雙帶電圓環軸線上電場強度和電勢的分布探究
——由一道試題引發的思考

楊 軍

（安徽省太和一中，安徽太和 236600）

·問題討論·

雙帶電圓環軸線上電場強度和電勢的分布探究
——由一道試題引發的思考

楊 軍

（安徽省太和一中，安徽太和 236600）

對一道關于“雙帶電圓環軸線上電場強度和電勢的分布情況”的物理試題進行定量計算，得到電場強度和電勢的分布情況與雙環的距離有關，進而對雙環距離取不同值時進行討論，運用計算軟件繪制出不同條件下電場強度和電勢的分布圖像，猜想并嘗試證明臨界距離的大小.

帶電圓環；電場強度；電勢；軸向分布

某高考模擬試卷上有這樣一道試題：

題目.如圖1所示，兩圓環A、B上均勻分布相同的正電荷，x軸垂直于環面且過兩圓環圓心O1和O2，P為O1O2的中點，下列說法正確的是

（A）P點的電場強度為0.（B）O1點的電場強度為0.

（C）O1的電勢一定等于O2點的電勢.

（D）從O1點沿x軸到O2點，電勢一定先降低后升高.

圖1

1 關于（A）（B）（C）項的分析解答

參考答案：兩個圓環上電荷在P點的電場等大反向，故P點的電場強度為0，選項（A）項正確；O1點的電場強度為A環上的電荷在O1處產生的電場強度與B環上的電荷在O1處產生的電場強度的矢量和，A環上的電荷在O1處產生的電場強度為0，但是B環上的電荷在O1處產生的電場強度不為0（方向向左），選項（B）錯誤；根據對稱性可得O1點的電勢一定等于O2點的電勢，選項（C）正確.

以上是參考答案給出的關于（A）（B）（C）選項的分析解答，這是不存在爭議的.爭議的焦點是在（D）選項的解答，即從O1點沿x軸到O2點，電場強度和電勢是如何分布的.

2 對O1O2連線上強度和電勢分布情況的定量計算

（1）單個帶電圓環軸向場強及電勢分布.

如圖2所示，一個半徑為R的均勻帶電圓環，電荷量為＋Q，在其軸線以圓心為坐標原點建立x軸.

圖2

所以

取無限遠處電勢為0，則P點的電勢U為

（2）兩個帶電圓環軸向電場及電勢分布.

如圖1所示，對兩個圓環的問題，取P點為坐標原點，O1坐標為－d，O2坐標為d，由（1）（2）式得圓環A、B在x軸上各點產生的電勢U1、U2及電場強度E1、E2分別為

則x軸上各點的電勢U為：可得到x軸上各點的場強

欲求U的極值，只需要求E＝0的解就行了，但是，E＝0最終化為一個復雜的高次（7次）不定方程，方程的實數解與實數解的個數都與d和R都有關系，只有確定了d的值，才能討論方程的實數解及實數解解的個數.這里的復雜運算可以用Mathematica數學計算軟件來幫助完成.為了簡化運算，取kQ＝1，R＝1，以下表達式的d為d與R的比值，x為x與R的比值.則x軸上各點的電勢為U和場強E可以化簡為

以下所作出的圖像，橫軸表示x與R的比值，縱軸表示場強（或電勢）的相對大小.

3 兩種情況下電場和電勢的分布

（1）當兩環之間距離較近時，x軸上場強和電勢的分布情況.

U的表達式化簡為

運用Mathematica軟件計算，可以得到電場強度的分布圖像如圖3（a），電勢的分布圖像如圖3（b）.

圖3

由圖像可以看出，E＝0確實存在唯一實數解，即x＝0；在O1P段上，即［－d，0］區域電場強度方向向左，在PO2段上，即在［0，d］區域電場強度方向向右；在O1O2連線上，即在［－d，d］區域內，電勢是先升高后降低.

（2）當兩環之間距離較遠時，x軸上場強和電勢的分布情況.

當d＝R時，即d＝1，E的表達式化簡為

U的表達式化簡為

運用Mathematica軟件計算可以得到電場強度的分布圖像如圖4（a），在［－1，1］區間內電場強度的分布如圖4（b），電勢的分布圖像如圖4（c）.

圖4

由圖像可以看出，方程E＝0確實存在3個實數解.可以得到方程在實數范圍內的3個解為x＝0，x＝±0.773485.在O1P段上的［－1，－0.773485］區域內，電場強度方向向左，在區間［－0.773485，0］內，電場強度方向向右；PO2段與O1P段對稱；在O1O2連線上，即在區間［－1，1］內，電勢是先升高，后降低，再升高，再降低.

4 對d臨界值的討論

從以上討論可以看出，在R（R＝1）一定的情況下，當d比較小時，E＝0的方程的實數解只有唯一一個；當d比較大時，E＝0的方程的實數解有3個.

那么，當d變化時，方程E＝0從唯一實數解的情況過渡到3個實數解解的情況過程中，臨界情況的d值是多少呢？這個問題從前面的關系式中不好求解，好在單環問題給了筆者指導.

（1）對d臨界值的猜想.

單環的問題中，由（1）可以求x軸上何處的電場強度最大：

（2）對d取臨界值時，x軸上場強和電勢的分布情況.

計算可得電場的分布圖像如圖5（a），電勢的分布圖像如圖5（b）.可以看出x軸上場強和電勢的分布情況相似，只是在時，坐標原點附近的電場和電勢分布更加“平坦”.

圖5

（3）對臨界距離猜想的證明.

5 結論及反思

通過以上的分析討論可以得到：

由此可見，本文開始給出的3種解法得到的情況都是錯誤的，解法1也就是參考答案給出的結果是不可能存在的；解法2給出的結果是在兩環之間距離小于槡2 R時才能成立；解法3給出的結果是在兩環之間距離大于槡2 R時才能成立.

物理試題需要用合適的物理情境來考察考生的知識、能力和科學素養.一個好的物理情境要能體現物理學科的自身價值，做到理論聯系實際，體現物理知識在生產、生活中的廣泛應用，體現科學技術與社會、經濟發展的聯系.現在各類考試中的物理命題都非常重視對物理情境的創新，創新是好事，然而必須堅持科學性原則，切不可出現因為一味追求創新而出現不符合實際、有科學性錯誤的物理情境.

1 梁燦彬，秦光戎等.電磁學［M］.北京：高等教育出版社，1980：17－20.

2 四川大學數學系高等數學教研室.高等數學（第一冊）［M］.北京：高等教育出版社，1995：17－20.

3 伍秀峰.探討一幅電勢在坐標軸上分布的圖像［J］.物理教師，2013，34（10）：53－54.

4 翁以忠.關于等量點電荷的圖像問題討論［J］.物理教師，2011，32（2）：47－48.

5 楊習志.利用Matlab研究點電荷間的電勢與電場強度的分布問題［J］.物理教師，2015，36（4）：69－72.

6 歐劍雄.高中物理命題中物理情境的科學性探究［J］.物理教師，2013，34（9）：19－22.

2017－03－12）