以PO＝PO′，即r＝R，故四邊形OPO′E為菱形.設出場方向與－y軸方向成θ角，過P點作切線PD，由幾何關系可看出∠FOE＝∠O′PD＝θ，設E點的縱坐標為y，則，y與θ的取值是一一對應的關系，我們不妨等間距地取幾個y值，來對應算一下它們各自的出場角度，如表1所示.

圖4

表1

依表中數據畫出粒子的對應軌跡如圖5所示.可以看出，在出場時粒子在各向的分布是非均勻的，越是靠近y軸的方向粒子分布越密集，向兩側密度逐漸減小.

圖5

圖6

之所以會出現解法一中的錯誤認知，無非是一種想當然的思想在作祟.不仔細推導，就主觀地認為“均勻進”就似乎應該是“均勻出”，豈不知經過磁場的扭轉，不僅扭轉了粒子的方向，還同時扭轉了粒子的分布規律，使“均勻”變成了“不均勻”，所以說解題不能靠想當然，而是要靠有理有據的縝密推理.

2017－04－30）